课件44张PPT。第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义一、元素与集合
1.定义：
(1)元素：一般地，把所研究的____统称为元素，常用小写的
拉丁字母a,b,c，…表示.
(2)集合：一些元素组成的总体，简称为__，常用大写拉丁字
母A,B,C，…表示.
2.集合相等：指构成两个集合的元素是____的.
3.集合中元素的特性：______、______和_______.对象集一样确定性互异性无序性4.元素与集合的关系 判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素.( )
(2)漂亮的花组成集合.( )
(3)本班所有的姓氏组成集合.( )
(4)由3个不同的元素进行排序可以构成6个不同的集合.( )提示：(1)错误.集合中元素满足互异性.
(2)错误.因为什么样的花是漂亮的花不确定，所以漂亮的花构不成集合.
(3)正确.因为本班的姓氏是一定的，确定的，所以能组成集合.
(4)错误.集合中元素满足无序性.
答案：(1)×(2)×(3)√(4)× 二、常用的数集及其记法
NN*或N+ZQR思考：N与N+(或N*)有何区别？
提示：N+是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N+(或N*)多一个元素0.【知识点拨】
1.对集合相关概念的理解
(1)集合的含义：集合是数学中不加定义的原始概念，我们只对它进行描述性说明，其本质是某些确定元素组成的总体.
(2)元素：集合中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、所触摸到的、所能想到的各种各样的事物或一些抽象符号等，都可以看作集合的元素.(3)整体：集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而并非个别对象.2.集合中元素的三个特性
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．3.元素和集合之间的关系
(1)根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a和集合A，在a∈A和a?A两种情况中有且只有一种成立.
(2)符号“∈”和“?”只是表示元素与集合之间的关系.
4.对一些常用的数集及其记法要关注的两点类型 一 集合的判定
【典型例题】
1.下列说法中正确的序号是 .
①高一(四)班学习成绩较好的同学组成一个集合；
②中国海洋大学2013级大一新生组成一个集合；
③参加2012年伦敦奥运会的所有国家组成一个集合；
④未来世界的高科技产品组成一个集合.2.判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)1,0.5， 组成的集合含有四个元素.
(2)方程x2+2x+1=0的解集中有两个元素.
(3)组成单词china的字母组成一个集合.
【解题探究】
1.集合中的元素有哪些特性？
2.集合中的元素能重复吗？探究提示：
1.集合中的元素有三个特性，即确定性、互异性和无序性.
2.构成集合的元素必须是不相同的，即集合元素具有互异性，相同的元素只能算作一个.
【解析】1.①不正确.因为成绩较好没有明确的标准．
②正确．中国海洋大学2013级大一新生是确定的，明确的．
③正确．因为参加2012年伦敦奥运会的所有国家是确定的，明确的．
④不正确．因为高科技产品的标准不确定．
答案：②③2.(1)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于
0.5＝ ，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有
三个元素．
(2)不正确.因为方程虽有两个相等的实根，但其解集中只有
一个元素-1.
(3)正确.因为组成单词china的字母是确定的.【拓展提升】判断一组对象组成集合的依据及流程
(1)依据：元素的确定性是判断的依据.如果考察的对象是确定
的，就能组成集合，否则不能组成集合.
(2)流程：找出对象 →判断确定性 → 验证互异性 → 得出结论【变式训练】1.下列对象能组成集合的是( )
A.充分小的负数全体
B.爱好音乐的一些人
C.某班本学期视力较差的同学
D.某校某班某一天所有课程
【解析】选D.A，B，C的对象不确定，唯有D某校某班某一天所有课程是确定的，故能形成集合的是D.2.指出下列集合中的元素：
(1)young中的字母组成的集合.
(2)book中的字母组成的集合.
【解析】(1)单词young中的字母互不相同，其组成的集合中有5个元素，分别是y，o，u，n，g.(2)单词book中的字母有两个是相同的，其组成的集合中元素有3个，分别是b，o，k.类型 二 元素和集合的关系
【典型例题】
1.(2013·临沂高一检测)下列所给关系中正确的个数是( )
①π∈R；② ?Q；③0∈N*；④|－4|?N*.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)_________P(填“∈”或“?”).【解题探究】1.常用数集有哪些？分别是指哪些数组成的集合？
2.判断一个元素是否是某个集合的元素的关键是什么？
探究提示：
1.常用的数集有“N”，表示非负整数集；“N*”或“N+”，表示正整数集；“Z”，表示整数集；“Q”，表示有理数集；“R”，表示实数集.
2.判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具备就是，否则不是.【解析】1.选B.根据各数集的意义可知，①②正确，③④错误．
2.直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y具有y＝2x＋3的关系，即只要具备此关系的点就是集合P的元素.由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，故(2,7)∈P.
答案：∈ 【互动探究】题2中，集合P不变，则2与集合P的关系是什么？(3,4)与集合P又有什么关系？
【解题指南】充分理解数集和点集的区别是正确解答本题的关键.
【解析】由于2是实数，而集合P是点集，故2?P；
由于当x＝3时，y＝2×3＋3＝9≠4，故(3,4)?P.【拓展提升】判断元素和集合关系的两种方法【变式训练】集合A是由形如m＋ n(m∈Z，n∈Z)的数构成
的，试判断 是不是集合A中的元素.
【解析】∵ ＝2＋ ＝2＋ ×1，而2∈Z,1∈Z，
∴2＋ ∈A，即 ∈A.类型 三 集合中元素互异性的简单应用
【典型例题】
1.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为( )
A.2 B.3
C.0或3 D.0,2,3均可
2.设由2,4,6构成的集合为A，若实数a满足a∈A时，6－a∈A，则a＝_____________.【解题探究】1.题1集合中含有三个元素，那么2到底是哪个元素？
2.题2中实数a有几种选择的可能？利用哪个条件判断？
探究提示：
1.要么m=2，要么m2－3m＋2=2，此时应分类讨论，并利用集合元素的互异性进行检验.
2.a有三种选择的可能，分别是2，4，6，可利用6-a是否属于A判断.【解析】1.选B.若m=2，则22－3×2＋2=0，不满足互异性；若m2－3m＋2=2，则m=0或3，显然当m=0时不满足元素的互异性，故m=3.
2.∵A中的三个元素是2,4,6，
∴当a＝2时，6－a＝4∈A，适合题意；
当a＝4时，6－a＝2∈A，也适合题意；
当a＝6时，6－6＝0?A，不合题意．
∴a的值为2或4.
答案：2或4【拓展提升】互异性在解决集合问题中的运用
在解决集合中元素的问题时，互异性是至关重要的，利用集合元素的特性求参数取值涉及分类讨论的思想方法.在解题中遇到参数的代数式，要采用分类讨论的方法进行研究. 【变式训练】由a2,2－a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A.1 B.-2 C.6 D.2
【解析】选C.因A中含有3个元素，即a2,2－a，4互不相等，将选项中的数值代入验证知选C. 【易错误区】忽视集合中元素的互异性致误
【典例】已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为( )
A.1 B.-1 C.1或-1 D.以上都不对【解析】选B.若1∈A，则a=1或a2=1，
解得a=1或-1.
(1)当a=1时①，集合A中元素为1和1，不满足集合元素的互异性，故a≠1.
(2)当a=-1时①，集合A中含有两个元素-1和1，符合集合元素的互异性.
综上所述，a=-1.【类题试解】集合A中含有三个元素0，1，x，且x2∈A，则实数x的值为( )
A.0 B.1 C.-1 D.1或-1
【解析】选C.当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x=－1.【误区警示】【防范措施】
1.分类讨论思想的运用
解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识.如本例中由1∈A，可知a=1或a2=1.
2.集合元素互异性的作用
求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数值是否符合要求.如本例中对所求出的1与-1分别进行检验.1.下列各组对象中不能组成集合的是( )
A.某科教文化股份有限公司的全体员工
B.文化书店的所有书刊
C.2013年考入清华大学的全体学生
D.美国NBA的篮球明星
【解析】选D. A，B，C中的元素：员工、书刊、学生都有明确的对象，而D中对象不确定，“明星”没有具体明确的标准．2.设集合A只含一个元素a，则下列表示正确的是( )
A.{a}≠A B.a?A
C.a∈A D.a＝A
【解析】选C.本题考查元素与集合之间的关系，显然A,B,D不正确，由题意知C正确.3.若以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合为M，则M中元素的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.方程x2-5x+6=0的解为2，3，方程x2-x-2=0的解为2，-1，故集合M中有3个元素，分别是2,3，-1.4.设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则： 深圳_____A，广州_____A (填“∈”或“?”).
【解析】深圳不是省会城市，故深圳?A；广州是省会城市，故广州∈A.
答案：? ∈5.由实数x，－x， ， 所组成的集合中元素最多
有 个．
【解析】 ＝|x|，而 ＝－x，故集合里面元素最多有2
个．
答案：26.设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且
3a∈A，求a的值.
【解析】∵a∈A且3a∈A，
∴ 解得a<2.又a∈N，∴a=0或1.课件43张PPT。第2课时 集合的表示一、列举法表示集合花括号“｛｝”判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个集合都可以用列举法表示.( )
(2)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.( )
(3){0,1}和{(0,1)}是相同的集合.( )
提示：(1)错误. 并不是所有的集合都可以用列举法表示，如不等式x＞3的解集就不能用列举法表示.(2)错误.有相同的元素，不符合集合元素的互异性.
(3)错误.两个集合都用列举法表示，但是元素不同，一个是数集，一个是点集，因而不是相同的集合.
答案:(1)× (2)× (3)×二、描述法表示集合一般符号取值(或变化)范围竖线共同特征思考：集合A={x|x＞1}与B={t|t＞1}是否表示同一个集合？
提示：是.虽然表示代表元素的字母不同，但都表示由大于1的所有实数组成的集合，因而表示同一个集合.【知识点拨】
1.列举法表示集合的适用范围、注意点及优点
(1)若集合元素的个数比较少，用列举法表示较为简单.
(2)若集合中元素个数较多或无限个，但呈现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.(3)“{ }”表示“所有”，“整体”的含义，如实数集R可以写成{实数}，但不能写成{实数集}，{全体实数}，{R}等.
(4)列举法的优点是可以直观表示集合中具体元素及元素的个数，缺点是不能反映集合元素满足的特征.2.对描述法表示集合的理解
(1)描述法中竖线左边的任意元素x,我们可以理解为集合中的代表元素，即集合中元素的一般形式，不一定是数.
(2)共同特征P(x)可以是一个表达式，也可以是一个不等式(组)或方程(组)，也可理解为集合的代表元素所满足的限制条件.类型 一 列举法表示集合
【典型例题】
1.用列举法表示下列集合：
(1)乘坐“神舟九号”的航天员组成的集合为_________.
(2)我国的直辖市组成的集合为____________.
(3)联合国五大常任理事国组成的集合为____________.
(4)不大于4的自然数组成的集合为________________.2.用列举法表示下列集合.
(1)方程x2+2x+1=0的解集.
(2)正整数集.
(3)方程组 的解集.
【解题探究】1.用列举法表示集合的关键是什么？
2.数集和点集中的元素有什么不同？
探究提示：
1.用列举法表示集合的关键是搞清构成集合的具体元素.
2.数集中元素是数，而点集中元素是用坐标表示的点.【解析】1.将集合中的元素一一列举出来.
(1){景海鹏，刘旺，刘洋}.
(2){北京，上海，天津，重庆}.
(3){中国，美国，俄罗斯，法国，英国}.
(4){0,1,2,3,4}.
答案：(1){景海鹏，刘旺，刘洋} (2){北京，上海，天津，重庆} (3){中国，美国，俄罗斯，法国，英国} (4){0，1，2，3，4}2.(1)方程x2+2x+1=0的解为x=-1，其解集为{-1}.
(2)正整数集用列举法表示为{1,2,3,4,…}.
(3)方程组 的解为
故解集为{(2，-1)}.【拓展提升】用列举法表示集合的三个注意点
(1)用列举法表示集合时首先要注意元素是数、点，还是其他的对象，即先定性.
(2)元素之间用“，”隔开而非“；”.
(3)元素不能重复且无遗漏.【变式训练】用列举法表示下列集合：
(1)方程(x-2)2+|y+1|=0的解集.
(2)正偶数组成的集合.
【解析】(1)由方程(x-2)2+|y+1|=0可知，
即 从而方程的解集为{(2，-1)}.
(2)正偶数集合为{2,4,6,8,…}.类型 二 描述法表示集合
【典型例题】
1.(2013·南昌高一检测)已知集合M={y|y=x2}，用自然语言描述M应为( )
A.函数y=x2的函数值组成的集合
B.函数y=x2的自变量的值组成的集合
C.函数y=x2的图象上的点组成的集合
D.以上说法都不对2.用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整数组成的集合.
(2)坐标平面内第一象限的点组成的集合.
(3)大于4的所有偶数组成的集合.
【解题探究】1.怎样判断一个集合是数集还是其他集合？
2.用描述法表示一个集合的步骤是什么？探究提示：
1.判断一个集合是数集还是其他集合，先看其代表元素，以此来判断集合的属性.
2.用描述法表示集合时，首先应找出其代表元素，再探究元素的公共特征，最后表示出该集合.【解析】1.选A.从描述法表示的集合来看，代表元素是函数值，即集合M表示函数y=x2的函数值组成的集合.
2.(1)根据被除数=商×除数+余数，可知此集合表示为
{x|x=3n+1，n∈N}.
(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x,y)|x＞0，y＞0}.
(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x=2n，n≥3，n∈Z}.【互动探究】若将题2(2)改为“坐标平面内坐标轴上的点组成的集合”,结果如何？
【解析】对x轴：纵坐标为0，横坐标为任意实数；对y轴：横坐标为0，纵坐标为任意实数.故坐标轴上的点满足xy=0.用集合表示为{(x,y)|xy=0}.【拓展提升】用描述法表示集合的三个注意点
(1)先定性，即弄清集合是数集、点集还是其他类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对来表示.
(2)竖线后要说明该集合中元素具有的共同特征，如方程、不等式、函数或几何图形等.
(3)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义并指出其取值范围.【变式训练】集合{3， ， ， ，…}用描述法可表示为( )
A.{x|x＝ ，n∈N*}
B.{x|x＝ ，n∈N*}
C.{x|x＝ ，n∈N*}
D.{x|x＝ ，n∈N*}
【解析】选D. 由3， ， ， ，即 ， ， ， 从中发现规律，
x= ,n∈N*,故可用描述法表示为{x|x= ,n∈N*}．类型 三 列举法和描述法的综合运用
【典型例题】
1.若集合A＝{1,2,3,4}，集合B＝{y|y＝x-1，x∈A}，将集合B用列举法表示为_______________.
2.用适当的方法表示图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线).【解题探究】1.题1中集合B的元素有什么特征？
2.如何根据集合中元素的特点选用适当方法表示集合？
探究提示：
1.集合B中的元素y=x-1,而x∈A,可根据x的取值情况确定y的值.
2.一般地，当集合元素个数较少时选用列举法，当集合元素无限时选用描述法.【解析】1.x＝1时，y＝0；x＝2时，y＝1；x＝3时，y＝2；
x＝4时，y＝3.故B={0,1,2,3}.
答案：{0,1,2,3}
2.首先此集合为点集，且有无穷个点，适宜用描述法表示.另
外阴影部分中点横、纵坐标都有限制条件，可表示为
{(x，y)|－1≤x≤2， ≤y≤1，且xy≥0}.【拓展提升】用列举法和描述法表示集合的三点要求【变式训练】用适当方法表示下列集合：
(1)从1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部所组成的没有重复数字的数的集合.
(2)大于10的整数组成的集合.【解题指南】(1)可用列举法表示.(2)列举法或描述法皆可.
【解析】(1)列举法：{1,2,3,12,21,13,31,23,32,
123,132,213,231,321,312}.
(2)列举法：{11,12,13,14,15,…}.
描述法：{x|x是大于10的整数}.【典型例题】
1.(2013·昆明高一检测)定义集合A，B的一种运算
A*B={x|x=x1+x2,其中x1∈A,x2∈B}，若A={1,2,3},B={1,2}，
则A*B中的所有元素数字之和为( )
A.9 B.14 C.18 D.21
2.对于一个集合S，若a∈S时，有 ∈S，则称这样的数集为
“可倒数集”，试写出一个“可倒数集”：___________.与集合有关的创新问题【解析】1.选B.∵x=x1+x2，且x1∈A,x2∈B,
∴A*B中的元素有：1+1=2,1+2=3,2+2=4,3+2=5.
∴所有元素数字之和为2+3+4+5=14.
2.本题是一道开放题.由“可倒数集”的定义可知，满足题设的集合有无数个，因此答案不唯一，如{1,2, }.
答案：{1,2, }(不唯一)【拓展提升】集合创新题的解题技巧
解答集合创新题的关键是认真阅读题目，准确理解题目中的新定义，依照新定义中某些限定条件，并联系所学过的知识找出解题的突破口.【易错误区】对描述法表示集合理解不到位致误
【典例】集合A={0,1}，集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}，用列举法表示集合B为_____________________.【解析】∵A={0,1}，集合B中元素为(x,y)，
且x∈A,y∈A，
∴x=0,1,y=0,1,
当x=0时，y=0或1，
此时点是(0，0)①，(0，1)，
当x=1时，y=0或1，
此时点是(1，0)，(1,1)①.
故B={(0,0)，(1,1)，(0,1)，(1,0)}.
答案：{(0,0)，(1,1)，(0,1)，(1,0)}【类题试解】(2013·连州高一检测)若A={-2,2,3,4}，B={x|x=t2,t∈A}，用列举法表示B=__________.
【解析】两集合中的元素有联系，即t=-2，2，3，4时，x=4，4,9，16，即集合B={4,9,16}.
答案：{4,9,16}【误区警示】【防范措施】
1.深刻理解描述法表示集合的含义
描述法是抽象出元素共性，以此来表示集合的方法，它适用于元素有共同特征的情况，像本例中B={(x,y)|x∈A,y∈A}.
2.对符号“{ }”的认识
{ }本身就是“全部”或“都”的意思，若用列举法或描述法表示集合时，要注意把集合的全部元素都表示出来.如本例答案为{(0,0),(1,1),(0,1),(1,0)}，务必要列全.1.集合{x|-3≤x≤3，x∈N}用列举法表示应是( )
A.{1,2,3} B.{0,1,2,3}
C.{-2,-1,0,1,2} D.{－3,－2,－1,0,1,2,3}
【解析】选B. {x|－3≤x≤3，x∈N}表示－3到3的所有自然数组成的集合，所以用列举法表示应是{0,1,2,3}.2.若P＝{(2，1)，(1,2)}，则集合P中元素的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.(2，1)，(1,2)为两个不同元素，共2个.
3.已知集合M={3,m+1}，4∈M，则实数m的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】选B.∵4∈M，而M={3,m+1}，
∴m+1=4，即m=3.4.已知集合M＝{x|x＝7n＋2，n∈N}，则2 011____M，
2 012______M(填∈或?)．
【解析】∵2 011＝7×287＋2,2 012＝7×287＋3，
∴2 011∈M,2 012?M.
答案：∈ ?
5.当{a,0,-1}={4，b，0}时，a=______,b=________.
【解析】∵{a,0,-1}={4，b，0}，∴b=-1,a=4.
答案：4 -16.用适当的方法表示下列集合：
(1)大于1且不大于10的素数组成的集合.
(2)-1,1,3,5组成的集合.
【解析】(1)由题意可知满足条件的素数是2,3,5,7,
故表示为{2,3,5,7}.
(2){-1,1,3,5}或{x|x=2k-1,k∈Z且0≤k≤3}.课件38张PPT。1.1.2 集合间的基本关系一、子集的有关概念
1.Venn图
通常用平面上_________的内部代表集合.
用Venn图表示集合的优点：形象直观. 封闭曲线2.子集
(1)自然语言：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中
____一个元素____集合B中的元素，我们就说这两个集合有
_____关系，称集合A为集合B的子集.
(2)符号语言：记作______(或____)，读作“_______”(或
“B包含A”).
(3)图形语言：用Venn图表示.任意都是A?BA含于B包含B?A3.真子集
如果集合_____，但存在元素x∈B，且____，我们称集合A是
集合B的真子集，记作_____(B A).
4.集合相等
如果集合A是集合B的____(A?B)，且集合B是集合A的
____(B?A)，此时，集合A与集合B中的元素是____的，因此
集合A和集合B相等，记作_____.
思考：“∈”与“?”有什么区别？
提示：“∈”表示元素与集合之间的关系，而“?”表示集
合与集合之间的关系. A?Bx?A子集子集一样A=BA B二、空集及集合间关系具有的性质
1.空集：指的是____________的集合，记作__，并规定：
空集是________的子集.
2.集合间关系具有的性质
(1)任何一个集合是它本身的_____，即______.
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C,那么_____.不含任何元素?任何集合子集A?AA?C判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)集合{0}是空集.( )
(2)集合{x|x2+1=0,x∈R}是空集.( )
(3)空集没有子集.( )
提示：(1)错误.集合{0}含有一个元素0，是非空集合.
(2)正确.由于方程x2+1=0在实数范围内无解，故此集合是空集.
(3)错误.空集是任何集合的子集，也是它本身的子集.
答案：(1)× (2)√ (3)×【知识点拨】
1.对子集概念的理解
(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“A?B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A=?时，A?B，但A中不含任何元素；又当A=B时，也有A?B，但A中含有B中所有元素，这两种情况都有A?B.
2.对真子集的理解
对真子集概念的理解关键是“真”字，它包括两个方面：首先是某集合的子集，其次不能与原集合相等.3.对集合相等的理解
(1)从元素的特征出发表达两个集合相等，即集合A中的元素和集合B中的元素相同，则这两个集合相等.
(2)从两个集合的关系出发表达两个集合相等，即A?B，则对任意x∈A都有x∈B，同时B?A，则对任意x∈B都有x∈A，这说明两个集合的元素是相同的，即两集合相等.4.对空集的理解
(1)空集首先是集合，只不过此集合中不含任何元素.
(2)规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
因此遇到诸如A?B，A B的问题时，务必优先考虑A=?是否
满足题意，这也是初学者极易出错的地方.
5.对集合间关系具有的性质的两点说明
(1)对于任何一个集合是它本身的子集的性质要时刻牢记.
(2)集合间的包含关系满足传递性，同样，集合间的真包含关
系也具有传递性，即A B,B C,则A C.类型 一 子集的有关概念
【典型例题】
1.(2013·邵阳高一检测)集合{a,b}的子集个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若集合{1,2}?M?{1,2,3,4}，试写出满足条件的所有的集合M.【解题探究】1.一个集合的子集可以与其相等吗？空集是它的子集吗？
2.题2中满足条件的集合M一定含有哪些元素，可能含有哪些元素？
探究提示：
1.一个集合的子集可以与其相等，也可以是空集.
2.据条件分析，集合M一定含有元素1，2，可能含有元素3，4.【解析】1.选D.当子集不含元素时，即为?；当子集中含有一
个元素时，其子集为{a},{b}；当子集中有两个元素时，其子
集为{a,b}.
2.由于{1,2}?M，故1,2∈M，又M?{1,2,3,4}，所以符合条
件的集合M有：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}.【互动探究】若把题2已知条件改为“已知{1，2}?M
{1,2,3,4}”，则这样的集合M又有几个？
【解析】∵{1,2}?M,∴M中至少有1，2两个元素，又M
{1,2,3,4}，故集合M可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}.【拓展提升】求一个集合子集个数的规律及注意点
(1)规律：含有n(n≥1且n∈N)个元素的集合的子集有2n个，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集.
(2)注意点：解决此类问题时应注意两个比较特殊的集合，即?和集合本身.【变式训练】(2013·冀州高一检测)同时满足：
①M?{1,2,3,4,5},②若a∈M,则6-a∈M的非空集合M有( )
A.16个 B.15个 C.7个 D.6个
【解析】选C.∵1+5=2+4=3+3=6,∴集合M可能为单元素集合：{3}；二元素集合：{1,5},{2,4}；三元素集合：{1,3,5}, {2,3,4},四元素集合:{1,2,4,5},五元素集合：{1,2,3,4,5}，共7个.类型 二 集合间的包含关系的判断
【典型例题】
1.(2013·亳州高一检测)下列关系中，表示正确的是( )
A.1∈{0,1} B.1 {0,1}
C.1?{0,1} D.{1}∈{0,1}
2.集合P={x|y=x2}，集合Q={y|y=x2}，则P与Q的关系为( )
A.P?Q B.Q?P
C.P=Q D.以上都不对3.集合A＝{2n＋1|n∈Z}，集合B＝{4k±1|k∈Z}，则A与B间的关系是( )
A.A∈B B.A B
C.A?B D.A=B
【解题探究】1.表示元素与集合、集合与集合之间的关系分别用什么符号表示？
2.题2中判断两个集合之间的关系时，应先怎样处理集合？
3.题3当n，k∈Z时，2n＋1，4k±1分别表示什么数？探究提示：
1.表示元素与集合之间的关系用符号∈，?表示，表示集合与集合之间的关系用?, 表示.
2.在判断两个集合之间的关系时，要先对集合进行分析、化简，使每个集合的表现形式最简洁.
3.当n，k∈Z时，2n＋1表示奇数；4k±1也表示奇数.【解析】1.选A. 、?表示集合之间的关系，故B,C错误；∈表示元素与集合之间的关系，故D错误.
2.选B.∵P={x|y=x2}={x|x∈R}，
Q={y|y=x2}={y|y≥0}，故Q?P.
3.选D.∵整数包括奇数与偶数，∴n＝2k或2k－1(k∈Z)，当n＝2k时，2n＋1＝4k＋1，当n＝2k－1时，2n＋1＝4k－1，故
A＝B.【拓展提升】集合间关系的判断方法
(1)判断A?B的常用方法，一般用定义法，即说明集合A中的
任何一个元素都是集合B中的元素.
(2)判断A B的方法，可以先判断A?B，然后说明集合B中存
在元素不属于集合A.
(3)判断A=B的方法，可以证明A?B，且B?A；也可以证明两
个集合的元素完全相同.【变式训练】(2013·肇庆高一检测)下列各组集合M与N中，表示相等集合的是( )
A.M={(0,1)},N={0,1}
B.M={(0,1)},N={(1,0)}
C.M={(0,1)},N={(x,y)|x=0且y=1}
D.M={π},N={3.14}
【解析】C.对A，由于集合M是点集，集合N是数集，故M和N不相等；对B，虽然都是点集，但元素表示不同的点，故M和N不相等；对D，由于π是无理数，3.14是有理数，故M和N不相等.类型 三 由集合间的关系求参数问题
【典型例题】
1.(2013·长春高一检测)已知集合A={2,9},B={m2,2}，若A=B,则实数m的值为( )
A.3 B.2 C.± D.±3
2.已知集合A={x|a＜x＜5},B={x|x≥2}，且满足A?B，求实数a的取值范围.【解题探究】1.两个集合相等，其元素有什么关系？
2.当两集合是连续数集时，如何确定它们的包含关系？
探究提示：
1.两个集合相等，其元素是相同的.
2.两个集合为连续数集时，可用数轴来分析它们的关系，并以此来确定它们的包含关系.【解析】1.选D.∵A={2,9},B={m2,2},A=B，
∴m2=9，m=±3.
2.①当a≥5时，A=?，此时有A?B;
②当a＜5时，要使A?B，如图，需a≥2，所以2≤a＜5.
综上，a的取值范围为a≥2.【拓展提升】由集合间的关系求参数的方法及注意点
(1)对于用列举法表示的集合，根据集合间的包含关系，可直接转为元素间的关系，此时应注意元素的互异性.
(2)对于用描述法表示的集合，特别是元素个数无限的数集，可借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，此时要注意对端点值验证.【变式训练】已知集合A={x|-3≤x≤4}，集合B={x|2m-1＜x
＜m+1}，且B?A，求实数m的取值范围.
【解题指南】可就集合B是否为空集进行讨论，根据B?A列出
有关不等式(或组)，进而求出实数m的取值范围.
【解析】∵B?A，(1)当B=?时，即2m-1≥m+1，亦即m≥2时，
满足要求.
(2)当B≠?时，则有 解得-1≤m＜2.
综上所述，实数m的取值范围是m≥-1. 【规范解答】根据集合间的关系求参数取值范围问题【典例】【条件分析】【规范解答】(1)当a=0时，A=? ①,满足条件.…………3分
(2)当a≠0时，分两种情况:
①a>0时，A={x| ∵A?B,且a>0,∴ ∴a≥2.……………………7分②当a<0时，A={x| ∵A?B,∴ ∴a≤-2.…………………………11分
综上可知，a≤-2或a=0或a≥2.…………………………12分【失分警示】【防范措施】
1.特别关注空集
此题含有条件A?B，解答此类含有集合包含关系的问题时，一定要考虑集合A是否为空集，此类问题往往因为对空集的关注不够而出现不必要的失误.
2.分类讨论的意识
本题中由于a的取值未限定，因而要考虑不等式组解的情况，即需要分a=0,a＞0,a＜0三种情况讨论，也就是在解题时要有分类讨论的意识. 【类题试解】已知集合P={x|x2+x-6=0}，M={x|mx-1=0}，若
M P，求满足条件的实数m取值的集合Q．
【解析】P={x|x2+x-6=0}={-3,2}.∵M P，∴M=?或M≠?.
(1)当M=?，即m=0时，满足M P.
(2)当M≠?，即m≠0时，M={x|mx-1=0}={ }，M P，则必有
=-3或2，解得m= 或 .
综上所述，Q={0, , }.1.下列集合不是{0,1}的真子集的是( )
A.{1} B.{0} C.{0,1} D.?
【解析】选C.集合不是它本身的真子集，故选C.
2.已知集合M={1}，N={1，2，3}，能够准确表示集合M与N之
间关系的是( )
A.M＜N B.M∈N
C.N?M D.M N
【解析】选D.集合M中元素都在集合N中，但是N中元素
2，3?M，∴M N．3.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N},用适当符号填空：
A____B，A_______C，{2}______C,2________C.
【解析】A={1,2}，B＝{1,2}，C={0,1,2,3,4,5,6,7}，
∴A=B，A C，{2} C，2∈C.
答案：= ∈4.设集合A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是三角形}，C={x|x
是等边三角形}，则A，B，C之间的关系是_________.
【解析】等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形一定是
三角形，所以C A B.
答案：C A B
5.已知集合A={x|x-7≥2},B={x|x≥5}，化简集合A，并判断
集合A,B的关系.
【解析】A={x|x-7≥2}={x|x≥9}，又B={x|x≥5},∴A B.课件50张PPT。1.1.3 集合的基本运算
第1课时 并集、交集一、并集属于集合A或属于集合BA∪BA并B﹛x|x∈A,或x∈B﹜思考：集合A∪B中的元素个数就是由集合A和B的所有元素的个数的和吗？
提示：不一定.因为集合元素满足互异性，所以若集合A和B有公共元素，则只能出现一次.二、交集属于集合A且属于集合BA∩BA交B﹛x|x∈A,且x∈B﹜思考：当集合A与B没有公共元素时，A与B就没有交集吗？
提示：不能这样认为，当两个集合无公共元素时，两个集合的交集仍存在，即此时A∩B=?.三、并集与交集的性质 A?判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)集合M={直线}与集合N={圆}无交集.( )
(2)两个集合的并集中元素就是将两个集合元素合在一起.( )
(3)若A∩B=C∩B，则A=C.( )提示：(1)错误.虽然两集合无公共元素，但两个集合的交集存在且为空集，故不正确.(2)错误.当两个集合有公共元素时，在并集中只能算作一个，故不正确.(3)错误.若A∩B=C∩B，A与C也可能不相等，故不正确.
答案：(1)×(2)×(3)×【知识点拨】
1.对并集概念的理解(关键词“或”)
(1)并集概念中的“或”字与生活中的“或”字含义不同.生活中的“或”字是非此即彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的，但不是必须兼有的.x∈A，或 x∈B包含三种情况：
①x∈A，但x?B;
②x∈B，但x?A;
③x∈A且x∈B. (2)用Venn图如下所示：
因此A∪B是由所有至少属于A,B两者之一的元素组成的集合.2.对交集概念的理解(关键词“且”)
(1)定义中的“所有”是指集合A和集合B中全部的公共元素，不能是一部分公共元素.
(2)A∩B={x|x∈A，且x∈B}中的“且”是指“同时”，即集合A与集合B的公共元素都属于A∩B.
(3)用Venn图表示交集如下：3.关于交集、并集运算的常用的性质
(1)A∪B=B∪A,A∩B=B∩A.
(2)A?(A∪B)，(A∩B)?A,
B?(A∪B)，(A∩B)?B.
(3)若A∪B=B，则A?B；反之，若A?B，则A∪B=B.
(4)若A∩B=B，则B?A；反之，若B?A，则A∩B=B.类型 一 集合并集的运算
【典型例题】
1.(2013· 西宁高一检测)已知集合A={x|-1≤x＜3},
B={x|2＜x≤5}，则A∪B＝( )
A.{x|2＜x＜3} B.{x|-1≤x≤5}
C.{x|-1＜x＜5} D.{x|-1＜x≤5}2.(2013·重庆高一检测)设集合M={1,2}，则满足条件M∪N={1,2,3,4}的集合N的个数是( )
A.1 B.3 C.2 D.4
3.(2013·杭州高一检测)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.4【解题探究】1.两个集合求并集的实质是什么？
2.题2中在已知M∪N及集合M的条件下，如何确定集合N？
3.当并集中的元素个数与构成并集的两个集合的元素个数和相等时，如何确定其中的参数？探究提示：
1.两个集合求并集的实质是把两个集合中的所有元素合在一起，组成一个新的集合.
2.根据集合M∪N及集合M的关系，可以确定集合N一定含有的元素，集合的个数则由可能含有的元素确定.
3.此类问题，一般是去掉已知元素，把参数与并集中的元素对应相等，构成方程(组)求解.【解析】1.选B.结合数轴分析可知，A∪B＝{x|-1≤x≤5}.
2.选D.∵M={1,2}，M∪N={1,2,3,4}，
∴N={3,4}或{1,3，4}或{2，3,4}或{1,2,3,4}，即集合N有4个.
3.选D.∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴a=4，a2=16或a=16，a2=4，解得a=4.【拓展提升】求两个集合并集的两个方法
(1)若两个集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集.
(2)若两个集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集.但应注意端点是否能取得.【变式训练】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|x<3}，则A∪B＝__________.
【解析】A与B都是“连续的数集”，所以用数轴表示，如图所示．
则A∪B＝{x|x≤5}．
答案：{x|x≤5}类型 二 集合交集的运算
【典型例题】
1.(2013·安阳高一检测)若A={0,1,2,3},B={0,3,6,9},则A∩B=( )
A.{1,2} B.{0,1}
C.{0,3} D.{3}2.(2013·潍坊高一检测)已知M＝{x｜y＝x2-1}，N＝{y|y＝x2-1}，那么M∩N=( )
A.{y|y＝－1或0} B.{x|x＝0或1}
C.{(0,－1),(1,0)} D.{y|y≥-1}
【解题探究】1.两个集合交集中的元素是由两个集合中什么样的元素构成的？
2.当两个集合元素无限时求其交集需借助的工具是什么？探究提示：
1.两集合交集中的元素是两个集合的公共元素(包括无公共元素，即空集的情形).
2.当两个集合元素无限时，可借助数轴分析求解.
【解析】1.选C.观察两集合元素可知，公共元素是0,3，从而A∩B={0,3}.
2.选D.M={ x|y＝x2－1}=R，N＝{y|y＝x2-1}
={y|y≥-1}，故M∩N={y|y≥-1}.【互动探究】题1中，若集合B={4,5,6}，其他条件不变，则A∩B等于什么？
【解析】由于两个集合无公共元素，因此A∩B=?.【拓展提升】求两个集合交集的方法及注意事项
(1)方法：当两个集合元素个数有限时，可直接求交集；当两个集合为无限集时，可借助于数轴分析求解.
(2)注意事项：两个集合无公共元素时，不能说无交集，而是交集为空集.【变式训练】已知集合S＝{x|0A.S B.T
C.{x|x≤1} D.?
【解析】选A.∵T＝{x|x≤1}，∴S∩T＝S.类型 三 集合交集、并集运算的性质及其简单综合
【典型例题】
1.(2013·临沂高一检测)已知集合A={x|x2-px-2=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∪B={-2，1，5}，A∩B={-2}，则p+q+r=______________.
2.设集合A＝{-2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．【解题探究】1.-2是不是方程x2-px-2=0的根？怎样确定集合B？
2.条件中的A∩B＝B应如何转化？
探究提示：
1.-2是方程x2-px-2=0的一个根，由此来确定集合A，进而确定集合B.
2.条件A∩B＝B可通过交集的性质A∩B=B?B?A转化，进而求解.【解析】1.∵A∩B={-2}，∴-2∈A且-2∈B，
将x=-2代入x2-px-2=0，
得p=-1，∴A={1，-2}，
∵A∪B={-2，1，5}，A∩B={-2}，∴B={-2，5}，
∴q=-［(-2)+5］=-3，r=(-2)×5=-10，
∴p+q+r=-14.
答案：-142.∵A∩B＝B，∴B?A.
∵A＝{－2}≠?，∴B＝?或B≠?.
当B＝?时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0,满足B?A.
当B≠?时，此时a≠0，则B＝{ }，
∴ ∈A，即有 ＝-2，得a＝ .
综上，得a＝0或a＝ .【拓展提升】利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点
(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B，A∩B=A等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A?A?B，A∪B=B?A?B.
(2)关注点：当集合A?B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=?的情况，否则易漏解.【变式训练】已知集合M={x|2x-4=0}，N={x|x2-3x+m=0}.
(1)当m=2时，求M∩N,M∪N.
(2)当M∩N=M时，求实数m的值.
【解题指南】(1)将m=2代入集合N化简后再求交集、并集.
(2)根据集合交集、并集运算性质求解.【解析】由已知得M={2}，
(1)当m=2时，N={1，2}，
所以M∩N={2}，M∪N={1，2}.
(2)若M∩N=M，则M?N，∴2∈N,
所以4-6+m=0，m=2.【典型例题】
1.某中学有一个数学、物理奥林匹克竞赛班(由所有参加数学奥林匹克竞赛和参加物理奥林匹克竞赛的同学组成)共有45人.已知该班中有32人参加了数学奥林匹克竞赛，有28人参加了物理奥林匹克竞赛，则该班同时参加数学和物理奥林匹克竞赛的有________人.交集、并集的实际应用 2.为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测绘队，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图.测绘队的成员中有许多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有一些人3项工作都参加了，请问这个测绘队至少有多少人？【解析】1.如图：
设集合A=｛x|x是参加数学奥林匹克竞赛的同学｝，
集合B=｛x|x是参加物理奥林匹克竞赛的同学｝，
则A∪B=｛x|x是全班同学｝，A∩B=｛x|x是既参加数学奥林匹克竞赛又参加物理奥林匹克竞赛的同学｝，
由题意知集合A中有32个元素，集合B中有28个元素，集合A∪B中有45个元素，所以A∩B中有32+28-45=15个元素.
故既参加数学奥林匹克竞赛又参加物理奥林匹克竞赛的同学有15人.
答案：152.如图，不妨设参加计算的人数为集合A，参加测量的为集合B，参加绘图的为集合C.设3项工作都参加的人数为x，则各个集合之间的关系得到清晰表达.
测绘队总人数为(10-x)+(8-x)+(6-x)+4+6+8+x=42-2x，
因为0≤x≤6，所以30≤42-2x≤42，
即测绘队人数最少为30人，此时x=6.
答：这个测绘队至少有30人.【拓展提升】解交集、并集的实际应用问题的方法技巧
在解决有关集合交集、并集的实际应用问题时，常借助Venn图来求解，一般步骤如下：
(1)利用Venn图将集合间的关系直观地表示出来，即根据Venn图逐一把文字陈述的语句“翻译”成数学符号语言.
(2)通过解方程和限制条件的运用解决问题.【易错误区】集合交、并运算中的元素不清致误
【典例】已知集合M={y|y=x2-4x+3，x∈Z}，N={y|y=-x2-2x，x∈Z}，则M∩N=( )
A.? B.{0} C.{-1,0,1} D.{0,1}
【解析】选B.∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1，①x∈Z，
∴M={-1,0,3,8,15,…}；
∵y=-x2-2x=-(x+1)2+1，②x∈Z，
∴N={1,0,-3,-8,-15,…}.∴M∩N={0}，故选B.【类题试解】已知A={-3，a2，a+1}，B={a-3，2a-1，a2+1}，若A∩B={-3}，则a的值为( )
A.0 B.-1 C.1 D.0或-1
【解析】选B.∵A∩B={-3},∴-3∈B,易知a2+1≠-3.
①若a-3=-3，则a=0，此时A={-3，0，1}，B={-3，-1，1}，
则A∩B={-3，1}≠{-3}，与已知矛盾.
②若2a-1=-3，则a=-1，
此时A={-3，1，0}，B={-4，-3，2}，
则A∩B={-3}满足要求，综上可知a=-1.【误区警示】
【防范措施】
认清集合的含义
在进行集合交集、并集运算时，首先应弄清集合的属性，即由集合元素来确定集合是数集、点集还是其他集合,如本例中M，N均为相应二次函数的值构成的集合. 1.下列关系Q∩R＝R∩Q；Z∪N＝N；Q∪R＝R∪Q；Q∩N＝N中，正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.只有Z∪N＝N是错误的，应是Z∪N＝Z.2.若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∪B＝( )
A.{x|－1＜x＜1} B.{x|－2＜x＜1}
C.{x|－2＜x＜2} D.{x|0＜x＜1}
【解析】选C.因为A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，所以A∪B＝{x|－2＜x＜2}．3.已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝_______.
【解析】由条件得A∪B＝{1,2,4,6}．
答案：{1,2,4,6}
4.如果A={-1,0,1}，集合B={x|x2-x=0}，则A∩B=_______.
【解析】B={0,1}，∴A∩B={0,1}.
答案：{0,1}5.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，
则m＝______.
【解析】∵A∩B＝{2,3}，∴3∈B，∴m＝3.
答案：36.已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2-px-2q=0},且A∩B=
{-1}，求A∪B.
【解析】因为A∩B={-1}，所以-1∈A,-1∈B，
即-1是方程x2+px+q=0和x2-px-2q=0的解，
所以 解得
所以A={-1,-2},B={-1,4},
所以A∪B={-2,-1,4}.课件39张PPT。第2课时 补集及综合应用一、全集的概念及表示
1.概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的_________，
那么就称这个集合为全集.
2.全集的符号表示：全集通常用“__”表示.所有元素U思考：全集一定包含任何元素？
提示：不一定.全集仅包含我们所要研究问题所涉及的全部元
素，而非任何元素.二、补集合A的所有元素{x|x∈U,且x?A}不属于集判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若在全集U中研究问题，则集合U没有补集.( )
(2)集合 与 相等.( )
(3)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素.( )
提示：(1)错误.集合U在全集U中的补集是空集，而不是没有
补集.
(2)错误.若A=B，则 = ；否则不相等.
(3)正确.由补集的定义可知正确.
答案：(1)× (2)× (3)√【知识点拨】
1.对全集的理解
可以认为是将要研究的问题限定在一个范围内进行，这个范围以外的问题不在我们研究的范围以内，这时就有理由将所研究的这个范围视为全集.全集并不是固定不变的，它是依据具体问题来加以选择的.2.对补集的理解
(1)补集是以“全集”为前提的，离开了全集，补集就无意义了.集合A在不同全集中补集也是不同的，因而在描述补集概念时应注明是在哪个全集中的补集.
(2)补集既是集合之间的一种关系，又是集合的一种运算，同时也是一种思想方法.
(3) 的三层含义：
① 表示一个集合；
②A是U的子集，即A?U；
③ 是U中不属于A的所有元素组成的集合.3.补集的相关性质类型 一 补集的基本运算
【典型例题】
1.(2012·广东高考)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则 ＝( )
A.U B.{1,3,5}
C.{3,5,6} D.{2,4,6}
2.已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若 ＝{x|2≤x≤5}，则a＝___________.【解题探究】1.补集的含义是什么？求补集时应明确什么？
2.集合A与 及U三者之间有什么关系？
探究提示：
1.全集U中子集A的补集是由U中不属于集合A的所有元素组成
的集合，因此求集合补集时应明确全集是什么.
2.集合A与 及U三者之间的关系是A∪ ＝U,A∩ =?.【解析】1.选C.因为U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，所以
＝{3,5,6}，所以选C.
2.∵A∪ ＝U，且A∩ =?,∴A＝{x|1≤x＜2}.∴a＝2.
答案：2【拓展提升】求集合补集的基本方法及处理技巧
(1)基本方法：定义法.
(2)两种处理技法：
①当集合用列举法表示时，直接套用定义或借助Venn图求解.
②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解.【变式训练】已知全集U＝{x|x是非零整数}，集合A＝{x|x>2
或x<-6, x∈U},则 ＝( )
A.{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2}
B.{-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2}
C.{-5,-4,-3,-2,0,-1,1}
D.{-5,-4,-3,-2,-1,1}
【解析】选B.集合A表示大于2或小于-6的非零整数集，故它
的补集为不小于-6且不大于2的非零整数集.故 ={-6,-5,
-4,-3,-2,-1,1,2}.类型 二 集合交、并、补的简单综合
【典型例题】
1.(2012·辽宁高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则( )∩( )
＝( )
A.{5,8} B.{7,9}
C.{0,1,3} D.{2,4,6}
2.已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，
P＝{x|x≤0或x≥ }，求A∩B，( )∪P，(A∩B)∩( )．【解题探究】1.解答题1时应先计算什么？
2.当集合为连续数集时，求解交、并、补运算常借助什么工
具求解？
探究提示：
1.解答本题应先分别求出 和 ，再求交集,可借助Venn图
解题或先求A∪B，利用补集的相关性质求解.
2.当集合为连续数集时，求解交、并、补运算时常借助的工
具是数轴，利用数轴分析求解.【解析】1.选B.方法一：由图知，∵ ＝{2,4,6,7,9}，
＝{0,1,3,7,9}，∴( )∩( )＝{7,9}.
方法二：∵A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8},
∴( )∩( )＝ ＝{7,9}.2.将集合A，B，P表示在数轴上，如图．
∵A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，
∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}．
∵ ＝{x|x≤－1或x＞3}，
∴( )∪P＝{x|x≤0或x≥ }，
(A∩B)∩( )＝{x|－1＜x＜2}∩{x|0＜x＜ }
＝{x|0＜x＜2}．【互动探究】题1条件不变，求( )∪( ).
【解析】方法一：由题1知， ＝{2,4,6,7,9}， ＝
{0,1,3,7,9}，∴( )∪( )＝{0,1,2,3,4,6,7,9}.
方法二：∵A∩B＝{5,8},
∴( )∪( )＝ ＝{0,1,2,3,4,6,7,9}.【拓展提升】集合交、并、补运算的技巧
(1)若已知集合为有限集，一般把集合中元素一一列举出来，结合定义求解，有时也用到Venn图.
(2)若已知集合为无限集，通常结合定义借助数轴分析求解，此时应注意边界问题.
(3)若已知集合为抽象集合时，通常借助Venn图化简后求解.【变式训练】 (2013·宁波高一检测)已知全集U=R，集合
A={1，2，3，4，5}，集合B={x∈R|x≥3}，则A∩( )为
( )
A.{1} B.{1，2} C.{1，2，3} D.{0，1，2}
【解析】选B.∵ ={x∈R|x＜3},
∴A∩( )={1,2}.类型 三 补集性质的应用
【典型例题】
1.已知M,N为集合I的非空真子集，且M,N不相等，若N∩
=?,则M∪N=( )
A.M B.N C.I D.?
2.已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，若A? ，求实
数a的取值范围.【解题探究】1.条件N∩ =?说明集合M与N之间有什么关
系？
2.通过什么方法将集合间的关系直观地表示出来？
探究提示：
1.N∩ =?，说明M与N之间有包含关系，并且N?M.
2.利用数轴可将集合间的关系直观地表示出来.【解析】1.选A.因为N∩ =?，所以N?M(如图)，所以
M∪N=M．
2.∵ ={x|x≤1或x≥2}，若A? ，则a≤1，如图所示，
∴a的取值范围是a≤1.【拓展提升】由补集间的关系求参数的方法
已知补集之间的关系求参数的取值范围时，常根据补集的定义及集合之间的关系，并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解，具体操作时要注意端点值的“取”与“舍”.【变式训练】设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若
＝{1,2}，则实数m＝______.
【解析】∵U＝{0,1,2,3}， ＝{1,2}．∴A＝{0,3}．因此方程x2＋mx＝0的两根为0和3，∴0+3=-m,即m=-3.
答案：-3 【规范解答】 由补集求参数的取值范围
【规范解答】根据题意可知，N≠?，又因为N? ，
所以讨论时考虑集合M有空集和非空两种情况①：…………2分
若M＝?，
则 ＝R,N? 显然成立．【典例】【条件分析】于是有3a－1≥2a，
得a≥1.……………………………………………………4分
若M≠?，
则3a－1＜2a，有a＜1.……………………………………5分
这时 ＝{x|x≤3a－1，或x≥2a}，……………………6分
由N? 得2a≤－1或3a－1≥3②，即a≤ 或a≥ ，……………………………………8分
又a＜1③故a≤ . ……………………………………9分
综上所述a≥1或a≤ .………………………………10分
即a的取值集合为{a|a≥1或a≤ }．………………12分【失分警示】
【防范措施】
1.分类讨论的意识
在解答含有参数的问题时，要首先考虑由于参数的影响是否需要分类讨论，如本例中集合M的端点处含有参数不确定,故需要进行讨论.
2.隐含或限制条件的挖掘
在解题时，很多同学忽视了隐含条件，在最后给出结论时往往忽略了条件的限制，导致错误，所以在解题时得到的答案要回顾其限制条件是否满足,如本例中a＜1易被忽视.【类题试解】已知集合A={x|x＜a},B={x|1＜x＜3},若A∪
=R，求实数a的取值范围.
【解析】∵B={x|1＜x＜3},∴ ={x|x≤1或x≥3}.
因而要使A∪ =R.结合数轴分析
可得a≥3.1.已知全集U＝{0,1,2}，且 ＝{2}，则A＝( )
A.{0} B.{1}
C.? D.{0,1}
【解析】选D.∵ ＝{2}，
∴2?A，又U＝{0,1,2}，
∴A＝{0,1}． 2.若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞-1}，则( )
A.P?Q B.Q?P
C. ?Q D.Q?
【解析】选C.由题意， ＝{x|x≥1}，画数轴可知，选项A，B，D错.3.设全集U=R，集合X={x|x≥0}，Y={y|y≥1}，则 与 的
关系是 _____ .
【解析】∵ ={x|x＜0}, ={y|y＜1},
∴ ? 或 .
答案：?(或 )4.设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则( )∪( )＝__________.
【解析】方法一：由已知， ＝{c，d}， ＝{a}，
故( )∪( )＝{a，c，d}．
方法二：( )∪( )＝ ＝{a，c，d}．
答案：{a，c，d}5.设全集U={2，4，-(a-3)2}，集合A={2，a2-a+2}，若 =
{-1}，求实数a的值.
【解析】由 ={-1}，可得
所以
解得a=4或a=2.
当a=2时，A={2，4}，满足A?U，符合题意.
当a=4时，A={2，14}，不满足A?U，故舍去.
综上可知，a的值为2.
