高二数学（必修五）等比数列一课件
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课件31张PPT。2.4 等比数列（一）掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式及推导过程，并能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．
1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做________数列，这个常数叫做等比数列的________，公比通常用字母q表示(q≠0)．
答案：等比 公比自学导引2．如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的________．
答案：等比中项
3．等比数列的通项公式为________．
答案：an＝a1qn－1
1．等比数列的公比能否为0，首项能否为0?
答案：等比数列的首项，公比都不为0.
2．若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？
答案：不一定，因为若G＝0，且a，b中至少有一个为0，使G2＝ab，根据等比数列的定义，a，G，b不成等比数列．当a，G，b全不为零时，若G2＝ab，则a，G，b成等比数列．
自主探究A．an＝a3qn－2 B．an＝a3qn－1
C．an＝a3qn－3 D．an＝a3qn－4
解析：∵a3qn－3＝a1·q2·qn－3＝aqn－1＝an.
答案：C预习测评2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么
( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解析：∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b＝±3，又因为等比数列奇数项符号相同，得b＜0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，ac＝9，故选B
答案：B1．等比数列的定义
关于定义理解的几点注意：
(1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能是0.
要点阐释(3)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或第3项起按原数列的项的排列顺序组成一个新数列是一个等比数列．
(4)项不为0的常数数列是等比数列．
2．等比中项的应用
等比数列递推关系an2＝an－1·an＋1(n≥2)，即说明等比数列的任何一项(除第一项和最后一项)都是其前后两项的等比中项．
3．通项公式的应用
题型一 等比数列的通项公式
典例剖析方法点评：像等差数列的计算一样，等比数列中基本量的计算是最重要、最基本的问题．
(1)a2＝18，a4＝8，求a1与q；
(2)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
题型二 等比数列的判断
方法点评：等比数列的判断方法主要有以下几种：
∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22＝a1a4.
即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d.
∵a1≠0，∴a1＝d或d＝0.
当a1＝d≠0时，a4＝4d，a6＝6d，a9＝9d，
∴a62＝a4a9＝36d2，
∴a4，a6，a9成等比数列．
当a1≠0且d＝0时，是非零常数列，满足题意．
综上可知a4，a6，a9成等比数列．题型三 等比中项的应用
【例3】 等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
方法点评：(1)首项a1和q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法．
(2)本题要注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中顶．
3．已知三个数成等比数列，积为27，和为13，求这三个数．
误区解密 忽视题中隐含条件而出错
错因分析：注意b2的符号已经确定，且b2＜0，忽视了这一隐含条件，就容易产生上面的错误．
2．公比q可为正数、负数．特殊地，当q＝1时，为常数列a1，a1，…，又若a1≠0，则它既为等差数列，又为等比数列；当q＝－1时，数列为a1，－a1，a1，－a1，….
课堂总结4．公式中含有四个量a1，an，q，n，如果已知任意三个，可求第四个量．
1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做________数列，这个常数叫做等比数列的________，公比通常用字母q表示(q≠0)．
答案：等比 公比自学导引2．如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的________．
答案：等比中项
3．等比数列的通项公式为________．
答案：an＝a1qn－1
1．等比数列的公比能否为0，首项能否为0?
答案：等比数列的首项，公比都不为0.
2．若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？
答案：不一定，因为若G＝0，且a，b中至少有一个为0，使G2＝ab，根据等比数列的定义，a，G，b不成等比数列．当a，G，b全不为零时，若G2＝ab，则a，G，b成等比数列．
自主探究A．an＝a3qn－2 B．an＝a3qn－1
C．an＝a3qn－3 D．an＝a3qn－4
解析：∵a3qn－3＝a1·q2·qn－3＝aqn－1＝an.
答案：C预习测评2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么
( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解析：∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b＝±3，又因为等比数列奇数项符号相同，得b＜0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，ac＝9，故选B
答案：B1．等比数列的定义
关于定义理解的几点注意：
(1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能是0.
要点阐释(3)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或第3项起按原数列的项的排列顺序组成一个新数列是一个等比数列．
(4)项不为0的常数数列是等比数列．
2．等比中项的应用
等比数列递推关系an2＝an－1·an＋1(n≥2)，即说明等比数列的任何一项(除第一项和最后一项)都是其前后两项的等比中项．
3．通项公式的应用
题型一 等比数列的通项公式
典例剖析方法点评：像等差数列的计算一样，等比数列中基本量的计算是最重要、最基本的问题．
(1)a2＝18，a4＝8，求a1与q；
(2)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
题型二 等比数列的判断
方法点评：等比数列的判断方法主要有以下几种：
∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22＝a1a4.
即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d.
∵a1≠0，∴a1＝d或d＝0.
当a1＝d≠0时，a4＝4d，a6＝6d，a9＝9d，
∴a62＝a4a9＝36d2，
∴a4，a6，a9成等比数列．
当a1≠0且d＝0时，是非零常数列，满足题意．
综上可知a4，a6，a9成等比数列．题型三 等比中项的应用
【例3】 等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
方法点评：(1)首项a1和q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法．
(2)本题要注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中顶．
3．已知三个数成等比数列，积为27，和为13，求这三个数．
误区解密 忽视题中隐含条件而出错
错因分析：注意b2的符号已经确定，且b2＜0，忽视了这一隐含条件，就容易产生上面的错误．
2．公比q可为正数、负数．特殊地，当q＝1时，为常数列a1，a1，…，又若a1≠0，则它既为等差数列，又为等比数列；当q＝－1时，数列为a1，－a1，a1，－a1，….
课堂总结4．公式中含有四个量a1，an，q，n，如果已知任意三个，可求第四个量．