课件49张PPT。2.2 对 数 函 数
2.2.1 对数与对数运算
第1课时 对 数一、对数的有关概念
1.对数的概念
(1)请根据下图的提示填写与对数有关的概念.指数对数幂真数底数(2)对数的底数a的取值范围是____________.
2.常用对数与自然对数
(1)请依据常用对数与自然对数的定义连线.
(2)其中无理数e=2.718 28….a＞0,且a≠1判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数log39和log93的意义一样.( )
(2)(-2)3=-8可化成log(-2)(-8)=3.( )
(3)对数运算的实质是求幂指数.( )
(4)lg x可以写成log x.( )提示：(1)错误.log39表示的是以3为底9的对数，log93表示
的是以9为底3的对数.
(2)错误.对数式中的底数要求满足大于0且不等于1，而
-2<0，对数式中要求真数大于0，而-8＜0,故此说法错误.
(3)正确.通过ax=N(a＞0,且a≠1)?x=logaN(a＞0,且a≠1)
可知此说法正确.
(4)错误.lgx=log10x.故此说法错误.
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×二、重要结论
1.负数和零_____对数.
2.loga1=__(a＞0,且a≠1).
3.logaa=__(a＞0,且a≠1).
思考：为什么logaN(a>0，且a≠1)中N>0，才有意义？
提示：依据对数定义，若ax＝N，则x＝logaN，对于a>0，不
论x取何实数总有ax>0，故需N>0.没有01【知识点拨】
1.对数logaN中规定a＞0且a≠1的原因
(1)a＜0时，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算
性质可知，不存在实数x使( )x=2成立，所以 不存在，
所以a不能小于0.
(2)a=0时，N≠0时，不存在实数x使ax=N,无法定义logaN;N=0
时，任意非零实数x,有ax=N成立，logaN不确定.
(3)a=1时，N≠1,logaN不存在;N=1,loga1有无数个值，不能
确定.2.从“三角度”看对数式的意义
角度一：对数式logaN可看作一种记号，只有在a>0,a≠1,N>0时才有意义.
角度二：对数式logaN也可以看作一种运算，是在已知ab=N求b的前提下提出的.
角度三：logaN是一个数,是一种取对数的运算,结果仍是一个数,不可分开书写,也不可认为是loga与N的乘积.
3.loga1=0和logaa=1(a＞0且a≠1)的应用
主要应用于求真数为1的对数值和真数与底数相等的对数值.类型 一 对数的概念
【典型例题】
1.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A.a＞ 且a≠1 B.0
C.a>0且a≠1 D.a<
2.设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝______.3.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)7.60=1. (2)( )－2=9.
(3)10－3=0.001. (4) =－2.
(5)lgb=－1.299. (6)ln2=0.693.【解题探究】1.要使对数有意义，对数的底数和真数需要满足什么条件？
2.解答题2时需要对已知对数式进行怎样的变形？需要用到幂的什么运算性质求3a-b？
3.指数式与对数式互化的依据是什么？探究提示：
1.对数的底数大于0且不等于1，真数大于0.
2.将对数式化为指数式，逆用同底数幂相除底数不变指数相减的法则.
3.依据是对数的定义,即ax=N?logaN=x.【解析】1.选B.由对数的概念可知使对数loga(－2a＋1)有意义
的a需满足 解得02.∵a＝log310，b＝log37,
∴3a=10,3b=7,
∴
答案：3.(1)log7.61=0. (2) ＝－2.
(3)lg0.001=－3. (4)( )－2=3.
(5)10－1.299=b. (6)e0.693=2.【拓展提升】
1.对数中底数和真数的取值范围
(1)底数的取值范围：根据指数式与对数式的互化可知对数中的底数也要大于0且不等于1.
(2)真数的取值范围：根据指数式与对数式的互化可知:对数式中的真数实际上是指数式中的幂，由于已经规定底数大于0且不等于1，所以幂(即真数)为正数.因此，在解决含有对数式的问题时，一定要注意真数的取值范围，保证真数大于0.2.指数式与对数式互化的解题思路
(1)指数式化为对数式
将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
(2)对数式化为指数式
将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.【变式训练】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)10－1.5=a. (2)ln100=4.605.
(3)lgx= (4) =z.
【解析】(1)lga=－1.5.(2)e4.605=100.
(3) =x.(4)xz=类型 二 利用对数定义求值
【典型例题】
1.(2013·韶关高一检测)2log525+3log264-8ln1＝______.
2.求下列各式中x的值.
(1)log927=x. (2) =x.
(3)log32x= (4)logx125=6.【解题探究】1.题1中若log525=a,log264=b，ln1=c,则a,b,c分别是多少？
2.要求对数式中x的值，需要用到哪些变形方法？
探究提示：
1.由5a=25,知a=2,由2b=64,知b=6,由ec=1,知c=0.
2.要求对数式中x的值，需要先将对数式化为指数式，然后利用幂的运算性质计算.【解析】1.设log525=a，log264=b，ln1=c，
则5a=25，2b=64，ec=1.
又因为52=25，26=64，e0=1，
所以a=2，b=6，c=0.
所以2log525+3log264－8ln1
=2×2+3×6－8×0=22.
答案：222.(1)因为log927=x，所以9x=27 ，即32x=33，
于是2x=3，x=
(2)因为 =x，所以( )x=81，
所以( )x=34，即 =34，于是 =4，x=16.
(3)因为log32x= 所以
(4)因为logx125=6，所以x6=125，
又x＞0，所以【拓展提升】
1.巧解对数式中的求值问题
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解.
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.
②利用幂的运算性质和指数函数的性质计算.2.logaan=n(a＞0,且a≠1)的应用
(1)证明：设logaan=x,则an=ax,由指数函数的单调性知n=x,所以logaan=n.
(2)应用技巧：如果对数的真数能化为以对数的底数为底数的幂的形式，那么对数的值就是幂指数.【变式训练】设a，b∈R，且(2a－1)2＋(b－8)2＝0，则
log2(ab)＝______.
【解题指南】先根据非负数的性质求出a，b的值，再求对数
的值.
【解析】由(2a－1)2＋(b－8)2＝0，得
解得 ∴ab＝4，
∴log2(ab)＝log24＝2.
答案：2类型 三 利用对数的结论及恒等式求值
【典型例题】
1.求值：
(1)10lg2=______.
(2) =______.
(3) =______.
(4) =______.2.求下列各式中x的值．
(1)log2(log5x)＝0.
(2)log3(lgx)＝1.【解题探究】1.根据对数的定义可知， 的运算结果是
什么？题1中各式是否具备 的形式，如果不具备可如何
变形？
2.指数式 a0=1，a1=a(a＞0,且a≠1)，如何化为对数式？解
答本题时如何应用？探究提示：
1. =N.
可利用幂的运算性质对题1中各式((1)除外)变形后应用以上
结论求值.
2.a0=1?loga1=0，a1=a?logaa=1.可以利用这种等价关系由
对数值求真数的值.【解析】1.(1)10lg2=2.
(2) =3×4=12.
(3)
(4)
答案：(1)2 (2)12 (3) (4)
2.(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，
∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，
∴x＝103＝1000.【互动探究】 将本题2(1)中的“0”改为“1”，将本题2(2)中的“1”改为“0”，如何解答？
【解析】(1)∵log2(log5x)＝1，∴log5x＝21＝2，
∴x＝52＝25.
(2)∵log3(lgx)＝0，∴lgx＝30＝1，
∴x＝10.【拓展提升】
1. =N(a>0，a≠1，N>0)的推导方法
由ab＝N ①，
得b＝logaN ②，
将②代入①有 =N.2.对数恒等式 =N的应用
(1)能直接应用对数恒等式的直接求值即可.
(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解.【易错误区】常用对数和自然对数的解题误区
【典例】有以下四个结论：(1)lg(lg10)＝0.(2)ln(lne)＝0.
(3)若10＝lgx，则x＝10.(4)若e＝lnx，则x＝e2，其中正确
的是( )
A.(1)(3) B.(2)(4) C.(1)(2) D.(3)(4) 【解析】选C.lg(lg10)①＝lg1＝0，故(1)正确；
ln(lne)②＝ln1＝0，故(2)正确；
若10＝lgx③，则x＝1010，故(3)错误；
若e＝lnx④，则x＝ee，故(4)错误．【类题试解】1.若ln(lnx)=1,则x=( )
A.1 B.e C.e2 D.ee
【解析】选D.因为ln(lnx)=1,所以lnx=e,所以x=ee.2.若(lgx)2－2lgx－3=0，则x=______.
【解析】∵(lgx)2－2lgx－3=0,
∴(lgx+1)(lgx－3)=0,
∴lgx=－1或lgx=3,
∴x= 或x=1000.
答案： 或1000【误区警示】【防范措施】
1.重视常用数学符号及结论的理解和记忆
关于对数有一些约定俗成的记法和常用结论，如本例中lg10表示log1010，lnx表示logex,用到了loga1=0.logaa=1(a＞0，且a≠1).
2.熟练进行指数式与对数式的互化
这是解决对数问题的根本方法，如本例将10=lgx转化为x=1010即可求出x.1.在b=log3(m－1)中，实数m的取值范围是( )
A.R B.(0,+∞)
C.(－∞,1) D.(1,+∞)
【解析】选D.由m－1＞0，得m＞1.2.若 =c则( )
A.a2b=c B.a2c=b
C.bc=2a D.c2a=b
【解析】选B. =c?(a2)c=b?a2c=b.3.以下四个说法中正确的是( )
①若log5x＝3，则x＝15；
②若log25x＝ 则x＝5；
③若 ＝0，则x＝
④若log5x＝－3，则x＝
A.①② B.①③
C.②④ D.③④【解析】选C.对于①，因为log5x＝3，所以x＝53=125，错误.
对于②，因为log25x＝ 所以x＝ =5，正确.
对于③，若 ＝0，所以x0＝ 无解，错误.
对于④，若log5x＝－3，则x＝5-3= 正确.
因此②④正确.4.计算：10lg1+lne=______.
【解析】10lg1+lne=10lg1+1=10×0+1=1.
答案：15.计算： +1.330=______.
【解析】 +1.330=2+1=3.
答案：36.求下列各式中x的值.
(1)logx81=2.(2)x=log84.(3)lgx=－2.
(4)5lgx＝25.【解析】(1)因为logx81=2，所以x2=81，
又x＞0，所以x=9.
(2)因为x=log84，所以8x=4，即(23)x=22，
于是3x=2，x=
(3)因为lgx=－2，所以x=10－2=0.01.
(4)因为5lgx＝25，所以log525＝lgx．
又因为log525＝2，所以lgx＝2.∴x＝100.课件57张PPT。第2课时 对数的运算一、对数的运算性质
1.前提条件a>0,且a≠1M>0,N>02.运算性质
(1)loga(M·N)=___________.
(2)Loga =___________.
(3)logaMn=____________.logaM+logaNlogaM-logaNnlogaM(n∈R)判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差.( )
(2)logax·logay=loga(x+y).( )
(3)loga(-2)2=2loga(-2).( )
提示：(1)正确.由对数的运算性质(1)(2)可知正确.
(2)错误.由对数的运算性质(1)知其不符合性质的形式，故不正确.
(3)错误.loga(-2)2=loga22=2loga2.
答案：(1)√ (2)× (3)×二、对数的换底公式
思考：换底公式的作用是什么？
提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数.a>0,且a≠1b>0c>0,且c≠1【知识点拨】
1.对数的运算性质(1)的推广
对于性质(1),可以推广到若干个正因数的积:
loga(M1·M2·M3·…·Mn)=logaM1+logaM2+…+logaMn(a>0,且a≠1,Mi>0,i=1,2,…,n).2.对数运算性质的两个注意点
(1)适用前提：对数的运算性质的适用条件是“同底，且真数
为正”，即a＞0,a≠1,M＞0,N＞0.若去掉此条件,性质不一定
成立，如log3( )≠log3(-8)-log3(-3).(2)可逆性：对数的运算性质具有可逆性，具体如下：
①logaM+logaN=loga(MN)(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0),如
lg2+lg5=lg10=1；
②nlogaM=logaMn(a＞0,a≠1,M＞0,n∈R),如2log23=log232；
③logaM-logaN=loga (a＞0,a≠1,M＞0,N＞0),如
lg3-lg2=lg3.对数换底公式的证明4.关于换底公式的两个常见结论
(1)logab·logba=1.
(2)logambn= logab.
其中a>0，且a≠1，b>0,且b≠1,m∈R,n∈R,m≠0.类型 一 对数运算性质的应用
【典型例题】
1.(2013·武汉高一检测)若lgx－lgy＝a，则lg( )3－lg( )3
等于( )
A.3a B. C.3a-2 D.a
2.计算：
(1)2log210＋log20.04＝______.
(2) ＝______.3.已知log23=a，log25=b，求下列各式的值.
(1)log20.6. (2)log2 (3)
【解题探究】1.根据哪些对数运算性质，可以把本题中所求
对数式与已知等式联系起来？
2.形如nlogaM的代数式可逆用对数运算的哪条性质？同底的
对数相加减应如何逆用对数的运算性质？
3.题3中对数的底数都是2，真数情况较复杂，真数如何变形
才可以用对数的运算性质？探究提示：
1.先用logaMn=nlogaM，再用loga =logaM-logaN，可将lg( )3
化为3(lgx－lg2)，可将lg( )3化为3(lgy－lg2).
2.形如nlogaM的代数式可逆用logaMn=nlogaM.同底的对数相加、减可以逆用对数的运算性质化为积、商的对数.
3.为了用对数的运算性质简化，先要把对数进行如下变形：
即真数的位置出现2，3，5才可以利用已知条件.【解析】1.选A.lg( )3－lg( )3
＝3(lg －lg )
＝3［(lgx－lg2)－(lgy－lg2)］＝3(lgx－lgy)＝3a.
2.(1)2log210＋log20.04＝log2(100×0.04)＝log24＝2.
(2)
答案：(1)2 (2)13.(1)log20.6=log2 =log23-log25=a-b.
(2)
(3)【拓展提升】底数相同的对数式的化简和求值的原则、方法及注意事项
(1)基本原则
对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用方法
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
(3)注意事项
①对于常用对数的化简要充分利用“lg5+lg2=lg10=1”解题.
②准确应用以下结论：
loga1=0,logaa=1, =N(a>0,且a≠1,N>0).【变式训练】计算：(1)lg14-2lg +lg7-lg18.
(2) (3) 【解析】(1)方法一：lg14-2lg +lg7-lg18
=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32×2)
=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0.
方法二：lg14-2lg +lg7-lg18
=lg14-lg( )2+lg7-lg18= =lg1=0.(2)
(3)类型 二 换底公式
【典型例题】
1.(2013·重庆高一检测)式子 的值为( )
A. B. C.2 D.3
2.已知2x＝5y，则 的值为______．
3.已知log189＝a，18b＝5，试用a，b表示log3645.【解题探究】1.题1中分子和分母中的对数底数不同，如何将其化为同底的对数？
2.为了把题2中x，y表示出来，可以对已知等式作如何处理或变形？
3.比较题3中已知对数和所求对数的底数，解答本题若用换底公式应换为以什么数为底？探究提示：
1.可以用换底公式将分子中的对数化为以2为底的对数，也可
以用 = logab化为同底的对数.
2.可以令2x＝5y＝k(k>0)，化指数式为对数式，也可以两边
取对数.
3.可换为以18为底的对数，也可以化为常用对数.【解析】1.选B.方法一：
方法二：2.方法一：令2x＝5y＝k(k>0)，
则x＝log2k，y＝log5k，
∴
方法二：∵2x＝5y,
两边取以2为底的对数得log22x=log25y,
∴xlog22=ylog25,
∴
答案：3.方法一：∵18b＝5，∴log185＝b，
于是
方法二：∵18b＝5，∴log185＝b.
于是方法三：∵log189＝a，18b＝5，
∴lg9＝alg18，lg5＝blg18.
∴【互动探究】若将题3的条件改为“log32=a，3b=10”，应如
何解答？
【解析】∵3b=10，∴log310=b.又∵log32=a,
∴log35=log310-log32=b-a,
∴【拓展提升】
1.利用换底公式化简求值时应注意的问题
(1)针对具体问题，选择恰当的底数.
(2)注意换底公式与对数运算法则结合使用.
(3)换底公式的正用与逆用.
(4)恰当应用换底公式的两个常用结论.2.利用换底公式计算、化简、求值的思路【变式训练】设x，y，z均为正数，且3x＝4y＝6z.求证：
【解题指南】先令3x＝4y＝6z＝k，再化指数式为对数式，最
后由换底公式所得结论(即logab·logba=1)和对数的运算性
质证明.【证明】设3x＝4y＝6z＝k，
因为x，y，z均为正数，所以k>1.
所以
所以
即类型 三 对数运算的综合应用和实际应用
【典型例题】
1.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的
质量约是原来的75%，估计约经过______年，该物质的剩余质
量是原来的 (结果保留1位有效数字)？(lg2≈0.3010，
lg3≈0.4771)
2.方程log4(3x-1)=log4(x-1)+log4(x+3)的解为______.
3.已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg2＋lgx＋lgy，求 的值．【解题探究】1.设物质的质量原来为单位“1”，则经过x年，该物质的剩余质量如何表示？
2.若logaf(x)=logag(x)，则f(x)与g(x)的关系如何？
3.由题3的已知条件可以得到哪些关于x与y的等量关系和不等关系？探究提示：
1.经过x年，该物质的剩余质量可以表示为0.75x.
2.f(x)=g(x)且f(x)>0,g(x)>0.
3.由已知条件可以得到x＋2y，x－y，x，y都大于0，且
(x＋2y)(x－y)＝2xy.【解析】1.假设经过x年，该物质的剩余质量是原来的 根
据题意得：0.75x＝
∴
故估计约经过4年，该物质的剩余质量是原来的
答案：42.原方程可化为3x-1=(x-1)(x+3)，即x2-x-2=0，
解得x=2或x=-1，
x=-1使真数3x-1和x-1小于0，
故方程的解是x=2.
答案：x=23.由已知条件得 即
整理得
∴x－2y＝0，∴ ＝2.【拓展提升】
1.简单的对数方程及其解法2.解对数应用题的步骤 【变式训练】若lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两个实根，则
(lg )2的值等于______.
【解析】由题意可知lga+lgb=2,lga·lgb=
∴(lg )2=(lga-lgb)2=(lga+lgb)2-4lgalgb
=4-2=2.
答案：2
【误区警示】本题在求解过程中，因想不到“lga-lgb”同
“lga+lgb”及“lga·lgb”的等价互化，而无法求解. 【易错误区】忽视对数运算中的隐含条件而出错
【典例】(2013·南阳高一检测)作为对数运算法则：
lg(a＋b)＝lga＋lgb(a>0，b>0)是不正确的．但对一些特殊值是成立的，例如：lg(2＋2)＝lg2＋lg2.那么，对于所有使lg(a＋b)＝lga＋lgb(a>0，b>0)成立的a，b应满足的函数表达式a＝f(b)为______．【解析】∵lg(a＋b)＝lga＋lgb，∴lg(a＋b)＝lg(ab)，
∴a＋b＝ab，∴a＝ 又a>0，b>0，
∴ ∴ 解得b>1，∴a＝ (b>1)．
答案：a＝ (b>1)【类题试解】已知2lg(x-2y)=lgx+lgy，则 的
值为______.【解析】由已知条件得 ∴ >2.
∵2lg(x-2y)=lgx+lgy,∴lg(x-2y)2=lg(xy)，
∴(x-2y)2=xy,∴x2-5xy+4y2=0,∴( )2-5· +4=0，
∴ =4或 =1(舍去)，
∴
答案：4【误区警示】【防范措施】
1.注意真数的取值范围
在解与对数有关的问题时，一定要考虑真数的取值范围，以
防出现疏漏.例如，本例中的a,b,a+b都在真数上，一定要确
保它们都大于0.
2.注意变量之间的关联关系
多个变量出现在同一个关系式中，变量的取值范围会受到相
互限制，如本例中求b的取值范围时，不仅要满足b>0，而且
要满足a＝ >0.1.已知a>0且a≠1,则loga2+loga =( )
A.0 B. C.1 D.2
【解析】选A.2.log38·log23＝( )
A.2 B.3 C.4 D.9
【解析】选B.3.已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为( )
A.a-2 B.5a-2
C.3a-(1+a)2 D.3a-a2-1
【解析】选A.由log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)
＝3a－2(a＋1)＝a－2.4.已知lna=0.2，则ln =______.
【解析】ln =lne-lna=1-0.2=0.8.
答案：0.85.若a>0，且a≠1，b>0,且b≠1,则由换底公式可知
所以 试利用此结论计算
=______.
【解析】
答案：16.求下列各式的值：
(1)log318-log32.
(2)
(3)
(4)【解析】(1)log318-log32=log3 =log39=2.
(2)
(3)
(4)课件60张PPT。2.2.2 对数函数及其性质
第1课时 对数函数的图象及性质一、对数函数的定义
1.解析式：____________________.
2.自变量：__.
思考：为什么在对数函数中要求a＞0，且a≠1？
提示：根据对数式与指数式的关系知,y=logax可化为ay=x，
联想指数函数中底数的范围，可知a＞0，且a≠1.y=logax(a>0，且a≠1)x二、对数函数的图象与性质
1.对数函数的图象
请在下列给出的平面直角坐标系中分别画出0＜a＜1和a＞1时的对数函数的图象
012.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的性质(0,+∞)R(1,0)10(0,+∞)减函数(0,+∞)增函数判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数函数的图象一定在y轴右侧.( )
(2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0，+∞)上是增函数.( )
(3)当a>1时，若x>1,则logax>0.( )提示：(1)正确.通过a>1和0(2)错误.当a>1时，对数函数y=logax在(0，+∞)上是增函数；当0(3)正确.当a>1时，对数函数y=logax在(0，+∞)上是增函数，若x>1,则logax>loga1=0.
答案：(1)√ (2)× (3)√三、反函数
在a>0且a≠1的前提下根据反函数的定义回答下列问题：
1.y=ax的反函数是_______.
2.y=logax的反函数是____.
思考：若函数y=ax的图象过点(m,n)，则函数y=logax的图象
一定会过点(n,m)吗？
提示：若函数y=ax的图象过点(m,n)，则有n=am，将其化为对
数式有m=logan，这说明函数y=logax的图象一定会过点(n,m).y=logaxy=ax【知识点拨】
1.对数函数概念的理解
(1)对数函数的概念与指数函数类似，都是形式化定义，如
y=log2(x-1)，y=log2 都不是对数函数，可称其为对数型函数.
(2)由指数式与对数式的关系知：对数函数的自变量x恰好是
指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0,+∞).2.对数函数图象和性质的关系3.底数对对数函数图象的影响
(1)依据：对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象与直线y=1的交点是(a,1).(2)对图象的影响：比较图象与y=1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.也就是说，沿直线y=1由左向右看，底数a增大(如图).4.对反函数的解读
(1)函数y=ax与函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称.
(2)从反函数的定义可知，任意一个函数不一定有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数. 类型 一 对数函数的概念
【典型例题】
1.给出下列函数.
(1)y= (2)y=log3(x-1).
(3)y=logx+1x. (4)y=logπx.
其中是对数函数的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.(2013·大庆高一检测)若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且
a≠1)的反函数，其图象经过点( ),则a=______.【解题探究】1.判断一个函数是否为对数函数的依据是什么？
2.函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是什么？题2中可用什么方法求函数f(x)的解析式？
探究提示：
1.依据有以下三条：(1)对数符号前面的系数为1.(2)对数的底数是大于0且不等于1的常数.(3)对数的真数只有自变量x.
2.函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是y=logax(a>0,且a≠1).题2中可用待定系数法求其解析式.【解析】1.选A.(1)(2)不是对数函数，因为对数的真数不是
只含有自变量x.
(3)不是对数函数，因为对数的底数不是常数.
(4)是对数函数.
2.函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是y=logax(a>0,且a≠1),
因为其图象经过点( )，
所以
所以 又a>0,所以
答案：【拓展提升】
1.从“三方面”判断一个函数是否是对数函数2.确定对数函数解析式的步骤
(1)设：用待定系数法先设出对数函数的解析式：y=logax
(a＞0,a≠1).
(2)列：通过已知条件建立关于参数a的方程.
(3)求：求出a的值.【变式训练】f(x)是对数函数，若
则 =______.【解题指南】先用待定系数法求出对数函数f(x)的解析式，
然后求值.
【解析】∵f(x)是对数函数，
∴设f(x)=logax(a＞0,a≠1)，
∵
∴
∴ =2.又a>0，∴a=4，
∴
答案：2类型 二 求对数型函数的定义域和函数值
【典型例题】
1.(2013·衡水高一检测)已知函数
那么f(f( ))的值为( )
A.27 B. C.-27 D.
2.函数 的定义域是______.
3.已知函数y=loga(1-ax)(a＞0,且a≠1)，求函数的定义域.【解题探究】1.求分段函数的函数值要注意什么？
2.求题2函数的定义域时，自变量的限制条件有哪些？
3.题3中字母a的取值对求此函数的定义域有什么影响？
探究提示：
1.求分段函数的函数值要注意分段代入计算，也就是先判断自变量属于哪段区间再代入计算.
2.自变量的限制条件有以下三点：(1)分母不等于零.(2)二次根式中被开方数为非负数.(3)对数的真数大于零.
3.解指数不等式1-ax>0时，应分01两种情况讨论.【解析】1.选B.f( )=log2 =-3，
f(f( ))=f(-3)=3-3=
2.由题意得 解得1∴ 的定义域为(1,2)．
答案：(1,2)3.由1-ax>0得ax<1=a0.
(1)当00.
(2)当a>1时，有x<0.
∴当0当a>1时，函数y=loga(1-ax)的定义域是(-∞,0).【拓展提升】
1.求分段函数的函数值的两个基本步骤
(1)判断自变量所属的取值范围.
(2)把自变量的值代入相应取值范围的解析式中进行计算.
2.求函数的定义域的限制条件
(1)分母不等于零.(2)根指数为偶数时，被开方数为非负数.(3)对数的真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.【变式训练】求下列函数的定义域.
(1)
(2)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．【解析】(1)由 得
解得x> 且x≠1.
∴ 的定义域为{x|x> 且x≠1}．
(2)由题意得 解得
∴y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为{x| 【典型例题】
1．(2013·杭州高一检测)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝lgx，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A.x2C.x13.作出函数y=|lg(x-1)|的图象.【解题探究】1.将不同底数的对数函数的图象画在同一平面直角坐标系中，若沿直线y=a(a<0)自左向右观察能得到什么结论？
2.解对数型函数图象恒过定点问题的依据是什么？如何求定点坐标？
3.函数|f(x)|与函数f(x)的图象有什么关系？探究提示：
1.将不同底数的对数函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，沿直线y=a(a<0)自左向右看对数函数的底数逐渐减小.
2.依据是loga1=0.求定点坐标可以先令对数的真数等于1，求出所过定点的横坐标，再计算出纵坐标.
3.将函数f(x)的图象在x轴上方的部分保留，将x轴下方的部分翻折到x轴上方就可以得到函数|f(x)|的图象.【解析】1.选A.分别作出三个函数的大致图象，如图所示.由图可知，x20,且a≠1都有y=loga1+1=0+1=1，所以函数图象y=loga(2x-3)+1恒过定点(2,1)，故点P的坐标是(2,1).
答案：(2,1)3.(1)先画出函数y=lgx的图象(如图).
(2)再画出函数y=lg(x-1)的图象(如图).(3)最后画出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图).【互动探究】把题3的函数改为“y=lg|x-1|”，画出此时函数的图象.【解析】(1)先画出函数y=lgx的图象(如图).(2)再画出函数y=lg|x|的图象(如图).(3)最后画出函数y=lg|x-1|的图象(如图).【拓展提升】
1.画函数图象的两类常用方法2.两个函数图象的对称性
(1)
(2) 3.对数型函数图象恒过定点问题
解决此类问题的根据是对任意的a>0,且a≠1，都有loga1=0.例如，解答函数y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的图象恒过定点问题时，只需令f(x)=1求出x，即得定点(x,m).【易错误区】忽视底数取值范围对函数图象的影响致误
【典例】(2013·长春高一检测)已知f(x)=ax,g(x)=logax
(a>0且a≠1),若f(3)g(3)<0,则f(x)与g(x)在同一坐标系里
的图象是( )【解析】选C.∵a>0且a≠1,∴f(3)=a3>0①.又f(3)g(3)<0,
∴g(3)=loga3<0①,∴0g(x)=logax在(0，+∞)上是减函数，故选C.【类题试解】若函数f(x)=loga(x+b)的图象如图，其中a,b为常数，则函数g(x)=ax+b的图象大致是( )【解析】选D.由函数f(x)=loga(x+b)的图象可知,
函数f(x)=loga(x+b)在(-b,+∞)上是减函数.
所以0因为0因为0所以g(x)=ax+b的图象应在直线y=b的上方，故排除C.【误区警示】【防范措施】
1.记准指数函数、对数函数的图象
指数函数和对数函数的图象都可以分为底数a>1和0当a>1时，若x>0,则ax>1,
若x<0,则0当00,则0若x<0，则ax>1.
当a>1时，若0若x>1，则logax>0;
当00,若x>1，则logax<0.
如本例中，首先可知f(3)=a3>0,
然后由loga3<0可知0A.y=log2x B.y=
C.y= D.y=log4x【解析】选A.设此对数函数为y=logax(a>0,且a≠1).
∵对数函数的图象过点M(16,4),
∴4=loga16，a4=16.
又a>0,∴a=2,
∴此对数函数为y=log2x.2.当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a-x与y＝logax的图象是( )
【解析】选A.当a＞1时，y＝logax单调递增，y=a-x单调递减，故选A．3.设集合A={x|y=lgx},B={y|y=lgx}，则下列关系中正确的
是( )
A.A∪B=A B.A∩B=?
C.A=B D.A?B
【解析】选D.∵A={x|y=lgx}=(0,+∞),B={y|y=lgx}=R,
∴A?B.4.函数y=lnx,x∈(0,+∞)的反函数是______.
【解析】函数y=lnx,x∈(0,+∞)的反函数是y=ex,x∈R.
答案：y=ex,x∈R5.函数f(x)=log5(1-x)的定义域是______.
【解析】由题意得1-x>0，所以x<1.
所以函数f(x)=log5(1-x)的定义域是(-∞,1).
答案：(-∞,1)6.已知对数函数y=log2x，x∈｛0.25，1，2，4｝,求值域.
【解析】当x=0.25时,y=log20.25=log2 =-2.
当x=1时,y=log21=0.
当x=2时,y=log22=1.
当x=4时,y=log24=2.
所以，值域为{-2，0，1，2}.课件60张PPT。第2课时 对数函数及其性质的应用类型 一 对数函数单调性的应用
【典型例题】
1.(2013·大庆高一检测)已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,
则( )
A.bC.c2.已知logm70,且a≠1),g(x)=loga(3-x)(a>0,且a≠1).
(1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的定义域.
(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围．【解题探究】1.比较题1中这三个对数的大小时可以选取什么数作为中间量？同底数的两个对数如何比较大小？
2.真数相同的两个对数比较大小可以用什么方法？
3.解对数不等式的依据是什么？对数的底数含有字母时,解对数不等式要注意什么？探究提示：
1.可以选取“1”作为中间量.同底数的两个对数比较大小,可以利用对数函数的单调性由真数的大小推出相应对数的大小.
2.真数相同的两个对数比较大小,可以根据不同底数对数函数的图象分析，也可以利用换底公式转化为同底对数进行比较.
3.解对数不等式可以利用对数函数的单调性由对数的大小推出真数的大小.对数的底数含有字母时，解对数不等式要注意分底数大于1和大于零且小于1两类讨论.【解析】1.选D.因为函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数，且3.6>2，所以log23.6>log22=1,
因为函数y=log4x在(0,+∞)上是增函数，且3.2<3.6<4，所以log43.2所以log43.2y=lognx的图象如图所示：由图象可知0方法二：因为logm7所以 即
所以log7m<0,log7n<0,故log7m·log7n>0,
所以
即log7n答案：0义，需有 解得1故函数h(x)=f(x)-g(x)的定义域为(1,3).(2)因为不等式f(x)≥g(x)，即loga(x-1)≥loga(3-x),
当a>1时，有 解得2≤x<3.
当0综上可得，当a>1时，不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围为
［2,3)；
当01.比较对数值大小时常用的三种方法2.两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)①当0g(x)>0；
②当a>1时，可转化为0(2)形如logaf(x)①当0ab；
②当a>1时，可转化为0【解析】不等式loga <1可化为loga 所以 或 解得a>1或0所以a的取值范围为a>1或0【典型例题】
1.(2013·佛山高一检测)函数y=log3(3x+1)的值域为______．
2.若函数f(x)=logax(a>0，且a≠1)在区间［a,2a］上的最大值是最小值的3倍，求a的值.【解题探究】1.求形如y=logaf(x)的函数的值域，可以转化为求哪两个函数的值域问题？
2.要求出函数f(x)在区间［a,2a］上的最大值和最小值，需要知道函数f(x)在区间［a,2a］上的什么性质？
探究提示：
1.可以转化为求关于x的函数u=f(x)的值域和关于u的函数y=logau的值域.
2.要知道函数f(x)在区间［a,2a］上的单调性.【解析】1.因为3x+1>0对任意x∈R都成立，所以函数y=log3(3x+1)的定义域是R,
令u=3x+1，则y=log3u,
由x∈R得u=3x+1∈(1,+∞).
又因为关于u的函数y=log3u在(1,+∞)上为增函数,所以由u∈(1,+∞)得y=log3u∈(0,+∞).
所以函数y=log3(3x+1)的值域为(0,+∞).
答案：(0,+∞)2.(1)当a>1时，f(x)=logax在区间［a,2a］上是增函数,
∴f(x)max=f(2a)=loga(2a),
f(x)min=f(a)=logaa=1,∴loga(2a)=3×1,∴2a=a3,
又a>1,∴a2=2,a=(2)当0∴f(x)max=f(a)=logaa=1,
f(x)min=f(2a)=loga(2a),
∴3loga(2a)=1,∴2a= ∴8a3=a，又0∴
综上所述，a= 或a=【拓展提升】求函数y=logaf(x)值域的步骤
(1)换元：先令u=f(x)，再求出f(x)的值域.
(2)求新元的范围：结合u＞0，求出u的取值范围，不妨设为［m，n］(m＞0).
(3)结合单调性求值域：
①若a＞1，则函数y=logaf(x)的值域为［logam,logan］；
②若0＜a＜1，则函数y=logaf(x)的值域为［logan,logam］.【变式训练】若函数f(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1)的定义域和
值域都是［0,1］，则a等于( )
A. B. C. D.2
【解题指南】先由x∈［0,1］求出x+1的范围，再利用对数函
数的单调性，分两种情况求出loga(x+1)的范围，最后根据值
域为［0,1］求出a的值.【解析】选D.因为函数f(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1)的定义域和值域都是［0,1］,
所以0≤x≤1，1≤x+1≤2.
(1)当a>1时，0=loga1≤loga(x+1)≤loga2=1,所以a=2.
(2)当0综上所述，a=2.类型 三 对数函数性质的综合应用
【典型例题】
1.(2013·北京高一检测)设偶函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上是增函数，则f(a+1)与f(b+2)的大小关系是( )
A.f(a+1)=f(b+2)
B.f(a+1)C.f(a+1)>f(b+2)
D.不确定2.(2013·双鸭山高一检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，
且x>0时，
(1)求f(1)，f(-1).
(2)求函数f(x)的表达式.
(3)若f(a-1)-f(3-a)<0，求a的取值范围.【解题探究】1.奇函数和偶函数的定义域有什么特征？由此可以求出b的值吗？a+1与b+2的大小关系和f(a+1)与f(b+2)的大小关系有什么联系？
2.题2中求函数f(x)的表达式，关键是求自变量在各取值范围内取值时的表达式.如何利用f(-x)与f(x)的关系求表达式？探究提示：
1.奇函数和偶函数的定义域关于原点对称，由此可以求出b的值.根据函数f(x)的单调性可以由a+1与b+2的大小关系推出f(a+1)与f(b+2)的大小关系.
2.函数f(x)的定义域是R，求其表达式关键是求x<0和x=0时f(x)的表达式.函数f(x)是奇函数，可利用f(x)=-f(-x)求表达式.【解析】1.选C.因为偶函数f(x)的定义域是(-∞,b)∪(b,+∞)，所以b=0.
于是f(x)=loga|x|，又因为函数f(x)在(-∞,0)上是递增函数，
所以函数f(x)在(0,+∞)上是递减函数，即函数y=logax在(0,+∞)上是递减函数，故0因为1所以1f(b+2).2.(1)f(1)= =-3，f(-1)=-f(1)=3.
(2)因为f(x)在R上为奇函数，
所以f(0)=0,令x<0，则-x>0，所以f(x)=-f(-x)=
所以(3)设x1,x2∈(0,+∞)且x1而x2+7>x1+7>0，所以0< <1，
所以
所以f(x)= 在(0，+∞)上为减函数，且当x>0时，
f(x)∴f(x)= 在［0,+∞)上为减函数，又∵f(x)在R上为奇函数，图象关于原点对称,
∴f(x)在R上为减函数.由于f(a-1)3-a,
∴a>2.【互动探究】题2中，若函数f(x)是偶函数，试求当x<0时，
函数f(x)的表达式.
【解析】令x<0，则-x>0，因为函数f(x)是偶函数,
所以f(x)=f(-x)=
故当x<0时，【拓展提升】
1.对数函数性质的综合应用
(1)常见的命题方式
对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算.
(2)解此类问题的基本思路
首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路.2.解答y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数要注意的问题
(1)要注意变量的取值范围.例如，f(x)＝log2x，
g(x)＝x2＋x，则f(g(x))＝log2(x2＋x)中需要g(x)>0；g(f(x))＝(log2x)2＋log2x中需要x>0.
(2)判断y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，其次再利用奇偶性定义判断．【变式训练】设f(x)=lg(10x+1)+ax是偶函数，那么a的值为___.
【解析】对于任意x∈R都有10x+1>0,
所以f(x)=lg(10x+1)+ax的定义域是R,
由题意知lg(10-x+1)+a·(-x)=lg(10x+1)+ax,
-ax=lg(10x+1)+ax,
lg(10x+1)-lg10x-ax=lg(10x+1)+ax,
整理得(2a+1)x=0对任意x∈R都成立,
所以2a+1=0，
答案： 复合函数的单调性
【典型例题】
1.已知y=loga(2-ax)在［0,1］上是关于x的减函数，则a的取
值范围是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(0,2) D.［2,+∞)
2.函数 其中x∈(-∞,-3)∪(1,+∞)的单调递
增区间是______.
3.证明函数f(x)=log2(x2+1)在(0，+∞)上是增函数.【解析】1.选B.令u=2-ax,
∵a>0,且a≠1,
∴u=2-ax在［0,1］上是关于x的减函数.
又y=loga(2-ax)在［0,1］上是关于x的减函数，
∴函数y=logau是关于u的增函数，且对x∈［0,1］时，
u=2-ax恒为正数,
∴a>1且x∈［0,1］时,umin=2-a>0,∴1∵u=x2+2x-3=(x+1)2-4,
∴函数u=x2+2x-3图象的对称轴为直线x=-1,
∴函数u=x2+2x-3在(-∞,-3)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数.
又∵函数 在(0，+∞)上是减函数.
∴根据复合函数单调性“同增异减”的法则可知，
函数 的单调递增区间是(-∞,-3).
答案：(-∞,-3)3.设x1，x2∈(0，+∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)=
∵0＜x1＜x2，
∴0< +1＜ +1.
又∵y=log2x在(0，+∞)上是增函数，
∴log2( +1)＜log2( +1)，
即f(x1)＜f(x2).
∴函数f(x)=log2(x2+1)在(0，+∞)上是增函数.【拓展提升】
1.研究复合函数单调性的三个基本步骤2.形如y=logaf(x)的函数的单调性
首先要确保f(x)>0，
当a>1时，y=logaf(x)的单调性在f(x)>0的前提下与y=f(x)的单调性一致.
当00的前提下与y=f(x)的单调性相反.【规范解答】对数型函数的值域问题【典例】 【条件分析】【规范解答】∵
∴
即 ……………………… 1分
∴ ≤log2x≤3. ……………………… 2分
∵ ②
=(log2x-log22)·(log2x-log24) ……………………… 4分
=(log2x-1)·(log2x-2). ……………………… 6分令t=log2x,
则 ≤t≤3,
f(x)=g(t)=(t-1)(t-2)=(t- )2- ③.…………………… 8分
∵ ≤t≤3,
∴f(x)max=g(3)=2, …………………… 10分
f(x)min=g( )
= …………………… 11分
∴函数 的值域为［ 2］. ……… 12分【失分警示】【防范措施】
1.重视对数运算性质的应用
恰当应用对数的运算性质，可以实现简化函数解析式的目的.
例如,本题中 均可化为用log2x表示的形式.
2.分析复杂函数与基本初等函数的关系
化未知为已知，化复杂为简单是解答数学问题的基本思路.例
如,本题中通过转化变形最终只要解答t=log2x，
g(t)=(t-1)(t-2)两个函数的值域问题即可.【类题试解】(2013·黔西南高一检测)设函数y=f(x)且
lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x).
(1)求f(x)的解析式及定义域.
(2)求f(x)的值域.【解析】(1)因为 解得0(0,3).
因为lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),所以lgy=3x(3-x),
所以y=103x(3-x).
(2)令u=3x(3-x)，则y=10u.因为u=3x(3-x)=-3［(x- )2- ］,
且x∈(0,3),
所以u∈(0, ］，
又因为函数y=10u在(0, ］上是关于u的增函数,
所以函数f(x)的值域为(1, ］.1.若log2a<0,( )b>1，则( )
A.01,b<0
C.00 D.a>1,b>0
【解析】选A.∵函数y=log2x在(0，+∞)上为增函数，
∴由log2a<0=log21,得0∵函数y=( )x在(0，+∞)上为减函数，
∴由( )b>1=( )0,得b<0.2.函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)为( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数【解析】选A.由 得-1所以函数f(x)的定义域是(-1,1).
f(－x)＝loga(1－x)－loga(1+x)
=-［loga(1＋x)－loga(1－x)］=-f(x),
所以函数f(x)是奇函数.3.函数 的定义域为( )
A.(0，+∞) B.［1,+∞)
C.［3,+∞) D.(0,3)
【解析】选B.由log3x≥0得log3x≥log31,故x≥1.
所以函数 的定义域为［1,+∞).4.函数y=2+log2x(x≥1)的值域是______.
【解析】∵y=log2x在［1,+∞)上是增函数,
∴由x≥1得y=log2x≥log21=0,y=2+log2x≥2,
∴函数y=2+log2x(x≥1)的值域是［2,+∞).
答案：［2,+∞)5.设y＝loga(x＋2)(a＞0且a≠1)，当a∈______时，
y＝loga(x＋2)为减函数；此时当x∈______时，y＜0.【解析】当a∈(0,1)时，y＝loga(x＋2)为减函数.
理由如下：任取x1，x2∈(0,1),且x1所以0又当a∈(0,1)时，y＝logax为减函数.
所以loga(x1+2)>loga(x2+2),
所以y＝loga(x＋2)为减函数.
由y＜0得loga(x+2)<0=loga1,又因为a∈(0,1)时，y＝logax为减函数,
所以x+2>1，x>-1,
所以x∈(－1，＋∞)时，y＜0.
答案：(0,1) (－1，＋∞)6.比较下列各组数的大小：
(1)log0.71.3和log0.71.8.
(2)log31.1和log0.31.1.
(3)log75和log67.【解析】(1)因为对数函数y=log0.7x在(0,+∞)上是减函数.因为1.3＜1.8，所以log0.71.3＞log0.71.8.
(2)因为对数函数y=log3x在(0,+∞)上是增函数.
因为1.1＞1，所以log31.1＞log31=0.
因为对数函数y=log0.3x在(0,+∞)上是减函数.
因为1.1＞1，所以log0.31.1＜log0.31=0.
所以log31.1＞log0.31.1.(3)因为对数函数y=log7x和对数函数y=log6x都是(0, +∞)上的增函数，
所以log75＜log77=1=log66＜log67.所以log75＜log67.