2023届新高考数学高三二轮复习专题讲义与三角形周长、面积有关的问题（有解答）

【新高考二轮复习——重难点精选专题】
三角函数与解三角形-与三角形周长、面积有关的问题
专题综述
与三角形周长、面积有关的问题一直是高考数学的必考内容，在解三角形的背景下，设置与周长、面积等相关的取值范围或最值问题，成为十分常见的命题角度，受到命题者的青睐.这类问题注重于函数、不等式和几何等知识的交汇融合，其解法主要有两种；一种是化边为角转化为三角函数的最值问题，另一种是利用基本不等式或二次函数求解.
专题探究
探究1：面积问题
范围(最值)问题的基本思路是构建不等关系,然后利用三角函数性质、基本不等式或二次函数性质求解.
(2021真题)的内角的对边分别为，
已知, 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【审题视点】
如何利用题设条件表示三角形面积？
【思维引导】
由正弦定理和条件得,根据面积公式化简的面积的表达式,利用正弦定理和三角函数性质求解范围.
【规范解析】
解：，即为
可得
因为,所以
若，可得，又因为
所以不成立，所以，由，可得
又因为，所以，由正弦定理可知
因为三角形为锐角三角形，所以,，
【探究总结】
该题属于中档题，每一个学生都有思路，但解答的过程中容易遇到挫折，准确的应用好正弦定理是关键.
（2022山东)已知分别为的三个内角的对边,，且，则面积的最大值为______.
探究2：周长问题
与三角形周长有关的范围或最值问题,通常也是借助基本不等式,或函数的有界性进行求解.
(2021福建省福州市)已知中,的对边分别为,
若，，则的周长的最大值是 ________.
【审题视点】
周长怎么表示？
【思维引导】
由一边长已知转为为求另外两边长和的最大值，找不等关系求解.
【规范解析】
解：中，由余弦定理可得，
因为，所以，
化简可得，
因为，所以解得：
（当且仅当时，取等号）,
∴的周长的最大值是3．
故答案为：3．
【探究总结】
由余弦定理求得，代入已知等式可得，利用基本不等式求得，故．主要考查余弦定理、基本不等式的应用.
(2021山东省日照市期中考试)已知中,角所对的边分别为,若的面积为,且,.
求角的大小;(2)求的周长的最大值.
专题升华
解三角形是高中数学的一个重要内容，有关三角形的面积与周长问题，涉及的知识点多，灵活性大，综合性强，可从结论出发去寻找需要的条件.
【答案详解】
变式训练1【答案】
【解析】由正弦定理，得，即，
，所以．
又，所以．
又，所以，．
因为，
所以
．
又，所以时，取最大值．
故答案为．
变式训练2
【解析】（1）由题意，有
则，所以
因为，所以，所以
又，所以.
(2)因为，,则，即
所以,继而 (当且仅当时取等号) ,
则周长的最大值为.
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