课件58张PPT。1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性一、增函数与减函数的定义
设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的
任意两个自变量的值x1，x2.
(1)增函数：当x1
间D上是增函数.
(2)减函数：当x1间D上是减函数.f(x1)f(x2)思考：在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1,x2∈D”改为“存在x1,x2∈D”？
提示：不能.如函数y=x2，虽然f(2)>f(－1)，但函数y=x2在定义域上不是增函数.二、函数的单调性及单调区间增函数或减函数（严格的）单调性单调区间判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.( )
(2)对于函数f(x)=|x|，由于f(2)>f(－1)，故该函数在定义域内是增函数.( )
(3)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3).( )提示：(1)错误，如函数y= 在定义域上不是单调函数.
(2)错误，函数f(x)=|x|在(－∞,0］上是减函数，在(0，+∞)
上是增函数.
(3)正确，由于函数f(x)为R上的减函数，-3 <3，故
f(－3)>f(3).
答案：(1)× (2)× (3)√【知识点拨】
1.增函数、减函数定义的理解
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同区间内可以有不同的单调性，即单调性是函数的一个“局部”性质.(2)定义中的x1，x2有以下三个特征：
①任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
②有大小；
③属于同一个单调区间.
(3)单调性可使自变量取值的不等关系与函数值的不等关系相互转化.2.从三方面正确理解单调函数
(1)有些函数在定义域上是单调的，如函数y=x. 有些却只在
定义域内的子区间上单调，如y=x2在(-∞,0)上为减函数,在
［0, +∞)上为增函数.还有不单调的函数，如y=3.
(2)函数在定义域的某几个子区间上都具有相同的单调性，也
不一定在定义域上是单调的.如f(x)= 有两个减区间(-∞,0)
和(0, +∞)，但在定义域上不是单调的.(3)注意定义域是否含有端点值.例如，y=x2的减区间为(-∞,0)
也可以写成(-∞,0］,但f(x)= 的减区间只能写成(-∞,0)和(0,+∞).3.增减函数与图象升降的关系
若函数f(x)在区间D上是增函数，则f(x)的图象在D上是上升的；若函数f(x)在区间D上是减函数，则f(x)的图象在D上是下降的，反之亦然.类型 一 函数单调性的判定或证明
【典型例题】
1.f(x)=-2x-1在(-∞,+∞)上是_____(填“增函数”或“减函数”).
2.证明函数f(x)=x+ 在(0,1］上是减函数.【解题探究】1.判断一个函数在某一区间上是单调函数的依据是什么？
2.利用定义证明一个函数在某一区间上是单调函数的关键步骤是什么？探究提示：
1.判断一个函数在某一区间上是增函数还是减函数，可利用增函数与减函数的定义，除了利用定义判断外，还可以通过图象来判断.
2.由提示1可知利用定义来证明.关键的步骤是作差后的变形及符号的判定，同时它们也是证明时容易出错的关键位置.【解析】1.方法一：设x1,x2为(-∞,+∞)上的任意两个实数且x1∵x1-x2<0,∴-2(x1-x2)>0，即f(x1)>f(x2),所以函数
f(x)=-2x-1在(-∞,+∞)上是减函数.方法二：函数的图象如图所示：
由图象可知f(x)=-2x-1在(-∞,+∞)上是减函数.
答案：减函数2.任取x1,x2∈(0,1］且x1∵x1,x2∈(0,1］，∴0＜x1x2<1,又x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)=x+ 在(0,1］上是减函数.【拓展提升】
1.判断函数单调性常用的方法
(1)定义法：一般按照取值、作差变形、判断符号、得出结论这样的顺序进行.
(2)图象法：作出函数图象，由图象上升或下降判断出单调性.2.定义法判断或证明函数单调性的四个步骤【变式训练】证明函数f(x)=x2+2在(－∞,0)上是减函数.
【解析】设x1,x2为(－∞,0)上的任意两个实数且x1f(x1)-f(x2)= +2-( +2)
=(x1-x2)(x1+x2).
∵x1∴(x1-x2)(x1+x2)>0，
即f(x1)-f(x2)>0，
∴f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=x2+2在(－∞,0)上是减函数.类型 二 求函数的单调区间
【典型例题】
1.f(x)=－2x2+4x－3的增区间为______.
2.f(x)= 的减区间为______.
3.作出函数 的图象，并指出其单调区间.【解题探究】1.求解析式确定的二次函数的单调区间应把握的关键点是什么？
2.求函数解析式确定的单调区间应本着什么优先的原则？
3.求函数单调区间时，对于函数解析式中含有绝对值号的应如何处理？探究提示：
1.应明确二次函数图象的开口方向和对称轴.
2.应本着定义域优先的原则，首先确定好该函数的定义域，在函数的定义域内讨论该函数的单调区间.
3.对于函数解析式中含有绝对值号的应首先根据自变量的取值范围，去掉绝对值号，化为分段函数.【解析】1.f(x)=－2x2+4x－3开口向下，对称轴为x=1，故其增区间为(－∞,1).
答案：(－∞,1)2.f(x)= 的定义域为(－∞,－1)∪(－1,+∞)，任取x1,x2∈(－∞,－1)且x1所以f(x1)>f(x2)，(－∞,－1)为f(x)= 的减区间，同理可
得(-1,+∞)也为f(x)= 的减区间 .
答案：(－∞,－1),(-1,+∞)3.原函数可化为
其图象为
由图象知，函数的增区间为［3,+∞)，减区间为(－∞,－3］.【互动探究】对于题3，若函数改为“f(x)=|x-3|+|x+4|”，又如何确定该函数的单调区间？
【解题指南】根据自变量的取值范围，去掉绝对值号，化为分段函数.【解析】原函数可化为
其图象为：
由图象知，函数的增区间为［3,+∞),减区间为(-∞,-4］.【拓展提升】求函数单调区间的两个方法及三个关注点
(1)两个方法:
方法一:定义法,即先求定义域,再用定义法进行判断求解.
方法二:图象法,即先画出图象,根据函数图象求单调区间.
(2)三个关注点:
关注一：求函数的单调区间时,要先求函数的定义域.
关注二：对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间作为常识性的知识,可以直接使用.关注三：函数图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.类型 三 函数单调性的应用
【典型例题】
1.如果函数f(x)在［a,b］上是增函数，那么对于任意的x1，
x2∈［a,b］(x1≠x2)，下列结论中不正确的是( )
A.
B.(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］>0
C.若x1＜x2,则f(a)D.2.函数f(x)=x2－2mx－3在区间［1,2］上单调，则m的取值范围是______.
3.已知f(x)是定义在区间［－1,1］上的增函数，且
f(x－2)2.二次函数在某区间内单调，取决于哪个关键量？
3.若一个函数在某区间上是增函数，且f(x1)1.由增函数的定义知，若x12.二次函数的对称轴在区间内的位置影响函数的单调性.
3.由增函数的定义知，首先x1,x2应在所给定的区间上，其次两者的大小关系是x12.二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f(x)=x2－2mx－3的对称轴为x=m，函数在区间［1,2］上单调，则m≤1或m≥2.
答案：m≤1或m≥23.由题意，得 解得1≤x< 故满足条件的x的取
值范围是1≤x<【拓展提升】函数单调性应用的关注点
(1)函数单调性的定义具有“双向性”：利用函数单调性的定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确定函数中参数的范围.
(2)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.例如，若函数f(x)的解析式是未知的，欲求x的取值范围，我们可以根据函数单调性的定义(也就是函数单调性的性质)，将符号“f”脱掉，只要注意到函数的定义域，即可列出关于x的不等式(组).(3)若一个函数在区间［a,b］上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.【变式训练】已知函数y=ax和y= 在区间(0,+∞)上都是减
函数，则函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数？
【解析】函数y=ax和y= 在区间(0,+∞)上都是减函数，则
a<0且b<0，于是y=ax2+bx的对称轴x= <0且开口向下，所
以y=ax2+bx在区间(0,+∞)上是减函数. 复合函数的单调性
1.已知函数y=f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(x)<0(x>0)，
则F(x)= 在(0,+∞)上为______(填“增函数”或
“减函数”).
2.已知函数f(x)与g(x)是R上的增函数，求证：f(g(x))在R上
是增函数.【解析】1.任取x1,x2∈(0,+∞)且x1上为增函数，所以f(x1)0)，所以
即F(x1)>F(x2)，故F(x)= 在(0,+∞)上为减函
数.
答案：减函数
2.任取x1,x2∈R，且x1∵g(x)是R上的增函数，∴g(x1)又∵f(x)是R上的增函数，
∴f(g(x1))1.复合函数单调性的判断方法
复合函数单调性的判断方法是对复合函数进行分解,分解为几个简单函数,由简单函数的单调性进而得到复合函数的单调性,本着“同增异减”的原则进行判断，这就相当于把复杂问题分解转化为简单问题来解决.2.单调函数的运算性质
(1)f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.
(2)当c>0时，cf(x)与f(x)有相同的单调性；
当c<0时，cf(x)与f(x)有相反的单调性.
(3)若f(x)≠0，则函数f(x)与 具有相反的单调性.
(4)若f(x)≥0，则函数f(x)与 具有相同的单调性.
(5)若函数f(x)与g(x)的单调性相同，则f(x)+g(x)的单调性
不变. 【易错误区】忽视分段函数分段点处的单调性致误
【典例】(2013·北京高一检测)若函数
是(-∞,+∞)上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A.(-2,0) B.［-2,0)
C.(-∞,1］ D.(-∞,0)【解析】选B.由x≥1时，
f(x)=－x2+2ax－2a是减函数，
得a≤1，
由x<1时，函数f(x)=ax+1是减函数，
得a<0，
分段点1处的值应满足－12+2a×1－2a≤1×a+1①，
解得a≥-2，
∴-2≤a<0.【类题试解】已知函数 是(－∞，+∞)上的
减函数，则实数a的取值范围是( )
A.［0, ］ B.(0, )
C.(0, ］ D.［0, )
【解析】选A.当x<0时，函数f(x)=x2－ax+1是减函数，解得
a≥0，
当x≥0时，函数f(x)=－x+3a是减函数，
分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤ ∴0≤a≤【误区警示】【防范措施】
1.函数图象的应用
在函数的单调性这一部分，尤其出现二次函数和分段函数来求参数的取值范围时，都先要画出函数图象，从而避免在求参数的取值范围时出错，如本例在两段中都可借助草图列出关系式，进而求出a的范围.2.特殊情况的处理
在应用分段函数整体的单调性求解参数的取值范围时，不仅要保证分段函数的每一段的函数是单调的，而且还要求函数的特殊点——分段点处的值，也要结合函数的单调性比较大小,如本例中的分段点1，即需要在此处满足题意列出关系式，求出a的限制条件.1.已知函数f(x)=－x2,则( )
A.f(x)在(－∞,0)上是减函数
B.f(x)是减函数
C.f(x)是增函数
D.f(x)在(－∞,0)上是增函数
【解析】选D. f(x)的图象开口向下，对称轴为x=0，所以f(x)在(－∞,0)上是增函数.2.函数y= 的减区间是( )
A.［0,+∞) B.(－∞,0］
C.(－∞,0),(0,+∞) D.(－∞,0)∪(0,+∞)
【解析】选C.函数y= 的定义域为(－∞,0)∪(0,+∞)，但是
其在定义域上不单调，它有两个单调减区间，应该写为
(－∞,0),(0,+∞).3.下列函数f(x)中，满足对任意x1,x2∈(0,+∞)，当x1都有f(x1)>f(x2)的是( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=
C. f(x)=|x| D.f(x)=2x+1
【解析】选B.f(x)= 在(0,+∞)上为减函数，符合题意.4.若f(x)是R上的减函数，且f(x1)＜f(x2)，则x1与x2的大小关系是______.
【解析】因为f(x)是R上的减函数，所以f(x1)＜f(x2)时，
x1＞x2.
答案:x1＞x25.若函数f(x)=4x2－mx+5在区间［－2,+∞)上是增函数，则m
的取值范围是______.
【解析】由题意，函数f(x)=4x2－mx+5的对称轴x= ≤－2，
所以m≤－16.
答案：m≤－166.试判断函数f(x)= -2在(0,+∞)的单调性.
【解析】函数f(x)= -2在(0,+∞)上是减函数.设x1,x2是
(0,+∞)上的两个任意实数，且x1＜x2,则
因为0＜x1＜x2,所以x2-x1＞0,x1x2＞0,
所以f(x1)-f(x2)= ＞0,
即f(x1)＞f(x2),
所以f(x)= -2在(0,+∞)上是减函数.课件52张PPT。第2课时 函数的最大值、最小值函数的最大值和最小值
1.最大值
对于定义域为I的函数f(x)，条件：f(x)≤Mf(x0)=M结论：M是定义域为I的函数f(x)的最大值.
几何意义：函数y=f(x)图象上最___点的_______.
思考：函数f(x)=-x2≤1总成立吗？f(x)的最大值是1吗?
提示:f(x)=-x2≤1总成立，但是不存在x0使f(x0)=1，所以
f(x)的最大值不是1，而是0. 高纵坐标2.最小值
对于定义域为I的函数f(x)，条件：
结论：M是函数f(x)在I上的最小值.
几何意义：函数y=f(x)图象上最___点的_______.f(x)≥Mf(x0)=M低纵坐标判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)=x的最小值是-∞.( )
(2)函数f(x)=-x2在［1,3］上的最小值是-1.( )
(3)函数f(x)=2x在区间［－1,3)上的最小值是-2，无最大值.( )提示：(1)错误. 函数f(x)=x在(－∞,+∞)上无最大值和最小值.
(2)错误. 当x=3时函数f(x)=-x2在［1,3］上取得最小值-9.
(3)正确.由于函数f(x)=2x在区间［－1,3)上是增函数，故当x=-1时函数取得最小值-2，函数无最大值.
答案：(1)× (2)× (3)√【知识点拨】
1.最大值、最小值定义的理解
(1)最大(小)值定义中具备的两个条件
①对于定义域内全部元素,都有f(x)≤M (f(x)≥M)成立;
②M首先是一个函数值,它是值域的一个元素,如f(x)=-x2的最大值是0,有f(0)=0,注意定义中“存在”一词的理解.
(2)两条件缺一不可,若只有前者, M不是最大(小)值,如f(x)=-x2≤1总成立,但1不是最大值,更不能只有后者,那样就丢掉了最大值的核心了.2.求最大值、最小值时的三个关注点
(1)利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐标.
(2)单调性法求最值勿忘求定义域.
(3)单调性法求最值,尤其是闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定要注意.3.辨析函数的最值和值域
(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的是整个定义域.
(2)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在.
(3)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素.例如，函数f(x)=-x2对任意的x∈R，都有f(x)≤1,但是f(x)的最大值不是1，因为1不在f(x)的值域内. 类型 一 图象法求函数最值(值域)
【典型例题】
1.函数y=f(x)，x∈［－4,7］的图象如图，则其最大值、最小值为( )
A.3，2 B.3，-2
C.3，0 D.2，-2
2.写出函数f(x)=|x+1|+|2－x|，x∈(－∞,3］的单调区间和最值.【解题探究】1.利用图象法求函数的最值时应写最高(低)点的纵坐标,还是横坐标？
2.题2中求函数的单调区间与最值时应按照怎样的思路求解？
探究提示：
1.利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐标.
2.应先作图象，找出单调区间，最后确定最值.【解析】1.选B.观察图象知，图象的最高点(3，3)，最低点
(-1.5，-2)，所以其最大值、最小值分别为3，-2.
2. 其图象如下：
由图象得单调递减区间为(-∞,-1］，单调递增区间为［2,3］,
有最小值3，无最大值.【互动探究】把题2中的问题改为求f(x)≥5的x的取值范围.
【解析】结合题2图象，令g(x)=5,则x的范围为x≤-2或x=3.【拓展提升】利用图象法求函数最值
(1)利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法,对图象易作出的函数常用.
(2)图象法求最值的一般步骤:类型 二 单调性法求函数的最值(值域)
【典型例题】
1.已知函数f(x)=x2+2x+a(x∈［0,2］)有最小值-2，则f(x)
的最大值为( )
A.4 B.6 C.1 D.2
2.函数f(x)= (x>0).
(1)求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(2)若函数f(x)的定义域与值域都是［ 2］，求a的值.【解题探究】1.二次函数在闭区间内求最值的关键是什么?
2.题2(1)证明f(x)的单调性的一般步骤是什么？它对解决(2)是否有作用？
探究提示：
1.求二次函数f(x)在某区间［m,n］上的最值的关键是判断函数在［m,n］内的单调性.
2.证明f(x)单调性的步骤为取值→作差变形→定号→判断(结论)，可以利用其单调性解决(2)中的值域问题，进而求出a的值.【解析】1.选B.f(x)=x2+2x+a(x∈［0,2］)为增函数，所以
最小值为f(0)=a=－2，最大值为f(2)=8+a=6.2.(1)任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1则
∴f(x1)即f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(2)由(1)知，f(x)在(0,+∞)上是增函数，所以若函数f(x)的定
义域与值域都是［ 2］，则 即
解得a=【拓展提升】
1.利用单调性求最值的一般步骤
(1)判断函数的单调性.(2)利用单调性写出最值.
2.利用单调性求最值的三个常用结论
(1)如果函数f(x)在区间［a,b］上是增(减)函数,则f(x)在区间［a,b］的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值.
(2)如果函数f(x)在区间(a,b］上是增函数,在区间［b,c)上是减函数,则函数f(x)在区间(a,c)上有最大值f(b).(3)如果函数f(x)在区间(a,b］上是减函数,在区间［b,c)上是增函数,则函数f(x)在区间(a,c)上有最小值f(b).【变式训练】已知函数f(x)= x∈［2,5］，求其最大
值与最小值.
【解析】任意取x1，x2∈［2,5］且x1∵x1，x2∈［2,5］且x10，所以
f(x)= x∈［2,5］是减函数，f(5)≤f(x)≤f(2)，故
f(x)的最大值为f(2)=2，最小值为f(5)=类型 三 函数最值的应用
【典型例题】
1.绿园商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为______元/瓶.2.一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面 m，铅球落地点距
刚出手时相应地面上的点10m，铅球运动中最高点离地面3m，
如图：
已知铅球走过的路线是抛物线，求该抛物线表示的函数的解
析式.【解题探究】1.解实际应用问题时需要考虑定义域吗？
2.二次函数解析式有哪几种设法？探究提示：
1.需要考虑定义域,因为解应用题,就是确定函数,求函数最值的问题,应时刻牢记函数的定义域,不仅使函数式有意义，而且还要与实际问题相符合.
2.(1)一般式: y=ax2+bx+c(a≠0 ).
已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式,然后列出三元一次方程组求解.
(2)顶点式: y=a(x-h)2+k(a≠0).已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程时,通常设函数解析式为顶点式.(3)两根式: y=a(x－x1)(x－x2)( a≠0).已知二次函数与x轴的两个交点或已知与二次函数对应的一元二次方程的两个实根时,经常采用两根式.【解析】1.设销售价每瓶定为x元，利润为y元，
则y=(x－3)(400+ ×40)=80(x－3)(9－x)=
-80(x-6)2+720(x≥3)，所以x=6时，y取最大值.
答案：6
2.由题意，抛物线的最大值为3，故设抛物线方程为
y=a(x－h)2+3(a<0)，又其过点(0, )，(10,0)，所以
解得 抛物线方程为
y= (x－4)2+3，x∈［0,10］.【拓展提升】解实际应用题的四个步骤
(1)审题:解读实际问题,找出已知条件、未知条件,确定自变量和因变量的条件关系.
(2)建模:建立数学模型,列出函数关系式.
(3)求解:分析函数性质,利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).
(4)回归:数学问题回归实际问题,写出答案.【变式训练】快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如图，
各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45千米/时和15千米/时，已知AC＝150千米，在快艇到达C地之前，经过多少时间，快艇和轮船之间的距离最短？【解析】设经过x小时后快艇和轮船之间的距离最短，距离设
为y，
由150÷45= 知定义域为{x|0可求得当x=3时，y有最小值．
故经过3小时，快艇与轮船之间的距离最短. 二次函数在区间上的最值
【典型例题】
1.已知函数f(x)=x2-2ax+2，x∈［-1,1］，求函数f(x)的最小值.
2.设函数f(x)=x2-2x+2,x∈［t,t+1］,t∈R，求函数f(x)的最小值.【解析】1.f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象开口向上，且对称轴为直线x=a.当a≥1时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间［-1，1］上是减函数，最小值为f(1)=3-2a;
当-1当a≤-1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间［-1，1］上是增函数，最小值为f(-1)=3+2a.2.f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈［t,t+1］,t∈R，对称轴为直线x=1.当t+1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间［t,t+1］上为减函数，所以最小值为f(t+1)=t2+1;
当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值为f(1)=1;
当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间［t,t+1］上为增函数，所以最小值为f(t)=t2-2t+2.【拓展提升】求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间［m,n］上
的最值的类型
(1)若对称轴x= 在区间［m,n］内，则最小值为f( )，最大
值为f(m),f(n)中较大者(或区间端点m,n中与x= 距离较远的
一个对应的函数值为最大值).
(2)若对称轴x= 值为f(n),最小值为f(m).
(3)若对称轴x= >n,则f(x)在区间［m,n］上是减函数，最大
值为f(m),最小值为f(n). 【规范解答】利用函数的单调性求最值问题
【规范解答】
设x1,x2为［1,2］上的任意两个实数,且x1
…………………… 5分
∵x1,x2∈［1,2］,且x1∴x1-x2<0.x1x2∈(1,4)，∴x1x2-9<0②, …………………… 8分
∴f(x1)-f(x2)>0, f(x1)>f(x2)，
∴函数f(x)=x+ 在［1,2］上为减函数. …………… 10分
所以当x=1时取最大值，
最大值f(1)=10,
当x=2时取最小值，
最小值f(2)=
从而函数的最大值是f(1)=10,最小值是f(2)= ③.…… 12分【失分警示】【防范措施】
1.对单调性定义的把握
在函数的定义域中任给x1
f(x2)的关系，从而得出是增函数还是减函数.如本例中f(x1)-
f(x2)>0,得出f(x1)>f(x2),从而判定为减函数.
2.单调性与最值的关系
利用函数的单调性可以求出函数的最值，这是求最值常用的方
法之一，在求函数的最值时要时刻牢记.如本例中证明f(x)在
［1,2］上为减函数后，可直接求出其对应的最大值与最小值.【类题试解】已知函数f(x)=-x2+6x+9在区间［a,b］(a有最大值9，最小值-7，求实数a,b的值.
【解析】f(x)=-x2+6x+9=-(x-3)2+18,
则f(x)在(-∞,3)上为增函数,
因为a当x=b时，函数取得最大值ymax=9,
即 解得：a=8或-2;b=0或6.故a=-2,b=0.1.函数f(x)=2x－x2的最大值是( )
A.－1 B.0 C.1 D.2
【解析】选C.函数f(x)=2x－x2开口向下，对称轴为x=1，当x=1时，取得最大值1.2.函数y=2x2+1,x∈N*的最值情况是( )
A.无最大值，最小值是1 B.无最大值，最小值是3
C.无最大值，也无最小值 D.不能确定最大、最小值
【解析】选B.∵x∈N*，且函数在(0，+∞)上单调递增，故函数在x=1时有最小值3，无最大值.3.函数f(x)=2+bx在［-2,2］上的最大值与最小值的差为4，则b的值是( )
A.1 B.-1 C.1或-1 D.0
【解析】选C.由题意知b≠0,当b＞0时，f(x)max=2+2b,
f(x)min=2-2b,
∴2+2b-(2-2b)=2+2b-2+2b=4b,
∴4b=4,∴b=1.
当b＜0时，f(x)max=2-2b,f(x)min=2+2b,
∴2-2b-(2+2b)=-4b,∴-4b=4,∴b=-1,由以上可知b=1或-1.4.函数y=－x2+1,x∈［－1,2］的最大值为______，最小值为______.
【解析】y=－x2+1在［－1,0］上单调递增，在［0,2］上单调递减，又f(－1)=0，f(0)=1，f(2)=－3，故函数的最大值为1，最小值为-3.
答案：1 -35.函数f(x)= 在［3,5］上的最大值为 则a=______.
【解析】由题意知，a>0时，f(x)= 在［3,5］上的函数值
为正，a=0时，f(x)=0无最值，所以a<0，f(x)= 在［3,5］
上为单调递增函数，f(5)= a=－2.
答案：-26.已知函数f(x)=x+ +2,其中x∈［1,+∞).(1)试判断它的
单调性.(2)试求它的最小值．【解析】(1)函数f(x)=x+ +2,设1≤x1∵1≤x11,
∴2x1x2-1>0,∴f(x1)-f(x2)<0.
即f(x1)(2)从而当x=1时, f(x)有最小值课件43张PPT。1.3.2 奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念一、偶函数、奇函数的定义
1.偶函数：x∈Af(-x)=f(x)2.奇函数：
思考：对于定义在R上的函数f(x),若f(－3)=f(3),则函数f(x)一定是偶函数吗?
提示：不一定,仅有f(－3)=f(3)不足以确定函数的奇偶性,不满足定义中的“任意”,故不一定是偶函数. x∈Af(-x)=-f(x)二、偶函数、奇函数图象的特征
1.偶函数图象的特征：关于__轴对称;
2.奇函数图象的特征：关于_____对称.y原点判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)=x2的图象关于y轴对称.( )
(2)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0.( )
(3)如果一个函数的图象关于原点对称，则有f(x)-f(－x)=0.
( )提示：(1)正确.因为函数f(x)=x2是偶函数，故图象关于y轴对称.
(2)正确.∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)=-f(x)，即f(－0)=f(0)=-f(0),所以f(0)=0.
(3)错误.因为函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数，故f(－x)=-f(x)，则有f(x)+f(－x)=0.
答案：(1)√ (2)√ (3)×【知识点拨】
1.函数的奇偶性与单调性的区别
(1)奇偶性是反映函数在定义域上的对称性,是相对于函数的整个定义域来说的,奇偶性是函数的“整体”性质.
(2)单调性是反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势,此区间是定义域的子集,因此单调性是函数的“局部”性质.
2.奇函数、偶函数在x=0处的定义
若奇函数f(x)在原点处有意义，则由奇函数定义
f(－0)=－f(0)，可得f(0)=0，偶函数则不一定.3.奇函数、偶函数的图象特征
(1)
(2)由奇、偶函数的图象特征可知：偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同.类型 一 判定函数的奇偶性
【典型例题】
1.设定义在R上的函数f(x)= 则f(x)( )
A.是奇函数，又是增函数 B.是偶函数，又是增函数
C.是奇函数，又是减函数 D.是偶函数，但不是减函数2.判断下列函数的奇偶性
(1)y=x3+
(2)y=
(3)y=x4+x.
(4)【解题探究】1.函数的定义域应具备怎样的特点，才讨论函数的奇偶性？
2.判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？
探究提示：
1.函数的定义域必须关于原点对称.
2.把握好两个关键点，一是看定义域是否关于原点对称，二看f(x)与f(－x)的关系.【解析】1.选D.定义域关于原点对称，且f(－x)=|－x|=
|x|=f(x)，所以是偶函数，但是它既有减区间也有增区间，
故不是减函数.2.(1)定义域(－∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称，且f(－x)=
－f(x)，奇函数.
(2)定义域为{ }，不关于原点对称，该函数不具有奇偶性.
(3)定义域为R，关于原点对称，但f(－x)=x4－x≠x4+x，
f(－x)=x4－x≠－(x4+x)，故其不具有奇偶性.
(4)方法一：定义域为R，关于原点对称，当x>0时，
f(－x)=－(－x)2－2=－(x2+2)=－f(x)；
当x<0时，f(－x)=(－x)2+2=－(－x2－2)=－f(x)；
当x=0时，f(0)=0；故该函数为奇函数.方法二：画出函数图象如下:
由图象关于原点对称知为奇函数.【拓展提升】
1.判断函数奇偶性的两个方法
方法一,定义法:利用函数奇偶性的定义判断.
方法二,图象法:利用奇、偶函数图象的对称性来判断.
2.定义法判断函数奇偶性的步骤
(1)首先看定义域是否关于原点对称.
(2)判定f(x)与f(－x)的关系.
(3)利用定义下结论.【变式训练】函数y=x|x|+px，x∈R是( )
A.偶函数 B.奇函数
C.非奇非偶函数 D.与p有关
【解析】选B.由题意定义域关于原点对称，
f(－x)=－x|－x|+p(－x)=－x|x|－px=－f(x)，所以是奇函数.类型 二 利用奇函数、偶函数图象的对称性解题
【典型例题】
1.已知函数y=f(x)是偶函数，其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是( )
A.0 B.1 C.2 D.4
2.如果奇函数f(x)在区间［－5,－3］上是增函数，且最大值为-4，那么f(x)在区间［3,5］上是( )
A.增函数且最大值为4 B.增函数且最小值为4
C.减函数且最大值为4 D.减函数且最小值为4【解题探究】1.奇函数、偶函数的图象各具有怎样的特征？
2.奇函数在对称区间内的单调性和最值有什么关系？
探究提示：
1.(1)函数是奇函数?函数的图象是以坐标原点为对称中心的
对称图形,即图象关于原点对称.
(2)函数是偶函数?函数的图象是以y轴为对称轴的对称图
形，即图象关于y轴对称.
2.奇函数在对称区间内具有相同的单调性，且最值互为相反数.【解析】1.选A.偶函数的图象关于y轴对称，f(x)图象与x轴的4个交点也关于y轴对称，所以f(x)=0的4个根的和为0.
2.选B.作一个符合条件的图象，如下：
由图象知，f(x)在区间［3,5］上是增函数且最小值为4.【拓展提升】奇、偶函数图象对称性的两大应用
应用一:巧作函数图象
①奇函数图象关于原点对称;偶函数图象关于y轴对称.
②根据以上奇、偶函数图象对称性的特点可以解决已知奇偶函数在某区间的部分图象,画出其关于原点或y 轴对称的另一部分的图象问题.应用二:求函数最值、单调性问题
函数的奇偶性反映到图象上是图象的对称性,可以利用图象解决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题,也可以解决关于原点对称的区间上的函数的单调性问题,同时可以简化解题过程.【变式训练】已知y=f(x+1)是偶函数，则函数y=f(x)的图象的对称轴是( )
A.x=1 B.x=－1
C.x=－2 D.y轴
【解析】选A.y=f(x+1)是偶函数，其图象关于y轴对称，而y=f(x+1)的图象是由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到的，所以y=f(x)的图象关于x=1对称.类型 三 利用函数的奇偶性求参数值
【典型例题】
1.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为［a-1,2a］,
则a=______，b=______.
2.已知函数 (a,b,c∈Z)是奇函数，又f(1)=2，f(2)<3．求a,b,c的值.【解题探究】1.二次函数y=ax2+bx+c为偶函数的条件是什么？
2.一次函数y=ax+b为奇函数的条件是什么?
探究提示：
1.若二次函数y=ax2+bx+c为偶函数,图象关于y轴对称,则b=0, a≠0, c∈R.
2.若一次函数y=ax+b为奇函数，图象过原点，则a≠0, b=0.【解析】1.因为定义域为［a-1,2a］关于原点对称，
所以a-1+2a=0，所以a=
又因为f(-x)=f(x)，
所以 x2-bx+1+b= x2+bx+1+b,
由对应项系数相等得，-b=b，所以b=0.
答案: 02.∵函数 (a,b,c∈Z)是奇函数，
∴f(－x)=－f(x)，即
－bx+c=－bx－c，∴c＝0．∴f(x)＝
又f(1)=2，故 ＝2．
而f(2)<3，即 即
∴－1又由于a∈Z，∴a＝0或a＝1．
当a＝0时，b＝ (舍)；当a＝1时，b＝1．
综上可知，a＝b＝1，c＝0.【互动探究】若将题2中奇函数改为偶函数，f(2)<3改为
f(2)<6，求a,b,c的值.
【解析】∵函数 (a,b,c∈Z)是偶函数，
∴f(－x)=f(x)，故 即－bx+c=bx+c，故b=0，f(x)= 又f(1)=2，∴ =2，c= 代入f(2)<6得，
解得－1又由于a∈Z，∴a＝0或a＝1．
当a＝0时，c＝ (舍)；当a＝1时，c＝1．
综上可知，a＝c＝1，b＝0．【拓展提升】利用函数奇偶性求参数值的常见类型及求解策略
(1)定义域含参:奇(偶)函数f(x)的定义域为［a,b］,
根据定义域关于原点对称,可以利用a+b=0求参数.
(2)解析式含参:根据f(－x)=－f(x)或f(－x)=f(x)列式,比较系数可解.【易错误区】函数奇偶性判断中的误区
【典例】以下说法中：(1)函数f(x)=x3+ 是奇函数.(2)函数f(x)=3x2，x∈(－2,2］ 是偶函数.(3)函数f(x)=|x－5|是偶函数.(4)函数f(x)=0，x∈［－2,2］既是奇函数，又是偶函数.正
确的序号是______.【解析】对于(1)，函数f(x)=x3+ 的定义域为(－∞,0)∪
(0,+∞),且能满足f(－x)=－f(x),所以是奇函数，故(1)正确.
对于(2)，函数f(x)=3x2，x∈(－2,2］的定义域不关于原点对
称①，故该函数是非奇非偶函数，故(2)错误.
对于(3)，函数f(x)=|x－5|是由f(x)=|x|的图象向右平移了五个单位得到的，图象不关于y轴对称，所以(3)错误.
对于(4)，函数f(x)=0，x∈［－2,2］图象既关于原点对称又关于y轴对称,所以(4)正确.
答案：(1)(4)【类题试解】函数f(x)=|x－2|－|x+2|是______函数(填“奇”或“偶”).
【解析】函数f(x)=|x－2|－|x+2|的定义域为实数集R，关于原点对称.因为f(-x)=|－x－2|－|－x+2|=|x+2|－|x－2|
=－(|x－2|－|x+2|)=－f(x)，
所以函数f(x)=|x－2|－|x+2|是奇函数.
答案：奇【误区警示】【防范措施】
1.定义域优先的原则
由奇偶函数的定义，“对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x)或f(－x)=f(x)”,不难得到，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称.因此，判断函数的奇偶性，必先判定函数的定义域是否关于原点对称.2.注意图象的变换
一些常用的图象平移、变换要牢记，如本例中函数
f(x)=|x－5|，就是要根据 y=|x|的图象特征来平移得到，因为函数y=|x|的图象关于y轴对称，而向右平移5个单位后图象就不再关于y轴对称，故可得结论.1.对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有( )
A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)≤0
C.f(x)·f(-x)≤0 D.f(x)·f(-x)>0
【解析】选C.奇函数满足f(－x)=－f(x)，
所以f(－x)·f(x)≤0.2.y=f(x)(x∈R)是奇函数，则它的图象经过点( )
A.(－a,－f(－a)) B.(-a,f(a))
C.(a,f( )) D.(－a,－f(a))
【解析】选D.y=f(x)(x∈R)是奇函数，则它的图象经过
(－a,f(－a))，又f(－a)=－f(a)，所以函数图象过
(－a,－f(a)).3.设函数f(x)(x∈R)为奇函数，x>0时，f(x)=－x，则f(－1)
等于( )
A.0 B.1 C. D.5
【解析】选B.f(－1)=－f(1)=－(－1)=1.4.偶函数f(x)的定义域为［t－4,t］，则t=______.
【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以
(t－4)+t=0，即t=2.
答案：25.函数 为______(填“奇函数”或
“偶函数”).
【解析】定义域关于原点对称，且
所以是奇函数.
答案：奇函数6.已知函数f(x)=x2+4x+3,若g(x)=f(x)+cx为偶函数,求c.
【解析】由已知得g(x)=f(x)+cx=x2+(4+c)x+3，
所以g(-x)=(-x)2+(4+c)(-x)+3=x2-(4+c)x+3.
因为g(x)是偶函数,所以g(-x)=g(x)，
所以2(4+c)x=0.因为x是任意实数,所以4+c=0得c=-4.课件35张PPT。第2课时 函数奇偶性的应用类型 一 根据函数的奇偶性求函数解析式
【典型例题】
1.f(x)为R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，f(x)=x(x-1)，
则当x∈(0,+∞)时，f(x)=______.
2.已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)＋g(x)＝
求f(x)，g(x).【解题探究】1.对于题1，应如何设自变量x？
2.题2中，如何应用“f(x)为偶函数，g(x)为奇函数”这一条件？
探究提示：
1.应“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内.
2.应用函数奇偶性，需出现f(-x)，g(-x)，故用-x代替原式中的x，列出方程组，解关于f(x)与g(x)的方程组.【解析】1.当x∈(0,+∞)时，-x∈(-∞,0)，
f(-x)=-x(-x-1).又f(x)为R上的奇函数，
所以x∈(0,+∞)时，-f(x)=-x(-x-1)，
即f(x)=-x(x+1).
答案：-x(x+1)2.由f(x)＋g(x)＝ ①
把x换成-x，得f(-x)＋g(-x)＝
∵f(x)为偶函数，∴f(-x)＝f(x).
又∵g(x)为奇函数，∴g(-x)＝-g(x)，
∴f(x)－g(x)＝ ②
由①②得【拓展提升】
根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内.
(2)转化代入已知区间的解析式.
(3)利用函数f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x)，从而解出f(x).【变式训练】函数y=f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数，当x≥0时
f(x)=x2-2x-3，求函数y=f(x)的解析式.
【解题指南】设x＜0，则-x＞0，利用偶函数的定义，
f(-x)=f(x)进行转化.
【解析】令x＜0，则-x＞0,
故f(-x)=(-x)2-2(-x)-3=x2+2x-3.
又f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，
故f(x)=x2+2x-3，
∴类型 二 函数的奇偶性和单调性的综合应用
【典型例题】
1.若f(x)是R上的偶函数，且在［0，+∞)上是增函数，则下列各式成立的是( )
A.f(-2)＞f(0)＞f(1) B.f(-2)＞f(1)＞f(0)
C.f(1)＞f(0)＞f(-2) D.f(0)＞f(-2)＞f(1)
2.设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞，0)上递增，且f(2a2+a+1)＜f(2a2-2a+3)，求a的取值范围.【解题探究】1.题1中如何将f(-2)转化为自变量在［0，+∞)上与之相等的函数值？
2.偶函数在两个对称区间上的单调性有什么关系？解决题2的关键点是什么？探究提示：
1.利用函数的奇偶性，因为f(x)在R上是偶函数，所以
f(-2)=f(2).
2.偶函数在两个对称区间上的单调性相反，即若一个区间是增函数，则相应对称区间上为减函数.解决本题的关键是去掉“f”，转化为具体不等式求解.【解析】1.选B.f(x)是R上的偶函数，所以f(-2)=f(2).又f(x)
在［0，+∞)上是增函数，故f(0)＜f(1)＜f(2)，即
f(-2)＞f(1)＞f(0).
2.由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)
在(0，＋∞)上递减.
∵2a2+a+1=2(a+ )2+ ＞0，2a2-2a+3=2(a- )2+ ＞0，
且f(2a2+a+1)＜f(2a2-2a+3)，
∴2a2+a+1＞2a2-2a+3，
即3a-2＞0，解得a＞【互动探究】若题2中“偶函数”改为“奇函数”，则结果如何？
【解析】若f(x)为R上的奇函数，在区间(-∞，0)上递增，则
f(x)在(0，+∞)上递增，
又∵f(2a2+a+1)＜f(2a2-2a+3)，
∴2a2+a+1＜2a2-2a+3，
即3a-2＜0，解得a＜【拓展提升】
1.函数奇偶性和单调性的关系
(1)若f(x)是奇函数,且f(x)在［a,b］上是单调函数,则f(x)在［-b,-a］上也为单调函数,且具有相同的单调性.
(2)若f(x)是偶函数,且f(x)在［a,b］上是单调函数,则f(x)在［-b,-a］上也为单调函数,且具有相反的单调性.2.利用单调性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解.
(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可,同时要注意函数自身定义域对参数的影响. 【变式训练】若偶函数f(x)在区间［3，7］上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间［-7，-3］上是( )
A.增函数且最小值是5
B.增函数且最大值是5
C.减函数且最大值是5
D.减函数且最小值是5
【解析】选C.偶函数图象关于y轴对称，f(x)在区间［3，7］上是增函数，则在区间［-7，-3］上是减函数，且最大值为5.【规范解答】函数奇偶性与单调性的综合应用【典例】 【条件分析】【规范解答】(1)令x1=x2=1①得
f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0. ……………………… 3分
(2)令x1=x2=－1①,
则f(-1)=0， ……………………… 4分
令x1=－1,x2=x①，
∴f(－x)=f(x)，
又定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
∴f(x)为偶函数. ……………………… 7分(3)∵f(4)=1,
又f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),
∴f(4)+f(4)=f(4×4)=f(16),
∴f(16)+f(4)=f(16×4)=f(64),
∴f(64)=f(4)+f(4)+f(4),
∴f(64)=3.② ……………………… 8分
∴f(3x+1)+f(－6)≤3等价于f(-6(3x+1))≤3,∴f(|-6(3x+1)|)≤f(64),
∴ …………………… 10分
解得 …………………… 12分【失分警示】【防范措施】
1.赋值法的应用
抽象函数的求值与性质讨论，往往需要恰当地赋值，此时要明确利用哪些式子说明问题，如本题中判断函数奇偶性，看f(-x)与f(x)的关系，关键是出现f(-x)与f(x)之后，不要出现多余变量.2.偶函数的一个重要性质
根据偶函数的定义，可得f(x)=f(|x|)，从而把自变量都集中在区间(0，+∞)上，应用单调性时，就可以避免分自变量在不同区间内的繁琐讨论，把f(-6(3x+1))写成f(|-6(3x+1)|)，避免对-6(3x+1)的符号讨论.【类题试解】已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=-x2+ax.
(1)当a=-2时，求函数f(x)的解析式.
(2)若函数f(x)为R上的单调减函数，
①求a的范围；
②若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立，求实数t的取值范围.【解析】(1)当x<0时，-x>0,又因为f(x)为奇函数，且a=-2,
所以f(x)=-f(-x)=x2-2x，所以(2)①当a≤0时，对称轴x= ≤0,所以f(x)=-x2+ax在［0,+∞)
上单调递减,
由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，所以f(x)
在(-∞,0)上单调递减,
又在(-∞,0)上f(x)>0,在(0,+∞)上f(x)<0,
所以当a≤0时，f(x)为R上的单调减函数.
当a>0时，f(x)在(0， )上单调递增，在( +∞)上单调递
减，不合题意.
所以函数f(x)为单调减函数时，a的范围为a≤0.②∵f(m-1)+f(m2+t)<0,∴f(m-1)<-f(m2+t),
又∵f(x)是奇函数，∴f(m-1)又∵f(x)为R上的单调减函数，∴m-1>-t-m2恒成立,
∴t>-m2-m+1=-(m+ )2+ 恒成立,∴t>1.若函数f(x)＝x3，x∈R，则函数y=f(-x)在其定义域上是( )
A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数
C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数
【解析】选B.f(-x)=-x3为奇函数，
设x1,x2∈R，且x1＜x2,则-x1＞-x2，
f(-x1)-f(-x2)＝
∴f(-x1)＞f(-x2)，f(-x)为减函数.2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2-2x，
则f(x)在R上的表达式是( )
A.y=x(x-2) B.y=x(|x|+2)
C.y=|x|(x-2) D.y=x(|x|-2)
【解析】选D.由x≥0，f(x)＝x2-2x，f(x)是定义在R上的奇
函数得：当x＜0时，-x＞0，f(x)＝-f(-x)＝-(x2+2x)，
∴ 即f(x)＝x(|x|-2).3.定义在R上的偶函数f(x)在［0，＋∞)上是增函数，若f(a)＜f(b)，则一定可得( )
A.a＜b B.a＞b
C.|a|＜|b| D.0≤a＜b或a＞b≥0
【解析】选C.对于定义域为R的偶函数，若x≥0，则
f(|x|)＝f(x)；若x＜0，则f(|x|)＝f(-x)＝f(x).所以，定义域为R的偶函数f(x)对于任意x∈R，有f(|x|)＝f(x)．于是由f(a)＜f(b)，可得f(|a|)＜f(|b|)．而|a|≥0，再由f(x)在［0，＋∞)上是增函数可得|a|＜|b|，故选C.4.函数f(x)=x3+ax，f(1)=3，则f(-1)＝______.
【解析】显然f(x)是奇函数，∴f(-1)＝-f(1)＝-3.
答案：-35.若函数f(x)＝(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数，则f(x)的递减区间是______.
【解析】利用函数f(x)是偶函数，则k-1=0，k=1，所以f(x)=-x2+3，其单调递减区间为［0，＋∞)．
答案：［0，＋∞)6.f(x)是定义在(－∞，－5］,［5，＋∞)上的奇函数，且
f(x)在［5，＋∞)上单调递减，试判断f(x)在(－∞，－5］
上的单调性，并用定义给予证明．
【解析】f(x)在(-∞，-5］上单调递减.任取x1－x1>－x2≥5,因f(x)是奇函数且在［5，＋∞)上单调递减，
所以f(－x1)< f(－x2)?-f(x1)<－f(x2)?f(x1)>f(x2)，即
f(x)在(-∞,-5］上是单调减函数.