【专项】人教版七年级数学上册 第四章 几何图形初步解答题专项练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 【专项】人教版七年级数学上册 第四章 几何图形初步解答题专项练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-11 11:51:56 | ||
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文档简介
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几何图形初步解答题专项练习
1．已知，∠AOD＝160°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠AOB＝40°，则∠BON＝ °；
（2）如图2，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；
（3）如图3，OC是∠AOD内的射线，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当射线OB在∠AOC内时，求∠MON的度数．
2．解答下列各题：
（1）图①，是一副三角尺（COD和AOB）在桌面上叠放成的图形，已知OB平分∠COD，则∠AOC度数是 ；
（2）如图②，点O在直线AB上．
①若∠1＝40°，∠4＝20°，则∠COE的度数是 ．
②如果OD为任意射线，OC平分∠AOD，OE平分∠BOD，求∠COE的度数．
3．已知：如图，O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC＝30°，求∠COE的度数；
（2）若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）．
4．如图1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．
（1）∠BOM＝ ；
（2）若在图1中画射线OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；
（3）如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°．
5．如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）如果∠AOB＝50°，∠DOE＝35°，那么∠BOD是多少度？
（2）如果∠AOE＝160°，∠COD＝25°，那么∠AOB是多少度？
6．已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
（1）如图1，若OB，OC重合，则∠EOF＝ ；
（2）如图2，∠BOC＝20°，求∠EOF的度数；
（3）如图3，求∠EOF的度数．
7．如图，写出：
（1）以C为顶点的所有角；
（2）以AB为一边的所有角；
（3）以F为顶点，FB为一边的所有角．
8．点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处，射线OC平分∠MOB．
（1）如图1，若∠AOM＝30°，求∠CON的度数；
（2）在图1中，若∠AOM＝α，直接写出∠CON的度数（用含α的式子表示）；
（3）将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在直线AB上方，另一边ON在直线AB下方．
①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②当∠AOC＝3∠BON时，求∠AOM的度数．
9．如图，已知∠AOB是直角，射线OC在∠AOB的外面，OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线．
（1）若∠BOC＝40°求∠MON的大小；
（2）当∠BOC＝60°，其它条件不变时，直接写出∠MON的度数；
（3）写出∠MON与∠AOB之间的数量关系（∠BOC＜90°）．
10．如图，点C表示村庄，AC，BC是两条公路，AB是河流．点A和点B处各有一座小桥．已知：AC⊥BC，CD⊥AB．
（1）量出点C到河边的图上距离是 cm；
（2）如果此图按照1：10000的比例画出的，计算出C到河边的实地距离为多少m；
（3）如果测量队测出∠ABC＝28°，求出∠FAE的度数．
11．已知：∠AOB＝90°，直线CD过点O，OE平分∠AOD．
（1）如图1，当CD在∠AOB的外部时，若∠AOC＝40°，则∠BOE＝ ；
（2）如图2，当CD经过∠AOB的内部时，若∠AOC＝150°，求∠BOE的度数；
（3）比较（1）（2），你有什么发现？ ．
12．如图，用三张卡片拼成如图①，图②所示的两个四边形，其周长分别为C1、C2．
（1）请你根据所学知识解释：在直角三角形卡片中，“n＜m”的理由是 ．
（2）分别计算C1、C2（用含m、n的代数式表示），并比较C1和C2的大小．
13．如图，点C在射线BE上，点F在线段AD上，CD平分∠FCE，∠FDC＝∠FCD．
（1）当∠BAD＝120°时，求∠ABC；
（2）点N是线段FD上一点，点P是线段CD上一点，连接AC，FP．若CA为∠BCF的角平分线，∠NCD＝∠ACF，3∠BCN﹣2∠CFP＝270°，探究直线CD上是否存在一点Q，使得FQ＜FP．
14．直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD＝20°，∠BOE＝130°，求∠EOF的度数；
②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明OC平分∠AOE．
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
15．如图，点C在线段AB上，AC＜CB，点D、E分别是AB和CB的中点，AC＝10cm，EB＝8cm．
（1）求线段CD，DE，AB的长；
（2）是否存在点M，使它到A，C两点的距离之和等于8cm，为什么？
（3）是否存在点M，使它到A，C两点的距离之和大于10cm？如果点M存在，点M的位置应该在哪里？为什么？这样的点M有多少个？
16．如图，是一个简单的平面示意图，已知OA＝2km，OB＝6km，OC＝BD＝4km，点E为OC的中点，回答下列问题：
（1）由图可知，高铁站在小明家南偏西65°方向6km处，请用类似的方法用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置；
（2）图中到小明家距离相同的是哪些地方？
17．如图，已知点C在线段AB上，且AM＝AC，BN＝BC．
（1）若AC＝12，CB＝6，求线段MN的长．
（2）若C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC＝a，其他条件不变，求线段MN的长．
18．已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）一个角的平分线 这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”）
（2）如图，∠MPN＝60°．
①若射线PQ是∠MPN的奇妙线，则∠QPN的度数为 度；
②射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°45'的速度绕点P按逆时针方向旋转，当
∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线PM是∠FPN的奇妙线？
19．在平面直角坐标系中，D（0，﹣3），M（4，﹣3），直角三角形ABC的边与x轴分别相交于O、G两点，与直线DM分别交于E、F点，∠ACB＝90°．
（1）将直角三角形如图1位置摆放，如果∠AOG＝46°，则∠CEF＝ ；
（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，
①若∠NEC+∠CEF＝180°，请直接写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系： ；
②若∠NED+∠CEF＝180°，请判断∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由．
（3）将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝140°，延长AC交DM于点Q，点P是射线GF上一动点，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）： ．
20．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝30°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝ ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，
①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝ ；
②若OD在∠BOC内部，请直接写由∠BOD与∠COE的数量关系为 ；
（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．
21．如图，O是直线EF上一点，OD是直线EF上方过点O的一条射线，∠DOE＝70°，若射线OA在∠DOF的内部，∠AOD的度数为x（x＜36°）．射线OB在直线EF上方，且∠BOE＝5∠AOD．
（1）∠AOE＝ （x的代数式表示）；
（2）当∠AOB＝30°时，求x的值；
（3）若射线OC在∠AOE的内部，且∠COE＝4∠AOD，当OA，OB，OC三条射线中的一条射线是另外两条射线组成的夹角的平分线时，请直接写出x的值．
22．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若∠NEC＝32°，求∠FMN的大小．
23．已知点O是直线AB上一点，过O作射线OC，使∠BOC＝110°．
（1）如图1，∠AOC的度数是 ；
（2）如图2，过点O作射线OD使∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OE，求∠DOE的度数．
（3）在（2）的条件下，作射线OF，若∠BOF与∠AOE互余，请直接写出∠DOF的度数．
24．如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE，
（1）如图1，若∠COE＝110°，求∠BOD的度数
（2）如图2，若∠BOE：∠COE＝1：3，求∠AOC的度数；
（3）在（2）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．
参考答案
1．已知，∠AOD＝160°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠AOB＝40°，则∠BON＝ 60 °；
（2）如图2，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；
（3）如图3，OC是∠AOD内的射线，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当射线OB在∠AOC内时，求∠MON的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOD＝160°，∠AOB＝40°，
∴∠BOD＝120°，
∵ON平分∠BOD，
∴∠BON＝∠BOD＝60°，
故答案为：60；
（2）∵ON平分∠BOD，OM平分∠AOB，
∴∠BON＝∠BOD，∠BOM＝∠AOB，
∵∠AOD＝160°，
∴∠MON＝∠BON+∠BOM＝∠BOD+∠AOB＝∠AOD＝80°；
（3）设∠AOB＝x，则∠BOD＝160°﹣x，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠COM＝∠AOC＝（x+20°），∠BON＝∠BOD＝（160°﹣x），
∴∠MON＝∠COM+∠BON﹣∠BOC＝（x+20°）+（160°﹣x）﹣20°＝70°．
2．解答下列各题：
（1）图①，是一副三角尺（COD和AOB）在桌面上叠放成的图形，已知OB平分∠COD，则∠AOC度数是 67.5° ；
（2）如图②，点O在直线AB上．
①若∠1＝40°，∠4＝20°，则∠COE的度数是 120° ．
②如果OD为任意射线，OC平分∠AOD，OE平分∠BOD，求∠COE的度数．
【解答】解：（1）由图得∠COD＝45°，∠AOB＝90°，
因为OB平分∠COD，
所以，
故答案为：22.5°；
所以∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣22.5°＝67.5°；
（2）①∵∠1＝40°，∠4＝20°，
∴∠COE＝180°﹣∠1﹣∠4＝120°，
故答案为：120°；
②因为点O在直线AB上，OD为任意射线，
所以∠AOD+∠BOD＝180°，
因为OC平分∠AOD，OE平分∠BOD，
所以，（角平分线定义），
所以＝＝＝90°．
3．已知：如图，O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC＝30°，求∠COE的度数；
（2）若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）．
【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，∠AOC＝30°，
∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°，
∴∠COE＝150°×＝75°．
（2））∵OE平分∠BOC，若∠AOC＝α，
∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，
∴∠COE＝（180°﹣α）×＝90°﹣α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α．
4．如图1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．
（1）∠BOM＝ 30° ；
（2）若在图1中画射线OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；
（3）如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，OM平分∠AOB，
∴∠BOM＝∠AOB＝30°，
故答案为：30°；
（2）当OC在∠BOM内时，
∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，
∴∠BON＝∠CON＝10°，
∴∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝30°﹣10°＝20°；
当OC在∠BOM外时，
∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，
∴∠BON＝∠CON＝10°，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝30°+10°＝40°；
综上所述：∠MON为20°或40°；
（3）设经过t分钟，∠BOM的度数第一次等于50°，
∵∠BOM＝50°，OM平分∠AOB，
∴∠AOB＝100°，
∴60+6t﹣0.5t＝100，
解得t＝，
∴经过分钟，∠BOM的度数第一次等于50°．
5．如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）如果∠AOB＝50°，∠DOE＝35°，那么∠BOD是多少度？
（2）如果∠AOE＝160°，∠COD＝25°，那么∠AOB是多少度？
【解答】解：（1）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOB＝50°，∠DOE＝35°，
∴∠BOC＝∠AOB＝50°，∠COD＝∠DOE＝35°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝50°+35°＝85°；
（2）∵OD是∠COE的平分线，∠COD＝25°，
∴∠COE＝2∠COD＝2×25°＝50°，
∵∠AOE＝160°，
∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝160°﹣50°＝110°，
∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠AOB＝∠AOC＝×110°＝55°．
6．已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
（1）如图1，若OB，OC重合，则∠EOF＝ 90° ；
（2）如图2，∠BOC＝20°，求∠EOF的度数；
（3）如图3，求∠EOF的度数．
【解答】解：（1）∵OB，OC重合，
∴∠AOB+∠COD＝180°．
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOB＝∠AOB，∠BOF＝∠COD．
∴∠EOF＝∠EOB+∠BOF
＝∠AOB+∠COD
＝（∠AOB+∠COD）
＝×180°
＝90°．
故答案为：90°．
（2）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB ∠BOC＝70°，∠BOD＝∠COD ∠BOC＝70°．
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOC＝∠AOC＝35°，∠BOF＝∠BOD＝35°．
∴∠EOF＝∠EOC+∠BOC+∠BOF＝35°+20°+35°＝90°．
（3）设∠BOC＝x°．
∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝x°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝（90+x）°，∠BOD＝∠COD+∠BOC＝（90+x）°．
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOC＝∠AOC＝（90+x）°，∠BOF＝∠BOD＝（90+x）°．
∴∠EOF＝∠EOC+∠BOF ∠BOC＝（90+x）°+（90+x）° x°＝90°．
7．如图，写出：
（1）以C为顶点的所有角；
（2）以AB为一边的所有角；
（3）以F为顶点，FB为一边的所有角．
【解答】解：（1）以C为顶点的所有角有∠BCE，∠BCF，∠BCD，∠ECF，∠ECD，∠FCD；
（2）以AB为一边的所有角有∠ABC，∠BAD，∠ABF；
（3）以F为顶点，FB为一边的所有角有∠AFB，∠BFC，∠BFD．
8．点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处，射线OC平分∠MOB．
（1）如图1，若∠AOM＝30°，求∠CON的度数；
（2）在图1中，若∠AOM＝α，直接写出∠CON的度数（用含α的式子表示）；
（3）将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在直线AB上方，另一边ON在直线AB下方．
①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②当∠AOC＝3∠BON时，求∠AOM的度数．
【解答】解：（1）由已知得∠BOM＝180°﹣∠AOM＝150°，
∵∠MON＝90°，OC平分∠BOM，
∴∠CON＝∠MON﹣∠BOM＝90°﹣×150°＝15°；
（2）由已知得∠BOM＝180°﹣∠AOM＝180°﹣a，
∵∠MON＝90°，OC平分∠BOM，
∴∠CON＝∠MON﹣∠BOM＝90°﹣×（180°﹣a）＝a；
（3）①设∠AOM＝x，则∠BOM＝180°﹣x，OC平分∠BOM，
∴∠MOC＝∠BOM＝（180°﹣x）＝90°﹣，
∵∠MON＝90°，
∴∠CON＝∠MON﹣∠MOC＝90°﹣（90°﹣x）＝x，
∴∠CON＝∠AOM；
②∵∠BON＝∠MON﹣∠BOM＝90°﹣（180°﹣x）＝x﹣90°，
∴∠AOC＝∠AOM+∠MOC＝x+90°﹣＝90°+x，
∵∠AOC＝3∠BON，
∴90°+＝3（x﹣90°），
解得x＝144°，
∴∠AOM＝144°．
9．如图，已知∠AOB是直角，射线OC在∠AOB的外面，OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线．
（1）若∠BOC＝40°求∠MON的大小；
（2）当∠BOC＝60°，其它条件不变时，直接写出∠MON的度数；
（3）写出∠MON与∠AOB之间的数量关系（∠BOC＜90°）．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝40°，ON是∠BOC的平分线，
∴∠NOC＝∠BON＝20°，
∵∠AOB是直角，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝90°+40°＝130°，
∵OM是∠AOC的平分线，
∴∠MOC＝∠AOM＝65°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝65°﹣20°＝45°；
（2）∵∠BOC＝60°，ON是∠BOC的平分线，
∴∠NOC＝∠BON＝30°，
∵∠AOB是直角，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝90°+60°＝150°，
∵OM是∠AOC的平分线，
∴∠MOC＝∠AOM＝75°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝75°﹣30°＝45°；
（3）∠MON＝∠AOB，
∵ON是∠BOC的平分线，
∴∠NOC＝∠BOC，
∵∠AOB是直角，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝90°+∠BOC，
∵OM是∠AOC的平分线，
∴∠MOC＝∠AOC，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝∠AOC﹣∠BOC＝（90°+∠BOC）﹣∠BOC＝45°＝∠AOB，
即∠MON＝∠AOB．
10．如图，点C表示村庄，AC，BC是两条公路，AB是河流．点A和点B处各有一座小桥．已知：AC⊥BC，CD⊥AB．
（1）量出点C到河边的图上距离是 1.5 cm；
（2）如果此图按照1：10000的比例画出的，计算出C到河边的实地距离为多少m；
（3）如果测量队测出∠ABC＝28°，求出∠FAE的度数．
【解答】解：（1）点C到AB的图上距离即线段CD的长度，测量可得点C到AB的图上距离是1.5厘米，
故答案为：1.5；
（2）1.5×10000＝15000（厘米），
15000厘米＝150米，
答：C到河边的实地距离为150米；
（3）∵AC⊥BC，∠ABC＝28°，
∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°，
∴∠EAF＝∠BAC＝62°．
11．已知：∠AOB＝90°，直线CD过点O，OE平分∠AOD．
（1）如图1，当CD在∠AOB的外部时，若∠AOC＝40°，则∠BOE＝ 20° ；
（2）如图2，当CD经过∠AOB的内部时，若∠AOC＝150°，求∠BOE的度数；
（3）比较（1）（2），你有什么发现？ ∠BOE＝∠AOC． ．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝40°，
∴∠DOB＝50°，∠AOD＝140°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝∠AOD＝70°，
∴∠BOE＝∠DOE﹣∠DOB＝70°﹣50°＝20°．
故答案为：20°；
（2）∵∠AOC＝150°，
∴∠AOD＝30°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝∠AOD＝15°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOE＝∠DOE+∠DOB＝15°+60°＝75°．
（3）∠BOE＝∠AOC，
故答案为：∠BOE＝∠AOC．
12．如图，用三张卡片拼成如图①，图②所示的两个四边形，其周长分别为C1、C2．
（1）请你根据所学知识解释：在直角三角形卡片中，“n＜m”的理由是 垂线段最短 ．
（2）分别计算C1、C2（用含m、n的代数式表示），并比较C1和C2的大小．
【解答】解：（1）在直角三角形卡片中，“n＜m”的理由是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短；
（2）如图所示，
C1＝2m+4n；C2＝4m+2n，
C1﹣C2＝（2m+4n）﹣（4m+2n）＝2n﹣2m＝2（n﹣m），
∵n＜m，
∴n﹣m＜0，
∴2（n﹣m）＜0，
∴C1＜C2．
13．如图，点C在射线BE上，点F在线段AD上，CD平分∠FCE，∠FDC＝∠FCD．
（1）当∠BAD＝120°时，求∠ABC；
（2）点N是线段FD上一点，点P是线段CD上一点，连接AC，FP．若CA为∠BCF的角平分线，∠NCD＝∠ACF，3∠BCN﹣2∠CFP＝270°，探究直线CD上是否存在一点Q，使得FQ＜FP．
【解答】解：（1）∵CD平分∠FCE，
∴∠DCF＝∠DCE，
∵∠FDC＝∠FCD，
∴∠FDC＝∠DCE，
∴AD∥BE，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝120°，
∴∠B＝60°；
（2）∵CA为∠BCF的角平分线，
∴∠BCA＝∠ACF，
∵∠BCA+∠ACF+∠DCF+∠DCE＝180°，
∵∠DCF＝∠DCE，
∴∠ACF+∠DCF＝90°，
∴AC⊥CD，
设∠NCD＝x，∠FCN＝y，
∵∠NCD＝∠ACF，
∴∠ACF＝∠BCA＝3x，
∵3∠BCN﹣2∠CFP＝270°，
∴18x+3y+2∠CFP＝270°①，
∵4x+y＝90°②，
∴由①②消去y得∠CFP＝3x，
∴∠CFP＝∠ACF，
∴FP∥AC，
∴FP⊥CD，
∵垂线段最短，
∴直线CD上不存在一点Q，使得FQ＜FP．
14．直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD＝20°，∠BOE＝130°，求∠EOF的度数；
②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明OC平分∠AOE．
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【解答】（1）①解：∵OF⊥CD于点O，
∴∠DOF＝90°，
∵∠BOD＝20°，
∴∠BOF＝90°﹣20°＝70°，
∵∠BOE＝130°，
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝130°﹣70°＝60°；
∴∠EOF的度数为60°；
②证明：∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠FOB＝∠EOB，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，
∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE；
（2）解：3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°，
理由如下：
当点E，F在直线AB的同侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，
①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；
当点E和点F在直线AB的异侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，
①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．
综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．
15．如图，点C在线段AB上，AC＜CB，点D、E分别是AB和CB的中点，AC＝10cm，EB＝8cm．
（1）求线段CD，DE，AB的长；
（2）是否存在点M，使它到A，C两点的距离之和等于8cm，为什么？
（3）是否存在点M，使它到A，C两点的距离之和大于10cm？如果点M存在，点M的位置应该在哪里？为什么？这样的点M有多少个？
【解答】解：（1）∵点E是CB的中点，EB＝8cm，
∴CE＝BE＝8cm，
∴BC＝CE+BE＝8+8＝16（cm），
∵AC＝10cm，
∴AB＝26cm，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝13cm，
∴CD＝AD﹣AC＝13﹣10＝3（cm），
DE＝BD﹣BE＝13﹣8＝5（cm）；
（2）不存在，
∵两点之间线段最短，
∴点A、C之间的最短距离为10cm，
故不存在点M，使它到A，C两点的距离之和等于8cm；
（3）存在，
∵两点之间线段最短，
∴线段AB外任何一点到A，C两点的距离之和都大于10cm，这样的点有无数个．
16．如图，是一个简单的平面示意图，已知OA＝2km，OB＝6km，OC＝BD＝4km，点E为OC的中点，回答下列问题：
（1）由图可知，高铁站在小明家南偏西65°方向6km处，请用类似的方法用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置；
（2）图中到小明家距离相同的是哪些地方？
【解答】解：（1）由题意得：
90°﹣45°＝45°，90°﹣40°＝50°，
学校在小明家北偏东45°方向2km处，
博物馆在小明家南偏东50°方向4km处；
（2）∵OC＝4km，点E为OC的中点，
∴OE＝OC＝2（km），
∵OB＝6km，BD＝4km，
∴OD＝OB﹣BD＝2（km），
∵OA＝2km，
∴OA＝OD＝OE，
∴图中到小明家距离相同的是影院，公园，学校．
17．如图，已知点C在线段AB上，且AM＝AC，BN＝BC．
（1）若AC＝12，CB＝6，求线段MN的长．
（2）若C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC＝a，其他条件不变，求线段MN的长．
【解答】解：（1）∵AM＝AC，
∴CM＝AC，
∵AC＝12，
∴CM＝8，
∵BN＝BC，
∴CN＝BC，
∵BC＝6，
∴CN＝×6＝4，
∴MN＝CM+CN＝8+4＝12；
（2）∵AM＝AC，BN＝BC，
∴AM+BN＝AC+BC＝（AC+BC），
∴MN＝MC+NC＝（AC+BC），
∵AC+BC＝a，
∴MN＝a，
即线段MN的长为a．
18．已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）一个角的平分线 是 这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”）
（2）如图，∠MPN＝60°．
①若射线PQ是∠MPN的奇妙线，则∠QPN的度数为 20或30或40 度；
②射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°45'的速度绕点P按逆时针方向旋转，当
∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线PM是∠FPN的奇妙线？
【解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；
故答案为：是．
（2）①若∠MPN＝60°，且射线PQ是∠MPN的“奇妙线”，则由“奇妙线”的定义可知有三种情况符合题意：
当∠NPQ＝2∠MPQ时，∠QPN＝40°，
当∠MPQ＝2∠NPQ时，∠QPN＝20°，
当∠NPM＝2∠MPQ时，∠QPN＝30°，
故答案为：20或30或40；
②依题意有，3°45′＝3.75°，
当3.75t＝60+×60时，
解得t＝24；
当3.75t＝2×60时，
解得t＝32；
当3.75t＝60+2×60时，
解得t＝48．
故当t为24或32或48时，射线PM是∠FPN的“奇妙线”；
19．在平面直角坐标系中，D（0，﹣3），M（4，﹣3），直角三角形ABC的边与x轴分别相交于O、G两点，与直线DM分别交于E、F点，∠ACB＝90°．
（1）将直角三角形如图1位置摆放，如果∠AOG＝46°，则∠CEF＝ 136° ；
（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，
①若∠NEC+∠CEF＝180°，请直接写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系： ∠NEF＝2∠AOG ；
②若∠NED+∠CEF＝180°，请判断∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由．
（3）将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝140°，延长AC交DM于点Q，点P是射线GF上一动点，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）： OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF或140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF ．
【解答】解：（1）过点C作CP∥DM，
∵D（0，﹣3），M（4，﹣3），
∴DM∥x轴，
∴CP∥DM∥x轴，
∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，
∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，
∵∠AOG＝46°，
∴∠CEF＝136°．
故答案为：136°．
（2）①过点C作CQ∥x轴，
∴CQ∥EM∥x轴，
∴∠AOG＝∠ACQ，∠ECQ＝∠CEK，
∵∠NEC+∠CEF＝180°，∠CEK+∠CEF＝180°，
∴∠NEC＝∠CEK，
∵∠ACQ+∠ECQ＝90°，
∴∠ECQ＝∠CEK＝∠NEC＝90°﹣∠ACQ＝90°﹣∠AOG，
∵∠CEK+∠NEC+∠NEF＝180°，
∴2（90°﹣∠AOG）+∠NEF＝180°，
整理得∠NEF＝2∠AOG．
故答案为：∠NEF＝2∠AOG．
②∠NEF+∠AOG＝90°．
理由如下：
∵CQ∥EM∥x轴，
∴∠AOG＝∠ACQ，∠ECQ＝∠CEK，
∵∠NED+∠CEF＝180°，∠CEK+∠CEF＝180°，
∴∠NED＝∠CEK，
∵∠ACQ+∠ECQ＝90°，
∴∠AOG+∠NEF＝90°．
（3）当点P在GF上时，过点P作PH∥OG，
∴PH∥OG∥DM，
∴∠GOP＝∠OPH，∠PQF＝∠HPQ，
∴∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，
∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF．
当点P在线段GF的延长线上时，
∴PR∥OG∥DM，
∴∠GOP＝∠OPR，∠PQF＝∠QPR，
∵∠OPR＝∠OPQ+∠QPR，
∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，
∴140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
故答案为：∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF或140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
20．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝30°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝ 60° ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，
①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝ 15° ；
②若OD在∠BOC内部，请直接写由∠BOD与∠COE的数量关系为 ∠COE＝∠BOD+30° ；
（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．
【解答】解：（1）∵∠BOD＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：60°；
（2）①∵∠AOC＝∠AOD+∠COD，
∴∠AOC＝90°+60°＝150°，
∵OE平分∠AOC，
∴，
∴∠COD＝90°﹣∠COE＝90°﹣75°＝15°；
故答案为：15°；
②∵∠COE+∠COD＝90°，
∠BOD+∠COD＝30°，
∴∠COD＝∠BOD+30°；
故答案为：∠COD＝∠BOD+30°；
（3）∵∠COD+∠COE＝90°，∠COE+∠AOE＝150°，
∴∠AOE＝60°+∠COD，
∵∠COD＝∠AOE，
∴∠COD＝15°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝30°﹣15°＝15°．
21．如图，O是直线EF上一点，OD是直线EF上方过点O的一条射线，∠DOE＝70°，若射线OA在∠DOF的内部，∠AOD的度数为x（x＜36°）．射线OB在直线EF上方，且∠BOE＝5∠AOD．
（1）∠AOE＝ x+70° （x的代数式表示）；
（2）当∠AOB＝30°时，求x的值；
（3）若射线OC在∠AOE的内部，且∠COE＝4∠AOD，当OA，OB，OC三条射线中的一条射线是另外两条射线组成的夹角的平分线时，请直接写出x的值．
【解答】解：（1）∠AOE＝x+70°．
故答案为：x+70°；
（2）①当射线OB在OA左边时，
∵∠BOE＝5∠AOD，∠AOB＝30°，∠AOD的度数为x（x＜36°）．
∴∠AOB＝∠AOE﹣∠BOE，
∴70°+x﹣5x＝30°，解得x＝10°；
②当射线OB在OA右边时，
∵∠BOE＝5∠AOD，∠AOB＝30°，∠AOD的度数为x（x＜36°）．
∴∠AOB＝∠BOE﹣∠AOE，
∴5x﹣70°﹣x＝30°，解得x＝25°；
综上，x的值为10或25；
（3）x的值为14，20，35．
∵∠COE＝4∠AOD＝4x，∠BOE＝5∠AOD＝5x．
∴∠COE＜∠BOE，
∴射线OC在OB的左边，
①当OB为∠AOC的平分线时，
∵∠AOB＝∠AOE﹣∠BOE＝70°+x﹣5x＝70°﹣4x，
∠BOC＝∠BOE﹣∠COE＝5x﹣4x＝x，
∴70°﹣4x＝x，
解得：x＝14°；
②当OA为∠BOC的平分线时，
∵∠AOB＝∠BOE﹣∠AOE＝5x﹣70°﹣x＝4x﹣70°，
∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝70°+x﹣4x＝70°﹣3x，
∴4x﹣70°＝70°﹣3x，
解得：x＝20°；
综上，满足条件的x的值为14，20，35．
22．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若∠NEC＝32°，求∠FMN的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，
∴∠F＝∠A＝90°，∠DNM＝∠ENM，∠FEN＝∠D＝90°，
∵∠NEC＝32°，
∴∠ENC＝90°﹣32°＝58°，
∴，
∴∠FMN＝360°﹣90°﹣90°﹣61°＝119°．
23．已知点O是直线AB上一点，过O作射线OC，使∠BOC＝110°．
（1）如图1，∠AOC的度数是 70° ；
（2）如图2，过点O作射线OD使∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OE，求∠DOE的度数．
（3）在（2）的条件下，作射线OF，若∠BOF与∠AOE互余，请直接写出∠DOF的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝110°，
∴∠AOC＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°；
（2）∵OE是∠AOC的平分线，
∴∠AOE＝∠COE＝∠AOC＝35°，
又∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COE+∠COD＝125°；
（3）由（2）得∠AOE＝35°，∠BOD＝110°﹣90°＝20°，
∵∠BOF与∠AOE互余，
∴∠BOF＝90°﹣35°＝55°，
①当射线OF在射线OB的上方时，有∠DOF＝∠BOF﹣∠BOD＝55°﹣20°＝35°，
②当射线OF在射线OB的下方时，有∠DOF＝∠BOF+∠BOD＝55°+20°＝75°，
答：∠DOF的度数为35°或75°．
24．如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE，
（1）如图1，若∠COE＝110°，求∠BOD的度数
（2）如图2，若∠BOE：∠COE＝1：3，求∠AOC的度数；
（3）在（2）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．
【解答】解：（1）∵∠COE+∠DOE＝180°，∠COE＝110°，
∴∠DOE＝180°﹣110°＝70°，
又∵OB平分∠DOE，
∴∠BOD＝∠BOE＝∠DOE＝35°；
（2）∵OB平分∠DOE，
∴∠BOD＝∠BOE＝∠DOE，
∵∠BOE：∠COE＝1：3，
∴∠BOD＝180°×＝36°，
∴∠AOC＝∠BOD＝36°；
（3）由（2）得∠DOE＝72°，
当OF在直线CD的上方时，有∠EOF＝∠FOD+∠DOE＝90°+72°＝162°，
当OF在直线CD的下方时，有∠EOF＝∠FOD﹣∠DOE＝90°﹣72°＝18°，
因此∠EOF的度数为18°或162°．
几何图形初步解答题专项练习
1．已知，∠AOD＝160°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠AOB＝40°，则∠BON＝ °；
（2）如图2，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；
（3）如图3，OC是∠AOD内的射线，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当射线OB在∠AOC内时，求∠MON的度数．
2．解答下列各题：
（1）图①，是一副三角尺（COD和AOB）在桌面上叠放成的图形，已知OB平分∠COD，则∠AOC度数是 ；
（2）如图②，点O在直线AB上．
①若∠1＝40°，∠4＝20°，则∠COE的度数是 ．
②如果OD为任意射线，OC平分∠AOD，OE平分∠BOD，求∠COE的度数．
3．已知：如图，O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC＝30°，求∠COE的度数；
（2）若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）．
4．如图1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．
（1）∠BOM＝ ；
（2）若在图1中画射线OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；
（3）如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°．
5．如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）如果∠AOB＝50°，∠DOE＝35°，那么∠BOD是多少度？
（2）如果∠AOE＝160°，∠COD＝25°，那么∠AOB是多少度？
6．已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
（1）如图1，若OB，OC重合，则∠EOF＝ ；
（2）如图2，∠BOC＝20°，求∠EOF的度数；
（3）如图3，求∠EOF的度数．
7．如图，写出：
（1）以C为顶点的所有角；
（2）以AB为一边的所有角；
（3）以F为顶点，FB为一边的所有角．
8．点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处，射线OC平分∠MOB．
（1）如图1，若∠AOM＝30°，求∠CON的度数；
（2）在图1中，若∠AOM＝α，直接写出∠CON的度数（用含α的式子表示）；
（3）将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在直线AB上方，另一边ON在直线AB下方．
①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②当∠AOC＝3∠BON时，求∠AOM的度数．
9．如图，已知∠AOB是直角，射线OC在∠AOB的外面，OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线．
（1）若∠BOC＝40°求∠MON的大小；
（2）当∠BOC＝60°，其它条件不变时，直接写出∠MON的度数；
（3）写出∠MON与∠AOB之间的数量关系（∠BOC＜90°）．
10．如图，点C表示村庄，AC，BC是两条公路，AB是河流．点A和点B处各有一座小桥．已知：AC⊥BC，CD⊥AB．
（1）量出点C到河边的图上距离是 cm；
（2）如果此图按照1：10000的比例画出的，计算出C到河边的实地距离为多少m；
（3）如果测量队测出∠ABC＝28°，求出∠FAE的度数．
11．已知：∠AOB＝90°，直线CD过点O，OE平分∠AOD．
（1）如图1，当CD在∠AOB的外部时，若∠AOC＝40°，则∠BOE＝ ；
（2）如图2，当CD经过∠AOB的内部时，若∠AOC＝150°，求∠BOE的度数；
（3）比较（1）（2），你有什么发现？ ．
12．如图，用三张卡片拼成如图①，图②所示的两个四边形，其周长分别为C1、C2．
（1）请你根据所学知识解释：在直角三角形卡片中，“n＜m”的理由是 ．
（2）分别计算C1、C2（用含m、n的代数式表示），并比较C1和C2的大小．
13．如图，点C在射线BE上，点F在线段AD上，CD平分∠FCE，∠FDC＝∠FCD．
（1）当∠BAD＝120°时，求∠ABC；
（2）点N是线段FD上一点，点P是线段CD上一点，连接AC，FP．若CA为∠BCF的角平分线，∠NCD＝∠ACF，3∠BCN﹣2∠CFP＝270°，探究直线CD上是否存在一点Q，使得FQ＜FP．
14．直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD＝20°，∠BOE＝130°，求∠EOF的度数；
②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明OC平分∠AOE．
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
15．如图，点C在线段AB上，AC＜CB，点D、E分别是AB和CB的中点，AC＝10cm，EB＝8cm．
（1）求线段CD，DE，AB的长；
（2）是否存在点M，使它到A，C两点的距离之和等于8cm，为什么？
（3）是否存在点M，使它到A，C两点的距离之和大于10cm？如果点M存在，点M的位置应该在哪里？为什么？这样的点M有多少个？
16．如图，是一个简单的平面示意图，已知OA＝2km，OB＝6km，OC＝BD＝4km，点E为OC的中点，回答下列问题：
（1）由图可知，高铁站在小明家南偏西65°方向6km处，请用类似的方法用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置；
（2）图中到小明家距离相同的是哪些地方？
17．如图，已知点C在线段AB上，且AM＝AC，BN＝BC．
（1）若AC＝12，CB＝6，求线段MN的长．
（2）若C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC＝a，其他条件不变，求线段MN的长．
18．已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）一个角的平分线 这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”）
（2）如图，∠MPN＝60°．
①若射线PQ是∠MPN的奇妙线，则∠QPN的度数为 度；
②射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°45'的速度绕点P按逆时针方向旋转，当
∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线PM是∠FPN的奇妙线？
19．在平面直角坐标系中，D（0，﹣3），M（4，﹣3），直角三角形ABC的边与x轴分别相交于O、G两点，与直线DM分别交于E、F点，∠ACB＝90°．
（1）将直角三角形如图1位置摆放，如果∠AOG＝46°，则∠CEF＝ ；
（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，
①若∠NEC+∠CEF＝180°，请直接写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系： ；
②若∠NED+∠CEF＝180°，请判断∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由．
（3）将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝140°，延长AC交DM于点Q，点P是射线GF上一动点，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）： ．
20．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝30°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝ ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，
①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝ ；
②若OD在∠BOC内部，请直接写由∠BOD与∠COE的数量关系为 ；
（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．
21．如图，O是直线EF上一点，OD是直线EF上方过点O的一条射线，∠DOE＝70°，若射线OA在∠DOF的内部，∠AOD的度数为x（x＜36°）．射线OB在直线EF上方，且∠BOE＝5∠AOD．
（1）∠AOE＝ （x的代数式表示）；
（2）当∠AOB＝30°时，求x的值；
（3）若射线OC在∠AOE的内部，且∠COE＝4∠AOD，当OA，OB，OC三条射线中的一条射线是另外两条射线组成的夹角的平分线时，请直接写出x的值．
22．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若∠NEC＝32°，求∠FMN的大小．
23．已知点O是直线AB上一点，过O作射线OC，使∠BOC＝110°．
（1）如图1，∠AOC的度数是 ；
（2）如图2，过点O作射线OD使∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OE，求∠DOE的度数．
（3）在（2）的条件下，作射线OF，若∠BOF与∠AOE互余，请直接写出∠DOF的度数．
24．如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE，
（1）如图1，若∠COE＝110°，求∠BOD的度数
（2）如图2，若∠BOE：∠COE＝1：3，求∠AOC的度数；
（3）在（2）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．
参考答案
1．已知，∠AOD＝160°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠AOB＝40°，则∠BON＝ 60 °；
（2）如图2，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；
（3）如图3，OC是∠AOD内的射线，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当射线OB在∠AOC内时，求∠MON的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOD＝160°，∠AOB＝40°，
∴∠BOD＝120°，
∵ON平分∠BOD，
∴∠BON＝∠BOD＝60°，
故答案为：60；
（2）∵ON平分∠BOD，OM平分∠AOB，
∴∠BON＝∠BOD，∠BOM＝∠AOB，
∵∠AOD＝160°，
∴∠MON＝∠BON+∠BOM＝∠BOD+∠AOB＝∠AOD＝80°；
（3）设∠AOB＝x，则∠BOD＝160°﹣x，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠COM＝∠AOC＝（x+20°），∠BON＝∠BOD＝（160°﹣x），
∴∠MON＝∠COM+∠BON﹣∠BOC＝（x+20°）+（160°﹣x）﹣20°＝70°．
2．解答下列各题：
（1）图①，是一副三角尺（COD和AOB）在桌面上叠放成的图形，已知OB平分∠COD，则∠AOC度数是 67.5° ；
（2）如图②，点O在直线AB上．
①若∠1＝40°，∠4＝20°，则∠COE的度数是 120° ．
②如果OD为任意射线，OC平分∠AOD，OE平分∠BOD，求∠COE的度数．
【解答】解：（1）由图得∠COD＝45°，∠AOB＝90°，
因为OB平分∠COD，
所以，
故答案为：22.5°；
所以∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣22.5°＝67.5°；
（2）①∵∠1＝40°，∠4＝20°，
∴∠COE＝180°﹣∠1﹣∠4＝120°，
故答案为：120°；
②因为点O在直线AB上，OD为任意射线，
所以∠AOD+∠BOD＝180°，
因为OC平分∠AOD，OE平分∠BOD，
所以，（角平分线定义），
所以＝＝＝90°．
3．已知：如图，O是直线AB上的一点，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC＝30°，求∠COE的度数；
（2）若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）．
【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，∠AOC＝30°，
∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°，
∴∠COE＝150°×＝75°．
（2））∵OE平分∠BOC，若∠AOC＝α，
∴∠COB＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，
∴∠COE＝（180°﹣α）×＝90°﹣α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α．
4．如图1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．
（1）∠BOM＝ 30° ；
（2）若在图1中画射线OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大小；
（3）如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB＝60°，在时针与分针转动过程中，OM始终平分∠AOB，则经过多少分钟后，∠BOM的度数第一次等于50°．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，OM平分∠AOB，
∴∠BOM＝∠AOB＝30°，
故答案为：30°；
（2）当OC在∠BOM内时，
∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，
∴∠BON＝∠CON＝10°，
∴∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝30°﹣10°＝20°；
当OC在∠BOM外时，
∵∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，
∴∠BON＝∠CON＝10°，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝30°+10°＝40°；
综上所述：∠MON为20°或40°；
（3）设经过t分钟，∠BOM的度数第一次等于50°，
∵∠BOM＝50°，OM平分∠AOB，
∴∠AOB＝100°，
∴60+6t﹣0.5t＝100，
解得t＝，
∴经过分钟，∠BOM的度数第一次等于50°．
5．如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）如果∠AOB＝50°，∠DOE＝35°，那么∠BOD是多少度？
（2）如果∠AOE＝160°，∠COD＝25°，那么∠AOB是多少度？
【解答】解：（1）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOB＝50°，∠DOE＝35°，
∴∠BOC＝∠AOB＝50°，∠COD＝∠DOE＝35°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝50°+35°＝85°；
（2）∵OD是∠COE的平分线，∠COD＝25°，
∴∠COE＝2∠COD＝2×25°＝50°，
∵∠AOE＝160°，
∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝160°﹣50°＝110°，
∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠AOB＝∠AOC＝×110°＝55°．
6．已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
（1）如图1，若OB，OC重合，则∠EOF＝ 90° ；
（2）如图2，∠BOC＝20°，求∠EOF的度数；
（3）如图3，求∠EOF的度数．
【解答】解：（1）∵OB，OC重合，
∴∠AOB+∠COD＝180°．
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOB＝∠AOB，∠BOF＝∠COD．
∴∠EOF＝∠EOB+∠BOF
＝∠AOB+∠COD
＝（∠AOB+∠COD）
＝×180°
＝90°．
故答案为：90°．
（2）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB ∠BOC＝70°，∠BOD＝∠COD ∠BOC＝70°．
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOC＝∠AOC＝35°，∠BOF＝∠BOD＝35°．
∴∠EOF＝∠EOC+∠BOC+∠BOF＝35°+20°+35°＝90°．
（3）设∠BOC＝x°．
∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝x°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝（90+x）°，∠BOD＝∠COD+∠BOC＝（90+x）°．
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOC＝∠AOC＝（90+x）°，∠BOF＝∠BOD＝（90+x）°．
∴∠EOF＝∠EOC+∠BOF ∠BOC＝（90+x）°+（90+x）° x°＝90°．
7．如图，写出：
（1）以C为顶点的所有角；
（2）以AB为一边的所有角；
（3）以F为顶点，FB为一边的所有角．
【解答】解：（1）以C为顶点的所有角有∠BCE，∠BCF，∠BCD，∠ECF，∠ECD，∠FCD；
（2）以AB为一边的所有角有∠ABC，∠BAD，∠ABF；
（3）以F为顶点，FB为一边的所有角有∠AFB，∠BFC，∠BFD．
8．点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处，射线OC平分∠MOB．
（1）如图1，若∠AOM＝30°，求∠CON的度数；
（2）在图1中，若∠AOM＝α，直接写出∠CON的度数（用含α的式子表示）；
（3）将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在直线AB上方，另一边ON在直线AB下方．
①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②当∠AOC＝3∠BON时，求∠AOM的度数．
【解答】解：（1）由已知得∠BOM＝180°﹣∠AOM＝150°，
∵∠MON＝90°，OC平分∠BOM，
∴∠CON＝∠MON﹣∠BOM＝90°﹣×150°＝15°；
（2）由已知得∠BOM＝180°﹣∠AOM＝180°﹣a，
∵∠MON＝90°，OC平分∠BOM，
∴∠CON＝∠MON﹣∠BOM＝90°﹣×（180°﹣a）＝a；
（3）①设∠AOM＝x，则∠BOM＝180°﹣x，OC平分∠BOM，
∴∠MOC＝∠BOM＝（180°﹣x）＝90°﹣，
∵∠MON＝90°，
∴∠CON＝∠MON﹣∠MOC＝90°﹣（90°﹣x）＝x，
∴∠CON＝∠AOM；
②∵∠BON＝∠MON﹣∠BOM＝90°﹣（180°﹣x）＝x﹣90°，
∴∠AOC＝∠AOM+∠MOC＝x+90°﹣＝90°+x，
∵∠AOC＝3∠BON，
∴90°+＝3（x﹣90°），
解得x＝144°，
∴∠AOM＝144°．
9．如图，已知∠AOB是直角，射线OC在∠AOB的外面，OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线．
（1）若∠BOC＝40°求∠MON的大小；
（2）当∠BOC＝60°，其它条件不变时，直接写出∠MON的度数；
（3）写出∠MON与∠AOB之间的数量关系（∠BOC＜90°）．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝40°，ON是∠BOC的平分线，
∴∠NOC＝∠BON＝20°，
∵∠AOB是直角，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝90°+40°＝130°，
∵OM是∠AOC的平分线，
∴∠MOC＝∠AOM＝65°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝65°﹣20°＝45°；
（2）∵∠BOC＝60°，ON是∠BOC的平分线，
∴∠NOC＝∠BON＝30°，
∵∠AOB是直角，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝90°+60°＝150°，
∵OM是∠AOC的平分线，
∴∠MOC＝∠AOM＝75°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝75°﹣30°＝45°；
（3）∠MON＝∠AOB，
∵ON是∠BOC的平分线，
∴∠NOC＝∠BOC，
∵∠AOB是直角，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝90°+∠BOC，
∵OM是∠AOC的平分线，
∴∠MOC＝∠AOC，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝∠AOC﹣∠BOC＝（90°+∠BOC）﹣∠BOC＝45°＝∠AOB，
即∠MON＝∠AOB．
10．如图，点C表示村庄，AC，BC是两条公路，AB是河流．点A和点B处各有一座小桥．已知：AC⊥BC，CD⊥AB．
（1）量出点C到河边的图上距离是 1.5 cm；
（2）如果此图按照1：10000的比例画出的，计算出C到河边的实地距离为多少m；
（3）如果测量队测出∠ABC＝28°，求出∠FAE的度数．
【解答】解：（1）点C到AB的图上距离即线段CD的长度，测量可得点C到AB的图上距离是1.5厘米，
故答案为：1.5；
（2）1.5×10000＝15000（厘米），
15000厘米＝150米，
答：C到河边的实地距离为150米；
（3）∵AC⊥BC，∠ABC＝28°，
∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°，
∴∠EAF＝∠BAC＝62°．
11．已知：∠AOB＝90°，直线CD过点O，OE平分∠AOD．
（1）如图1，当CD在∠AOB的外部时，若∠AOC＝40°，则∠BOE＝ 20° ；
（2）如图2，当CD经过∠AOB的内部时，若∠AOC＝150°，求∠BOE的度数；
（3）比较（1）（2），你有什么发现？ ∠BOE＝∠AOC． ．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝40°，
∴∠DOB＝50°，∠AOD＝140°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝∠AOD＝70°，
∴∠BOE＝∠DOE﹣∠DOB＝70°﹣50°＝20°．
故答案为：20°；
（2）∵∠AOC＝150°，
∴∠AOD＝30°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝∠AOD＝15°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOE＝∠DOE+∠DOB＝15°+60°＝75°．
（3）∠BOE＝∠AOC，
故答案为：∠BOE＝∠AOC．
12．如图，用三张卡片拼成如图①，图②所示的两个四边形，其周长分别为C1、C2．
（1）请你根据所学知识解释：在直角三角形卡片中，“n＜m”的理由是 垂线段最短 ．
（2）分别计算C1、C2（用含m、n的代数式表示），并比较C1和C2的大小．
【解答】解：（1）在直角三角形卡片中，“n＜m”的理由是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短；
（2）如图所示，
C1＝2m+4n；C2＝4m+2n，
C1﹣C2＝（2m+4n）﹣（4m+2n）＝2n﹣2m＝2（n﹣m），
∵n＜m，
∴n﹣m＜0，
∴2（n﹣m）＜0，
∴C1＜C2．
13．如图，点C在射线BE上，点F在线段AD上，CD平分∠FCE，∠FDC＝∠FCD．
（1）当∠BAD＝120°时，求∠ABC；
（2）点N是线段FD上一点，点P是线段CD上一点，连接AC，FP．若CA为∠BCF的角平分线，∠NCD＝∠ACF，3∠BCN﹣2∠CFP＝270°，探究直线CD上是否存在一点Q，使得FQ＜FP．
【解答】解：（1）∵CD平分∠FCE，
∴∠DCF＝∠DCE，
∵∠FDC＝∠FCD，
∴∠FDC＝∠DCE，
∴AD∥BE，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝120°，
∴∠B＝60°；
（2）∵CA为∠BCF的角平分线，
∴∠BCA＝∠ACF，
∵∠BCA+∠ACF+∠DCF+∠DCE＝180°，
∵∠DCF＝∠DCE，
∴∠ACF+∠DCF＝90°，
∴AC⊥CD，
设∠NCD＝x，∠FCN＝y，
∵∠NCD＝∠ACF，
∴∠ACF＝∠BCA＝3x，
∵3∠BCN﹣2∠CFP＝270°，
∴18x+3y+2∠CFP＝270°①，
∵4x+y＝90°②，
∴由①②消去y得∠CFP＝3x，
∴∠CFP＝∠ACF，
∴FP∥AC，
∴FP⊥CD，
∵垂线段最短，
∴直线CD上不存在一点Q，使得FQ＜FP．
14．直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD＝20°，∠BOE＝130°，求∠EOF的度数；
②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明OC平分∠AOE．
（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【解答】（1）①解：∵OF⊥CD于点O，
∴∠DOF＝90°，
∵∠BOD＝20°，
∴∠BOF＝90°﹣20°＝70°，
∵∠BOE＝130°，
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝130°﹣70°＝60°；
∴∠EOF的度数为60°；
②证明：∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠FOB＝∠EOB，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，
∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE；
（2）解：3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°，
理由如下：
当点E，F在直线AB的同侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，
①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；
当点E和点F在直线AB的异侧时，如图，
记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，
①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．
综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．
15．如图，点C在线段AB上，AC＜CB，点D、E分别是AB和CB的中点，AC＝10cm，EB＝8cm．
（1）求线段CD，DE，AB的长；
（2）是否存在点M，使它到A，C两点的距离之和等于8cm，为什么？
（3）是否存在点M，使它到A，C两点的距离之和大于10cm？如果点M存在，点M的位置应该在哪里？为什么？这样的点M有多少个？
【解答】解：（1）∵点E是CB的中点，EB＝8cm，
∴CE＝BE＝8cm，
∴BC＝CE+BE＝8+8＝16（cm），
∵AC＝10cm，
∴AB＝26cm，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝13cm，
∴CD＝AD﹣AC＝13﹣10＝3（cm），
DE＝BD﹣BE＝13﹣8＝5（cm）；
（2）不存在，
∵两点之间线段最短，
∴点A、C之间的最短距离为10cm，
故不存在点M，使它到A，C两点的距离之和等于8cm；
（3）存在，
∵两点之间线段最短，
∴线段AB外任何一点到A，C两点的距离之和都大于10cm，这样的点有无数个．
16．如图，是一个简单的平面示意图，已知OA＝2km，OB＝6km，OC＝BD＝4km，点E为OC的中点，回答下列问题：
（1）由图可知，高铁站在小明家南偏西65°方向6km处，请用类似的方法用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置；
（2）图中到小明家距离相同的是哪些地方？
【解答】解：（1）由题意得：
90°﹣45°＝45°，90°﹣40°＝50°，
学校在小明家北偏东45°方向2km处，
博物馆在小明家南偏东50°方向4km处；
（2）∵OC＝4km，点E为OC的中点，
∴OE＝OC＝2（km），
∵OB＝6km，BD＝4km，
∴OD＝OB﹣BD＝2（km），
∵OA＝2km，
∴OA＝OD＝OE，
∴图中到小明家距离相同的是影院，公园，学校．
17．如图，已知点C在线段AB上，且AM＝AC，BN＝BC．
（1）若AC＝12，CB＝6，求线段MN的长．
（2）若C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC＝a，其他条件不变，求线段MN的长．
【解答】解：（1）∵AM＝AC，
∴CM＝AC，
∵AC＝12，
∴CM＝8，
∵BN＝BC，
∴CN＝BC，
∵BC＝6，
∴CN＝×6＝4，
∴MN＝CM+CN＝8+4＝12；
（2）∵AM＝AC，BN＝BC，
∴AM+BN＝AC+BC＝（AC+BC），
∴MN＝MC+NC＝（AC+BC），
∵AC+BC＝a，
∴MN＝a，
即线段MN的长为a．
18．已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）一个角的平分线 是 这个角的奇妙线；（填“是”或“不是”）
（2）如图，∠MPN＝60°．
①若射线PQ是∠MPN的奇妙线，则∠QPN的度数为 20或30或40 度；
②射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°45'的速度绕点P按逆时针方向旋转，当
∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线PM是∠FPN的奇妙线？
【解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；
故答案为：是．
（2）①若∠MPN＝60°，且射线PQ是∠MPN的“奇妙线”，则由“奇妙线”的定义可知有三种情况符合题意：
当∠NPQ＝2∠MPQ时，∠QPN＝40°，
当∠MPQ＝2∠NPQ时，∠QPN＝20°，
当∠NPM＝2∠MPQ时，∠QPN＝30°，
故答案为：20或30或40；
②依题意有，3°45′＝3.75°，
当3.75t＝60+×60时，
解得t＝24；
当3.75t＝2×60时，
解得t＝32；
当3.75t＝60+2×60时，
解得t＝48．
故当t为24或32或48时，射线PM是∠FPN的“奇妙线”；
19．在平面直角坐标系中，D（0，﹣3），M（4，﹣3），直角三角形ABC的边与x轴分别相交于O、G两点，与直线DM分别交于E、F点，∠ACB＝90°．
（1）将直角三角形如图1位置摆放，如果∠AOG＝46°，则∠CEF＝ 136° ；
（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，
①若∠NEC+∠CEF＝180°，请直接写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系： ∠NEF＝2∠AOG ；
②若∠NED+∠CEF＝180°，请判断∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由．
（3）将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝140°，延长AC交DM于点Q，点P是射线GF上一动点，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）： OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF或140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF ．
【解答】解：（1）过点C作CP∥DM，
∵D（0，﹣3），M（4，﹣3），
∴DM∥x轴，
∴CP∥DM∥x轴，
∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，
∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，
∵∠AOG＝46°，
∴∠CEF＝136°．
故答案为：136°．
（2）①过点C作CQ∥x轴，
∴CQ∥EM∥x轴，
∴∠AOG＝∠ACQ，∠ECQ＝∠CEK，
∵∠NEC+∠CEF＝180°，∠CEK+∠CEF＝180°，
∴∠NEC＝∠CEK，
∵∠ACQ+∠ECQ＝90°，
∴∠ECQ＝∠CEK＝∠NEC＝90°﹣∠ACQ＝90°﹣∠AOG，
∵∠CEK+∠NEC+∠NEF＝180°，
∴2（90°﹣∠AOG）+∠NEF＝180°，
整理得∠NEF＝2∠AOG．
故答案为：∠NEF＝2∠AOG．
②∠NEF+∠AOG＝90°．
理由如下：
∵CQ∥EM∥x轴，
∴∠AOG＝∠ACQ，∠ECQ＝∠CEK，
∵∠NED+∠CEF＝180°，∠CEK+∠CEF＝180°，
∴∠NED＝∠CEK，
∵∠ACQ+∠ECQ＝90°，
∴∠AOG+∠NEF＝90°．
（3）当点P在GF上时，过点P作PH∥OG，
∴PH∥OG∥DM，
∴∠GOP＝∠OPH，∠PQF＝∠HPQ，
∴∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，
∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF．
当点P在线段GF的延长线上时，
∴PR∥OG∥DM，
∴∠GOP＝∠OPR，∠PQF＝∠QPR，
∵∠OPR＝∠OPQ+∠QPR，
∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，
∴140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
故答案为：∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF或140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
20．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝30°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝ 60° ；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，
①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝ 15° ；
②若OD在∠BOC内部，请直接写由∠BOD与∠COE的数量关系为 ∠COE＝∠BOD+30° ；
（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．
【解答】解：（1）∵∠BOD＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：60°；
（2）①∵∠AOC＝∠AOD+∠COD，
∴∠AOC＝90°+60°＝150°，
∵OE平分∠AOC，
∴，
∴∠COD＝90°﹣∠COE＝90°﹣75°＝15°；
故答案为：15°；
②∵∠COE+∠COD＝90°，
∠BOD+∠COD＝30°，
∴∠COD＝∠BOD+30°；
故答案为：∠COD＝∠BOD+30°；
（3）∵∠COD+∠COE＝90°，∠COE+∠AOE＝150°，
∴∠AOE＝60°+∠COD，
∵∠COD＝∠AOE，
∴∠COD＝15°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝30°﹣15°＝15°．
21．如图，O是直线EF上一点，OD是直线EF上方过点O的一条射线，∠DOE＝70°，若射线OA在∠DOF的内部，∠AOD的度数为x（x＜36°）．射线OB在直线EF上方，且∠BOE＝5∠AOD．
（1）∠AOE＝ x+70° （x的代数式表示）；
（2）当∠AOB＝30°时，求x的值；
（3）若射线OC在∠AOE的内部，且∠COE＝4∠AOD，当OA，OB，OC三条射线中的一条射线是另外两条射线组成的夹角的平分线时，请直接写出x的值．
【解答】解：（1）∠AOE＝x+70°．
故答案为：x+70°；
（2）①当射线OB在OA左边时，
∵∠BOE＝5∠AOD，∠AOB＝30°，∠AOD的度数为x（x＜36°）．
∴∠AOB＝∠AOE﹣∠BOE，
∴70°+x﹣5x＝30°，解得x＝10°；
②当射线OB在OA右边时，
∵∠BOE＝5∠AOD，∠AOB＝30°，∠AOD的度数为x（x＜36°）．
∴∠AOB＝∠BOE﹣∠AOE，
∴5x﹣70°﹣x＝30°，解得x＝25°；
综上，x的值为10或25；
（3）x的值为14，20，35．
∵∠COE＝4∠AOD＝4x，∠BOE＝5∠AOD＝5x．
∴∠COE＜∠BOE，
∴射线OC在OB的左边，
①当OB为∠AOC的平分线时，
∵∠AOB＝∠AOE﹣∠BOE＝70°+x﹣5x＝70°﹣4x，
∠BOC＝∠BOE﹣∠COE＝5x﹣4x＝x，
∴70°﹣4x＝x，
解得：x＝14°；
②当OA为∠BOC的平分线时，
∵∠AOB＝∠BOE﹣∠AOE＝5x﹣70°﹣x＝4x﹣70°，
∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝70°+x﹣4x＝70°﹣3x，
∴4x﹣70°＝70°﹣3x，
解得：x＝20°；
综上，满足条件的x的值为14，20，35．
22．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，折痕为MN，若∠NEC＝32°，求∠FMN的大小．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边点E处，点A落在点F处，
∴∠F＝∠A＝90°，∠DNM＝∠ENM，∠FEN＝∠D＝90°，
∵∠NEC＝32°，
∴∠ENC＝90°﹣32°＝58°，
∴，
∴∠FMN＝360°﹣90°﹣90°﹣61°＝119°．
23．已知点O是直线AB上一点，过O作射线OC，使∠BOC＝110°．
（1）如图1，∠AOC的度数是 70° ；
（2）如图2，过点O作射线OD使∠COD＝90°，作∠AOC的平分线OE，求∠DOE的度数．
（3）在（2）的条件下，作射线OF，若∠BOF与∠AOE互余，请直接写出∠DOF的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝110°，
∴∠AOC＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°；
（2）∵OE是∠AOC的平分线，
∴∠AOE＝∠COE＝∠AOC＝35°，
又∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COE+∠COD＝125°；
（3）由（2）得∠AOE＝35°，∠BOD＝110°﹣90°＝20°，
∵∠BOF与∠AOE互余，
∴∠BOF＝90°﹣35°＝55°，
①当射线OF在射线OB的上方时，有∠DOF＝∠BOF﹣∠BOD＝55°﹣20°＝35°，
②当射线OF在射线OB的下方时，有∠DOF＝∠BOF+∠BOD＝55°+20°＝75°，
答：∠DOF的度数为35°或75°．
24．如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE，
（1）如图1，若∠COE＝110°，求∠BOD的度数
（2）如图2，若∠BOE：∠COE＝1：3，求∠AOC的度数；
（3）在（2）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．
【解答】解：（1）∵∠COE+∠DOE＝180°，∠COE＝110°，
∴∠DOE＝180°﹣110°＝70°，
又∵OB平分∠DOE，
∴∠BOD＝∠BOE＝∠DOE＝35°；
（2）∵OB平分∠DOE，
∴∠BOD＝∠BOE＝∠DOE，
∵∠BOE：∠COE＝1：3，
∴∠BOD＝180°×＝36°，
∴∠AOC＝∠BOD＝36°；
（3）由（2）得∠DOE＝72°，
当OF在直线CD的上方时，有∠EOF＝∠FOD+∠DOE＝90°+72°＝162°，
当OF在直线CD的下方时，有∠EOF＝∠FOD﹣∠DOE＝90°﹣72°＝18°，
因此∠EOF的度数为18°或162°．