课件45张PPT。1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
第1课时 函数的概念一、函数的有关概念
1.定义非空数集唯一确定从集合A到集合B2.相关名称
(1)自变量是__.
(2)函数的定义域是______.
(3)函数的值域是集合____________
3.函数的记法
集合A上的函数可记作：__________或_____________.
思考：任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？
提示：不能，只有非空数集之间才能建立函数关系.x集合A{f(x)|x∈A}.f：A→By=f(x)，x∈A二、区间及有关概念
1.区间的定义
条件： ______(a,b为实数).
结论：a＜b(a,b)[a,b)(a,b]2.特殊区间的表示 (-∞,+∞)(a,+∞)(-∞,a]判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示. ( )
(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为［2，+∞］. ( )
(3)若［a,2a］表示一个区间，则a∈R.( )
提示：(1)不一定. 只有当数集是连续的，才能用区间表示.
(2)不正确. 当用∞表示区间端点时，应用开区间表示.
(3)不正确. 若［a,2a］表示一个区间，则必有2a＞a，即
a＞0.
答案：(1)×(2)×(3)×【知识点拨】
1.对函数概念的理解
(1)对集合A、B的要求：集合A,B为非空数集.
(2)函数三要素：对应关系“f:A→B”表示A到B的一个函数，它有三要素：定义域、对应关系和值域，三者缺一不可.
(3)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中对应的数具有唯一性.(4)符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,应理解为:x是自变量，它是对应关系所施加的对象；f是对应关系，它既可以是解析式，也可以是图象、表格或文字描述等.y=f(x)仅仅是函数符号，不能认为“y等于f与x的乘积”.
(5)一个区别：f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值.2.对区间的几点认识
(1)区间是集合，是数集，区间的左端点必须小于右端点.
(2)用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.
(3)在用区间表示集合时，开和闭不能混淆.
(4)“∞”是一个符号，不是一个数，它表示数的变化趋势.3.区间和数集的联系和区别类型 一 函数的概念
【典型例题】
1.(2013·长沙高一检测)设M={x|-2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数y=f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y=f(x)的图象的是( )2.下列对应是否是函数.
(1)x→ ，x≠0，x∈R.
(2)x→y，其中y2=x，x∈R，y∈R.
【解题探究】1.当已知的对应关系用图象表示时，怎样判断其是否为函数关系？
2.一般依据什么来说明一个对应关系是不是函数关系？探究提示：
1.可用垂直于x轴的直线与已知图象的交点个数来判断，若交点多于一个，则不是函数关系.
2.要判断一个对应是函数关系，应根据函数定义来判断.【解析】1.选C.由函数定义可知，任意作一条直线x=a，则与
函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y
是x的函数.
2.(1)是函数. 因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的
与之对应，符合函数定义.
(2)不是函数.当x=1时，y=±1，即一个非零自然数x，对应两
个y的值，不符合函数的概念.【互动探究】题2(2)中，若x2=y，其他不变，能否构成函数关系？
【解析】能构成.对于任意一个x值，都有唯一确定的y值与之对应，由函数定义可知构成函数.【拓展提升】判断一个关于x,y的等式是否能表示函数的方法
(1)判断依据是函数的定义，先看定义域和对应关系是否给出，再根据给出的对应关系，判断定义域中的每一个值是否能在值域中确定唯一的值.
(2)要记住函数关系式中定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域是使得这个关系式有意义的所有实数构成的集合，而并不表示这个函数的定义域不存在.【变式训练】如果函数f：A→B，其中A={-3,-2,-1,1,2,3,4}，
对任意a∈A，在B中都有唯一确定的|a|和它对应，则函数的值
域为 .
【解析】由题意知，对a∈A，|a|∈B，故函数的值域为
{1,2,3,4}.
答案：{1,2,3,4}类型 二 用区间表示数集
【典型例题】
1.用区间表示数集{x|x≤2或x＞3}为____________.
2.已知全集U=R，A={x|1＜x≤5}，则 用区间表示为_____.
【解题探究】1.数集中的“且”“或”转为区间时应怎样表示？
2.用区间表示的数集和用集合表示的数集时在进行运算时相同吗？探究提示：
1.用区间表示数集时，“且”转化为“∩”，“或”转化为“∪”.
2.用区间表示的数集和用集合表示数集时在进行运算时是相同的，没有本质区别.【解析】1.{x|x≤2或x＞3}用区间表示为(-∞,2］∪(3,+∞).
答案：(-∞,2］∪(3,+∞)
2.由题意知， ={x|x≤1或x＞5},用区间表示为
(-∞,1］∪(5,+∞).
答案：(-∞,1］∪(5,+∞) 【拓展提升】用区间表示数集的两个注意点
(1)弄清区间的含义，掌握一般区间形式所对应的数集.
(2)注意数集中的符号“≤”“≥”“＜”及“＞”与区间中的符号“［”“］”“(”“)”的对应关系.
【变式训练】用区间表示数集{x|-6【解析】数集{x|-6【典型例题】
1.(2013·揭阳高一检测)函数y= 的定义域是_______.
2.已知矩形的周长为1,它的面积S与矩形的一条边长x之间的函数关系式为______，其定义域为____________.
3.已知函数f(x)＝ (x∈R且x≠－1)，函数g(x)＝x2＋2 (x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值.
(2)求f(g(2))的值．【解题探究】1.函数的定义域指的是什么？
2.根据题2的实际意义，求函数解析式的关键是什么？自变量要满足哪些条件？
3.如何求形如f(g(x))的函数值？探究提示：
1.函数的定义域就是指使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.
2.求该函数解析式的关键是用x表示出矩形的另外一条边长.可以由矩形的两条边长都大于零列出自变量所满足的条件.
3.求形如f(g(x))的函数值时，可先求g(x)的值，再求f(g(x))的值，即由内到外.【解析】1.要使函数解析式有意义，需满足x2-4≠0，
即x≠±2,
故定义域为(-∞,-2)∪(-2,2)∪(2,+∞).
答案：(-∞,-2)∪(-2,2)∪(2,+∞)
2.由题意得，矩形的另外一条边长为 -x,
于是S=( -x)x= x-x2,
其中x需满足 所以0＜x＜ ,
所以S与x之间的函数关系中的定义域为(0, ).
答案：S= x-x2 (0, )3.(1)∵f(x)＝ ，∴f(2)＝ ＝ ，
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)由(1)知g(2)＝6，∴f(g(2))＝f(6)＝ ＝ .【拓展提升】1.已知函数解析式求定义域的类型及求解策略
(1)整式：若y=f(x)为整式，则函数的定义域是实数集R.
(2)分式：若y=f(x)为分式，则函数的定义域为使分母不为0的实数集.
(3)偶次根式：若y=f(x)为偶次根式，则函数的定义域为被开方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义).
(4)几部分组成：若y=f(x)是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集.(5)实际问题：若y=f(x)是由实际问题确定的，其定义域要受实际问题的约束.
2.函数求值的两个注意事项
(1)求函数值问题，首先要确定函数的对应关系f的具体含义，再代入求值.
(2)求类似f(g(2))的值，要注意f,g作用的对象，按“由内到外”的顺序求值.【变式训练】1.函数f(x)= 的定义域是_______.
【解析】由题意知 即
所以x＜0，即函数的定义域为(-∞,0).
答案：(-∞,0)2.已知函数f(x)= - .
(1)求函数的定义域.
(2)求f(-1)，f(12)的值.
【解析】(1)由题意知，x-1≠0且x+4≥0，
即x≥-4且x≠1.从而函数定义域为［-4,1)∪(1，+∞).
(2)f(-1)= - =-3-
f(12)= - = -4=【规范解答】与函数定义域有关的综合问题【典例】【条件分析】(1)求集合A.
(2)若A?B，求a的取值范围.
(3)若全集U={x|x≤4}，a=-1，求 及A∩( ).【规范解答】(1)使 有意义的实数x的集合是{x|x≤3}，
使 有意义的实数x的集合是{x|x＞-2}①.…………2分
所以，这个函数的定义域是
{x|x≤3}∩{x|x＞-2}={x|-2＜x≤3}①,
即A={x|-2＜x≤3}.…………………………………………4分
(2)因为A={x|-2＜x≤3}，B={x|x＜a}且A?B,
所以a＞3.②…………………………………………………7分
(3)因为U={x|x≤4}，
A={x|-2＜x≤3},
所以 =(-∞,-2］∪(3,4］.……………………………9分
因为a=-1，
所以B={x|x＜-1},
所以 =［-1,4］，
所以A∩ =［-1,3］.……………………………………12分【失分警示】【防范措施】
1.重视求函数定义域的基本原则
若y=f(x)是由几部分数学式子组成的,则定义域是使各部分都
有意义的集合的交集,如本例(1)中，要注意求 和 两
部分都有意义的集合的交集.
2.重视利用数形结合思想处理集合之间的关系和运算问题
集合之间的关系和运算要注意Venn图和数轴的应用,如本例(2)
中，可借助数轴分析a的取值范围.【类题试解】(2013·长春高一检测)已知全集U=R，函数y=
的定义域为集合A，函数y= 的定义域为
集合B.
(1)求集合A和集合B.
(2)求集合( )∪( ).【解析】(1)因为 所以x≥2，所以A=［2,+∞).
因为 所以x≥-2且x≠3，所以B=［-2,3)∪(3,+∞).
(2)因为A=［2,+∞)，所以 =(-∞,2).
因为B=［-2,3)∪(3,+∞)，所以 =(-∞,-2)∪{3},所以
( )∪( )=(-∞,2)∪{3}.1.下列说法正确的是( )
A.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
B.函数的定义域和值域可以是空集
C.函数的定义域和值域一定是数集
D.函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了【解析】选C.根据从集合A到集合B函数的定义可知，强调A中
元素的任意性和B中对应元素的唯一性，所以A中的多个元素
可以对应B中的同一个元素，从而选项A错误；同样由函数定
义可知，A,B集合都是非空数集，故选项B错误；选项C正确；
对于选项D，可以举例说明，如定义域、值域均为A＝{0,1}的
函数，对应关系可以是x→x，x∈A，可以是x→ ，x∈A，
还可以是x→x2，x∈A.2.函数f(x)= 的定义域为( )
A.(1,+∞) B.［0,+∞)
C.(-∞,1)∪(1,+∞) D.［0,1)∪(1,+∞)
【解析】选D.因为 -1≠0，所以
所以x≥0且x≠1.
所以函数f(x)= 的定义域为［0,1)∪(1,+∞).3.已知全集U=R，A={x|x＞1或x≤-2}，则 用区间表示为
___.
【解析】由题意知， ={x|-2＜x≤1}，用区间表示为
(-2,1］.
答案：(-2,1］
4.f(x)=x2+x-1，f(a)=5，则a=________.
【解析】由a2+a-1=5，解得a=2或-3.
答案：2或-35.若f(x)=|x-1|-|x|，则f(f(1))=_______.
【解析】∵f(1)=|1-1|-|1|=-1，
∴f(f(1))=f(-1)=|-1-1|-|-1|=2-1=1.
答案：1
6.已知函数f(x)= ,g(x)=x2+2,求f(2)及f(g(2))的值.
【解析】由f(x)= ，得f(2)= ，
由g(x)=x2+2,得g(2)=22+2=6,
f(g(2))=f(6)= .课件42张PPT。第2课时 函数概念的综合应用函数相等
1.条件：①______相同；②________完全一致.
2.结论:两个函数相等.
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对应关系相同的两个函数一定是相等函数.( )
(2)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.( )定义域对应关系(3)两个函数的定义域和值域相同，则两个函数的对应关系也相同.( )
提示：(1)错误.当两函数的定义域不同时，则不是相等函数，故不正确.
(2)正确.值域{f(x)|x∈A}是由定义域A和对应关系f确定的.
(3)错误.两个函数的定义域和值域相同，函数的对应关系不一定相同.
答案：(1)× (2)√ (3)×【知识点拨】
对函数相等的三点说明
(1)函数值域是由定义域和对应关系决定的.因此判断两个函数是否相等，只看定义域和对应关系即可.
(2)当两函数的对应关系和值域分别相等时，两函数不一定相等.
(3)若两个函数只是自变量用的字母不同，则这两个函数相等.例如,函数f(x)=x2,x∈R与函数f(t)=t2,t∈R是相等函数. 类型 一 函数相等的判断
【典型例题】
1.(2013·衢州高一检测)下列各组函数表示相等函数的
是( )
A.f(x)=x-2,g(x)=
B.f(x)= ,g(x)=1
C.f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1
D.f(x)= ,g(x)=2．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由.
(1)y= ,y= .
(2)y= ,y= .
【解题探究】1.在所给四组函数中，定义域和对应关系分别
有什么关系？
2.两个函数相等的条件是什么？探究提示：
1.A.定义域不同，对应关系相同；
B.定义域和对应关系都不同；
C.定义域和对应关系都相同；
D.定义域不同，对应关系相同.
2.两个函数相等的条件是定义域与对应关系均相同.【解析】1.选C.选项A中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠-2}，故定义域不同，因此不是相等函数；选项B中f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，故定义域不同，因此不是相等函数；选项D中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠1}，定义域不同，因此不是相等函数；而C只是表示变量的字母不一样，表示的函数是相等的.2．(1)对于函数y= ，
由 得x≥1，所以定义域为{x|x≥1}.
对于函数y= ，由 ≥0，得x≥1或x≤-1，所以定
义域为{x|x≥1或x≤-1}.所以两函数的定义域不同，故不是
相等函数.(2)对于函数y= ，
由 得-1≤x≤1，故定义域为{x|-1≤x≤1}.
对于函数y= ，由 ≥0，得-1≤x≤1，
故定义域为{x|-1≤x≤1}.
所以两函数定义域相同，又对应关系相同，故是相等函数.【拓展提升】判断函数相等的三个步骤和两个注意点
(1)判断函数是否相等的三个步骤
(2)两个注意点
①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示无关.【变式训练】下列各组函数表示相等函数的个数是( )
①y= 与y=x+3(x≠3)
②y= 与y=x-1
③y=2x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选A.①②③对应关系都不同，故都不是相等函数.故选A.类型 二 求函数值域问题
【典型例题】
1.(2013·日照高一检测)函数f(x)= (x∈R)的值域为 ( )
A.(0,1) B.(0,1］ C.［0,1) D.［0,1］
2.求下列函数的值域.
(1)y=3-4x,x∈(-1,3］.
(2)y=x2-4x+6,x∈［1,5).
(3)y= .【解题探究】1.函数y=1+x2(x∈R)的值域是什么？当x趋向于
+∞时，y= 的函数值是如何变化的？
2.(1)在函数图象中，函数值f(x0)的几何意义是什么？如何
利用函数图象求函数的值域？
(2)函数y= 的分子和分母都含有自变量x，是否可以将其
变形为只有分母含有自变量x的形式?探究提示：
1.函数y=1+x2(x∈R)的值域是［1,+∞).当x趋向于+∞时，
y= 的函数值趋近于0.
2.(1)函数值f(x0)是函数f(x)图象中横坐标为x0的点的纵坐
标.函数图象上点的纵坐标的取值范围就是函数的值域.
(2)可以利用分离常数的办法进行变形，变形方法如下：
.【解析】1.选B.因为x∈R，
所以1+x2∈［1,+∞),所以f(x)= ∈(0,1］.
2.(1)作出函数y=3-4x,x∈(-1,3］的图象(如图所示).
由图象可知函数y=3-4x,x∈(-1,3］的值域是［-9，7).(2)y=x2-4x+6=(x-2)2+2.
作出函数y=x2-4x+6，x∈［1,5)的图象(如图所示).
由图观察得函数的值域为{y|2≤y<11}.(3)方法一：
显然 可取0以外的一切实数，
即所求函数的值域为{y|y≠3}.
方法二：把y= 看成关于x的方程，
变形得(y－3)x＋(y＋1)＝0，该方程在原函数定义域{x|x≠
－1}内有解的条件是 解得y≠3，
即所求函数的值域为{y|y≠3}.【互动探究】题2(2)中函数的定义域改为{-1，0，1，2，3}，如何求其值域？
【解析】函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，f(-1)= 11，f(0)=6，f(1)=3，f(2)=2，f(3)=3，
所以值域为{2，3，6，11}.【拓展提升】求函数值域的原则及常用方法
(1)原则：①先确定相应的定义域;②再根据函数的具体形式及运算确定其值域.
(2)常用方法：
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到.②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法.
③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函
数，从而求得原函数的值域.对于f(x)=ax+b+ (其中
a,b,c,d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法.
④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式
转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.【变式训练】(2013·武汉高一检测)已知集合A={1,2,3},B={4,5,6},f:A→B是从集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有( )
A.6种 B.7种 C.8种 D.9种
【解题指南】依据函数的定义来判断函数个数，进而求值域.
【解析】选B.结合函数定义，可知能构成7个函数，其值域有7种不同情况.
即值域为{4},{5},{6},{4,5},{4,6},{5,6},{4,5,6}.类型 三 求形如f(g(x))的函数的定义域
【典型例题】
1.(2013·呼伦贝尔高一检测)已知函数f(x)的定义域是［0,2］，则函数g(x)=f(x+ )+f(x- )的定义域是( )
A.［0,2］ B.［- , ］
C.［ , ］ D.［ , ］
2.已知y=f(2x+1)的定义域为［1,2］.
(1)求f(x)的定义域.
(2)求f(2x-1)的定义域.【解题探究】1.题1中由函数f(x)的定义域是［0,2］，如何
确定f(x+ )和f(x- )中x+ 和x- 的取值范围？
2.题2中y=f(2x+1)的定义域为［1,2］，它的含义是x∈
［1,2］还是2x+1∈［1,2］? f(x)，f(2x+1)和f(2x-1)中的
x，2x+1和2x-1的取值范围有何关系？探究提示：
1.x+ ∈［0,2］，x- ∈［0,2］.
2.定义域就是自变量的取值范围.y=f(2x+1)的定义域为
［1,2］，它的含义是x∈［1,2］.f(x)，f(2x+1)和f(2x-1)
中的x，2x+1和2x-1的取值范围相同.【解析】1.选D.因为函数f(x)的定义域是［0,2］，
所以函数g(x)=f(x+ )+f(x- )中的自变量x需要满
足 解得
所以 ≤x≤ .所以函数g(x)的定义域是［ , ］.2.(1)由于y=f(2x+1)的定义域为［1,2］，
所以1≤x≤2，所以3≤2x+1≤5,
所以函数f(x)的定义域为［3,5］.
(2)由(1)可知，3≤2x-1≤5，所以2≤x≤3，
所以函数f(2x-1)的定义域为［2,3］.【拓展提升】求形如f(g(x))的函数的定义域的方法
(1)已知f(x)的定义域为D，求f(g(x))的定义域
由g(x)∈D,求出x的范围, 即得到f(g(x))的定义域.
(2)已知f(g(x))的定义域为D，求f(x)的定义域
由x∈D, 求出g(x)的范围，即得到f(x)的定义域.【变式训练】若函数y＝f(x)的定义域是［0,2］，则函数g(x)
＝ 的定义域是( )
A.［0,1］ B.［0,1)
C.［0,1)∪(1,4］ D.(0,1)
【解析】选B.因为f(x)的定义域为［0,2］，所以对于函数
g(x)满足0≤2x≤2，且x≠1，故x∈［0,1). 【易错误区】判断两个函数是否相等时忽视定义域致误
【典例】下列各组函数中是相等函数的是( )
A. y＝x＋1与y＝
B. y＝x2＋1与s＝t2＋1
C. y＝2x与y＝2x(x≥0)
D. y＝(x+1)2与y＝x2【解析】选B. 对A①，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是相等函数；对B，虽然表示变量的字母不同，但不改变意义，是相等函数；对C，因为定义域不同，不是相等函数；对D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数.【类题试解】下列哪组中的两个函数是相等函数( )
A.f(x)= 和g(x)=
B.y= 与y=x
C.y=x0和y=1
D.f(x)= +1和g(x)=
【解析】选A.B，C中两个函数的定义域不同，D中两个函数的
定义域和对应关系都不同.【误区警示】【防范措施】
1.判断相等函数的两个方面
判断两个函数是相等函数，首先应看定义域是否相同，若不相同，则不是相等函数；若相同，还需判断对应关系是否相同，若相同则是，否则不是. 本例中，对选项A的判断，应首先看定义域是否相同，而不能先将第二个函数化简后看对应关系相同就是相等函数.2.判断相等函数的注意点
判断相等函数时，对较为复杂的函数解析式化简要慎重，要注意其等价性. 本例中在将选项A中第二个函数解析式化简时易把定义域扩大，由解析式相同而误认为是相等函数.1.函数f(x)=3x-4的定义域是[1,4]，则其值域是( )
A.{-1,8} B.［-1,8］ C.(-1,8) D.R
【解析】选B.∵1≤x≤4，∴3≤3x≤12，∴-1≤3x-4≤8，即该函数值域是［-1,8］.
2.已知M＝｛x|y=x2-1｝, N={y|y=x2-1},M∩N等于( )
A.N B.M C.R D.?
【解析】选A.因为M＝{x|y=x2-1}=R，
N={y|y=x2-1}={y|y≥-1},
所以M∩N=N.3.下列函数：(1)y= .(2)y= .(3)y=1(-1≤x＜1).与函
数y=1相等的函数的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
【解析】选D.(1)要求x≠0，与函数y=1的定义域不同，两函数不相等；(2)虽然化简后y=1，但要求t≠-1，即定义域不同，不是相等函数；(3)显然定义域不同，故不是相等函数.4.已知f(x)由下表表示
则函数f(x)的定义域是 ，值域是 .
【解析】观察表格可知函数f(x)的定义域是｛1，2，3｝，
值域是｛1，2｝.
答案：｛1，2，3｝ ｛1，2｝5.设函数f(x)=2x+3的值域是［-1,5］，则其定义域为____.
【解析】由-1≤2x+3≤5,解得-2≤x≤1.
即函数定义域为［-2,1］.
答案：［-2,1］
6.求y=－x2－2x+3(－5≤x≤－2)的值域.
【解析】∵y=－x2－2x+3=－(x+1)2+4，
又∵－5≤x≤－2，∴－4≤x+1≤－1,
∴1≤(x+1)2≤16,∴－12≤4－(x+1)2≤3,
∴函数的值域为［－12，3］.课件34张PPT。1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法函数的三种表示方法数学表达式图象表格思考：任何一个函数都可以用解析法表示吗？
提示：不一定.如某一地区的绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示.【知识点拨】
函数三种表示方法的优缺点
(1)解析法.
优点：①简明、全面概述变量之间的关系;
②利用解析式可以求任意函数值.
缺点：不够形象、直观，并且不是每一个函数都有解析式.
(2)图象法.
优点：能形象直观表示函数的变化情况.
缺点：只能近似求出函数值且有时误差较大.(3)列表法.
优点：不用计算可直接看出与自变量对应的函数值.
缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的函数值.类型 一 函数解析式的求法
【典型例题】
1.已知反比例函数f(x)满足f(3)＝-6，f(x)的解析式为______.
2.已知 求f(x)．【解题探究】1.反比例函数解析式的一般形式是什么？
2.题2中对应关系f对哪个量作用得到x＋2 ？求函数解析式的
实质是什么？
探究提示：
1.反比例函数的一般形式是f(x)＝ (k≠0).
2.(1)本题中对应关系f对“ ＋1”作用得到x＋2 而不是直
接对“x”起作用.
(2)求函数解析式的实质是寻找或探究对应关系.【解析】1.设反比例函数f(x)＝ (k≠0)，
∵f(3)=-6,则f(3)＝ ＝－6，解得k＝－18.
∴f(x)＝
答案：f(x)＝2.方法一：(换元法)
令 ＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2，
∴f(t)＝(t－1)2＋ ＝t2－1.
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法二：(配凑法)
∵x＋2 ＝( ＋1)2－1，
∴f( ＋1)＝( ＋1)2－1.
又∵ ＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．【拓展提升】求函数解析式的两种方法
方法一：待定系数法
适用条件：函数的类型已知，如一次函数、二次函数等.
操作过程：方法二：换元法
适用条件：已知y=f(g(x))，求f(x)的解析式.
操作过程：
提醒：利用换元法求函数解析式要注意函数的定义域.【变式训练】已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)．
【解题指南】本题关键是设出一次函数的解析式,代入已知关系式,利用待定系数法求解.
【解析】设f(x)=ax+b(a≠0),
则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+3,
∴ 解得 或
故所求的函数为f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.类型 二 函数的图象及其简单应用
【典型例题】
1.(2013·潍坊高一检测)函数y=x+ 的图象是图中的( )
2.画出下列函数的图象
(1)y= +1,x∈{1,2,3,4,5}.
(2)y=x2+2x,x∈［-2,2］.【解题探究】1.题1中由函数解析式判断图象时首先应如何处理?
2.画函数图象时首先要关注的是什么？
探究提示：
1.已知函数解析式确认其对应函数图象时，首先应利用特殊点进行排除.
2.画函数图象时首先注意的是函数的定义域，在定义域内画函数图象.【解析】1.选C.函数的定义域为{x|x≠0}，故排除A，B；又
当x=-1时，y=-2≠0,排除D，综上知选C.
2.(1)用列表法可将函数y= +1,x∈［1,5］，x∈Z表示为：
如图1所示， (2)y=x2+2x=(x+1)2-1,x∈［-2,2］.图象是抛物线y=x2+2x在［-2,2］上的部分，如图2所示.【互动探究】你能求出题2两个函数的值域吗？
【解析】结合图象可知，两个函数的值域分别是
(1){ }，
(2)［-1，8］.【拓展提升】
1.描点法画函数图象的流程
2.画函数图象的三点注意
注意一：先确定定义域，在定义域内画图；
注意二：实、虚点(线)要分清；
注意三：标出关键点.【变式训练】画出下列函数的图象：
(1)y=2x+1,x∈［0,2］.
(2)y=x2-2x(-1≤x＜2).【解析】(1)当x＝0时，y＝1；
当x＝2时，y＝5.
所画图象如图1所示．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1.
当x＝－1时，y＝3；当x＝0时，y＝0.
当x＝1时，y＝－1；当x＝2时，y＝0.
所画图象如图2所示．【易错误区】函数求值中的解题误区
【典例】已知g(x-1)=2x+6,则g(3)=______.
【解析】方法一：∵g(x-1)=2x+6①，令x-1=t,则x=t+1,
∴g(t)=2(t+1)+6=2t+8,即g(x)=2x+8,
g(3)=2×3+8=14.
方法二：g(x-1)=2x+6,①
∴g(3)=g(4-1)=2×4+6=14.
答案：14【类题试解】1.已知f(2x)= +3，则f( )=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选D.∵f(2x)= +3,∴f(x)= +3,
∴2.若g(x+1)=2x-2,g(x)=4，则x的值为______.
【解析】令x+1=t,则x=t-1,
∴g(t)=2(t-1)-2=2t-4,
∴g(x)=2x-4,
∴2x-4=4,∴x=4.
答案：4【误区警示】【防范措施】
换元法求函数解析式的注意点
利用换元法求函数解析式时，要注意新元及其取值范围，此类问题往往因为忽视新元及其取值范围而出现错误.1.已知f(x)=π(x∈R),则f(π2)等于( )
A.π2 B.π
C. D.不确定
【解析】选B.∵π2∈R,∴f(π2)=π.2.设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的解析式是( )
A.g(x)=2x+1 B.g(x)=2x-1
C.g(x)=2x-3 D.g(x)=2x+7
【解析】选B.∵g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,
∴g(x)=2x-1.3.已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
【解析】选D.由表可知，f(3)=-4.4.已知f(x)=2x+3,且f(m)=6，则m等于______.
【解析】2m+3=6,m=
答案： 5.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标
分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f( )的值等于______.
【解析】∵f(3)=1, =1,∴f( )=f(1)=2.
答案：26.作出下列函数的图象:
(1)y=1-x,x∈Z.(2)y=
【解析】利用描点法作图如下:课件52张PPT。第2课时 分段函数及映射一、分段函数的定义
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同
的_________的函数.对应关系判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分段函数有几段，它的图象就有几段，它们之间不连续.
( )
(2)若D1，D2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则
D1∩D2=?.( )
(3)函数 是分段函数.( )提示：(1)错误.分段函数的图象可以是一条连续的曲线，也可
以是点或几段图象.
(2)错误.虽然分段函数在x的不同取值范围，对应不同的对应
关系，但D1∩D2可能不是空集，如函数
(3)正确.它符合分段函数的定义.
答案：(1)× (2)× (3)√ 二、映射非空唯一确定从集合A到集合B思考：映射与函数有什么区别与联系?
提示：区别：映射中集合A，B可以是数集，也可以是其他集合，函数中集合A，B必须是数集.
联系：函数是特殊的映射，映射是函数的推广.【知识点拨】
1.对分段函数的认识
(1)对应关系：对分段函数来说，在不同自变量的取值范围内其对应关系不同，但分段函数是一个函数.
(2)定义域：分段函数定义域为各段定义域的并集.
(3)值域：分段函数值域为各段函数值的并集.
(4)图象：其图象由几段曲线构成，在作图时注意衔接点的虚实.2.对映射概念的理解
(1)非空集合：集合A,B可以是数集、点集或其他集合，但一定是非空的.
(2)顺序性：集合A，B有先后顺序，从A到B的映射和从B到A的映射是不同的.
(3)唯一性：A中每一个元素在B中都有唯一的元素和它对应，即要求对应是“一对一”或“多对一”.类型 一 分段函数求值问题
【典型例题】
1.(2012·江西高考)设函数 则f(f(3))=( )
A. B.3 C. D.
2.(2013·温州高一检测)设函数 若f(a)=4,则
实数a=( )
A.-4或-2 B.-4或2
C.-2或4 D.-2或2【解题探究】1.形如f(f(x))的求值问题应如何求？
2.在已知分段函数值的情况下如何确定自变量的值？
探究提示：
1.形如f(f(x))的求值问题可从里向外求，先求f(x)的值，再求f(f(x))的值.
2.在已知分段函数值的情况下，应通过分类讨论来确定自变量的值，即在分段函数不同的定义子区间内分别求.【解析】1.选D.f(3)= f(f(3))=f( )=
2.选B.当a≤0时，由-a=4,得a=-4;
当a＞0时，由a2=4,得a=2(a=-2舍去).综上a=-4或2.【互动探究】题1条件不变，若f(a)+f(-1)=4,求a的值.
【解析】因为-1≤1,所以f(-1)=2,
又f(a)+f(-1)=4,所以f(a)=2,
当a≤1时，由a2+1=2,得a=±1;
当a＞1时，由 =2,得a=1(舍去)，所以a=±1.
综上，a=±1.【拓展提升】
1.求分段函数函数值的方法
(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间.
(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.
当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.2.已知函数值求字母取值的步骤
(1)先对字母的取值范围分类讨论.
(2)然后代入到不同的解析式中.
(3)通过解方程求出字母的值.
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.【变式训练】(2013·绵阳高一检测)函数
则f( )的值为( )
A. B. C. D.18
【解析】选C.∵x>1,∴f(3)=32-3-3=3，又 <1,
∴f( )=f( )=1-( )2=类型 二 分段函数的图象及应用问题
【典型例题】
1.已知函数f(x)定义在［-1,1］上，图象如图所示，那么f(x)
的解析式是( )
A.
B.
C.
D.2.某市出租车的计价标准是：4km以内10元，超过4km且不超过18km的部分1.2元/km，超过18km的部分1.8元/km.
(1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式.
(2)如果某人乘车行驶了20km，他要付多少车费？
【解题探究】1.已知函数图象，一般用什么方法求其解析式?
2.怎样建立题2中的函数关系？探究提示：
1.已知函数图象,一般用待定系数法求其函数解析式.
2.本题中由于不同里程内的计价标准不同，因此需建立分段函数来刻画车费和行车里程之间的函数关系.【解析】1.选C.当x∈［-1,0］时，设f(x)=ax+b,由图象过点
(-1,0)和(0,1),代入求得a=1,b=1,所以f(x)=x+1;当x∈(0,1］
时，设f(x)=ax,由图象过(1,-1)，得a=-1,所以f(x)=-x.
所以2.(1)设车费为y元，行车里程为xkm.
则根据题意得
(2)当x=20时，y=1.8×20-5.6=30.4,即当乘车20km时，要付
车费30.4元.【拓展提升】
1.由分段函数的图象确定函数解析式的方法
(1)定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定函数的类型.
(2)设函数式：设出函数的解析式.
(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程(组)，求出该段内的解析式.
(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.2.利用分段函数求解实际应用题的策略
(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言.
(2)解题关键：建立恰当的分段函数模型.
(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法.【变式训练】已知
(1)画出f(x)的图象.
(2)若f(x)≥ 求x的取值范围.
(3)求f(x)的值域.
【解题指南】解答本题的关键是根据分段函数的性质及常见
函数的图象画出f(x)的图象，然后根据条件求解(2)(3).【解析】(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.
(2)由于 结合此函数图象可知，使f(x)≥ 的x的
取值范围是(-∞, ］∪［ +∞).
(3)由图象知，当-1≤x≤1时，
f(x)=x2的值域为［0,1］,
当x＞1或x＜-1时，f(x)=1.
所以f(x)的值域为［0,1］.类型 三 映射及映射的判断
【典型例题】
1.(2013·安庆高一检测)设集合A={x|1≤x≤2},
B={y|1≤y≤4}，则下述对应关系f中，不能构成A到B的映射的是( )
A.f:x→y=x2 B.f:x→y=3x-2
C.f:x→y=-x+4 D.f:x→y=4-x22.下列对应是不是从A到B的映射，为什么？
(1)A=(0,+∞),B=R,对应关系是“求平方根” .
(2)A={x|-2≤x≤2},B={y|0≤y≤1},对应关系是
f:x→y= (其中x∈A,y∈B).
(3)A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤1},对应关系是f:x→y=(x-2)2
(其中x∈A,y∈B).
(4)A={x|x∈N},B={-1,1},对应关系是f:x→y=(-1)x(其中x∈A,
y∈B).【解题探究】1.从集合A到B的映射中元素是怎样对应的？
2.怎样判断一个对应是映射？
探究提示：
1.映射中要求元素对应是“一对一”或“多对一”，即A中的元素在集合B中有唯一的元素与之对应.
2.判断一个对应是映射要根据定义，关键是看集合A中元素是不是在集合B中都有唯一的元素与之对应.【解析】1.选D.对于D，当x=2时，由对应关系y=4-x2,得y=0,在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成A到B的映射.
2.(1)不是从A到B的映射.因为任何正数的平方根都有两个，所以对A中任何一个元素，在B中都有两个元素与之对应.
(2)是从A到B的映射.因为A中每个数的平方除以4后，都在B中有唯一的数与之对应.
(3)不是从A到B的映射.因为A中有的元素在B中无元素与之对应.如0∈A,而(0-2)2=4?B.(4)是从A到B的映射.因为A中每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.【拓展提升】判断一个对应是不是映射的方法
判断一个对应是不是映射，主要是依据定义，看是否满足：
(1)集合A中元素在B中都有元素与之对应且唯一.
(2)对应是一对一或多对一.【变式训练】(2013·杭州高一检测)a,b为实数，集合M={ 1},
N={a,0},f:x→2x表示把集合M中的元素x，映射到集合N中为2x,
求a+b的值.
【解析】由题意知，集合M中的元素1只能对应集合N中的a,故
a=2,故N={2,0},而M中的 可能对应集合N中的2或0，当 对
应2时，则 =1,则b=2,此时M中有两个相同元素，不合适，故
b=2应舍去，当 对应0时，则 =0,则b=0，此时M={0,1}，符
合题意，综上可知a=2,b=0,即a+b=2. 映射与函数的关系
【典型例题】
1.下列对应为A到B的函数的是( )
A.A=R,B={x|x＞1},f:x→y=|x|
B.A=Z,B=N*,f:x→y=x2
C.A=Z,B=Z,f:x→y=
D.A=［-1,1］,B={0},f:x→y=02.根据所给的对应关系，回答下面的问题：
①A=N*,B=Z,f:x→y=3x+1,x∈A,y∈B；②A={x|x为高一(2)班
的同学}，B={x|x为身高},f:每个同学对应自己的身高;③A=R,
B=N,f:x→y= x∈A,y∈B.
上述三个对应关系中，是映射的是______，是函数的是______.【解析】1.选D.由函数的定义可知，对于A，0∈R,且|0|=0?B,
故A不是A到B的函数；对于B，0∈Z,且02=0?N*,故B不是A到B的函数；对于C，当x＜0时，如-2∈Z,但 无意义，故C不是A到B的
函数；对于D，是多对一的情形，符合函数的定义，是A到B的函
数.
2.①②是映射，但②中A不是数集，所以②只能是映射，而不是
函数.③中当x=0时，在集合B中没有元素与之对应.
答案：①② ①【拓展提升】判断对应是否为函数的关键点
(1)两个集合是否为非空数集.
(2)对集合A中的每一个元素，在集合B中是否都有元素与之对应.
(3)集合A中任一元素在集合B中的对应是否唯一.【变式训练】设M={x|0≤x≤2},N={y|1≤y≤2},给出下面4个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是______.【解析】(1)(2)中，当0≤x≤2时，有部分与x对应的y值不在集合N中；(3)中，x在［0,2)内取值时，在集合N中有两个元素与之对应；只有(4)符合函数的概念.
答案：(4)【规范解答】由分段函数值求自变量的值(范围)
【规范解答】由f(a)=3，结合f(x)的解析式知，按a≤-1,
-1＜a＜2和a≥2进行讨论. …………………… 1分
①当a≤-1时，
f(a)=a+2, …………………… 2分
由a+2=3,【典例】 【条件分析】得a=1,与a≤-1相矛盾，应舍去①. …………………… 4分
②当-1＜a＜2时，f(a)=2a, …………………… 5分
由2a=3,
得a= 满足-1＜a＜2. …………………… 7分
③当a≥2时，
f(a)= …………………… 8分
由 =3,得a=
又a≥2,∴a= ① …………………… 10分
综上可知，a的取值为 或 ②. …………………… 12分【失分警示】【防范措施】
1.正确理解分段函数的含义
分段函数是一个函数，只是在定义域的不同子区间内对应关系不同，因此在求值时要注意自变量的取值.如本例，若不对自变量取值进行讨论，则易出错.
2.分类标准要明确
已知分段函数值求自变量的值时，要注意分类讨论，确定讨论标准是关键，讨论一般是以子区间的端点为标准. 如本例是以-1和2为分界点来讨论的. 【类题试解】1.已知函数 若f(a)+f(1)=0,则求
实数a的值.
【解析】当a＞0时，由f(a)+f(1)=0得,2a+2=0，解得a=-1,舍
去；当a≤0时，由f(a)+f(1)=0得,a+1+2=0，解得a=-3.2.(2013·安庆高一检测)设集合A=［0, ),B=［ 1］，函
数 若x0∈A,且f(f(x0))∈A,则求x0的取值
范围.
【解析】因为x0∈A,所以0≤x0＜ 且f(x0)=x0+ 又
≤x0+ ＜1,所以(x0+ )∈B,所以f(f(x0))=2(1-x0- )=
2( -x0),又f(f(x0))∈A,所以0≤2( -x0)＜ 所以 ＜x0≤1.已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0,1}，下列对应不是A到B的映射的是( )
【解析】选C.A，B，D均满足映射的定义，C不满足A中任一元素在B中都有唯一元素与之对应，且A中元素b在B中无元素与之对应．2.已知 则 等于( )
A.-2 B.4 C.2 D.-4
【解析】选B.
故 =4.3.已知集合A=N*，B={正奇数}，映射f:A→B，使A中任一元素a与B中元素2a-1相对应，则与B中元素17对应的A中的元素为( )
A.3 B.5 C.17 D.9
【解析】选D.由题意知，17=2a-1，解得a=9.4.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图，不含端点)，则
f(f( ))=( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由图象知,
∴5. 的定义域为______，值域为______.
【解析】函数定义域为［0,1］∪(1,2］=［0,2］.
当x∈(1,2］时，f(x)∈［0,1),故函数值域为
［0,1)∪［0,1］=［0,1］.
答案：［0,2］ ［0,1］6.已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：A
中的元素(x，y)对应到B中的元素(2x+y,2x-y)．问：是否存
在这样的元素(a，b)，使它在B中对应的元素仍是自己？若存
在，求出这个元素；若不存在，说明理由.
【解析】假设A中存在元素(a，b)，使它在B中对应的元素仍
是(a，b)．
由 得a=b=0.
∴存在元素(0，0)，使它在B中对应的元素仍是自己.
