高二数学（必修五）等比数列二课件
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课件25张PPT。2.4 等比数列（二）进一步巩固等比数列的定义和通项公式，掌握等比数列的性质，会用性质灵活解决问题．
答案：相等
自学导引答案：等比答案：qm－n
答案：等比答案：等比答案：如果等比数列的三项的序号成等差数列，那么对应的项成等比数列．
事实上，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，
则am·an＝(a1·qm－1)·(a1·qn－1)
＝a12·qm＋n－2＝a12(qk－1)2＝ak2.
自主探究2．既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？如果存在，你能举出例子吗？
答案：存在．例如：an＝1，既是公差为0的等差数列，又是公比为1的等比数列．
预习测评答案：A
答案：D
4．在等比数列{an}中，a6·a15＋a9a12＝30，则前20项的积等于__________．
解析：∵数列{an}成等比数列，
∴a6·a15＝a9·a12，
∴a6·a15＝15，
∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10
＝1510.
答案：1510
1．等比数列的性质
(1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列．
(2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列，如：等比数列a1，a2，a3，… ，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…；a3，a5，a7，a9，a11…各自仍构成等比数列．
要点阐释2．等差数列与等比数列
等比数列与等差数列是非常重要的两类数列，它们在一定的条件下，可以相互转化，等比数列与等差数列相结合的题型是考查的重点.
题型一 等比数列的性质的应用
典例剖析解：解法一：∵a6＝a2q4，其中，a2＝2，a6＝162，
∴q4＝81，∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122.
解法二：∵2、6、10三数成等差数列，
∴a2、a6、a10成等比数列．
方法点评：上述四种解法中，前三种解法是利用等比数列的性质来解的，使问题变得简单，明了．因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的灵活应用．
1．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为________．
解析：利用性质“aman＝apaq“便可迅速获得，设插入的n个数为a1，a2，…，an，G＝a1a2·…·an，则G2＝(a1an)·(a2an－1)(a3an－2)·…·(ana1)＝(1×100)n，∴G＝10n.
答案：10n
题型二 等差数列与等比数列的综合题
【例2】 三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．方法点评：此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列知识建立等式求解．另外，对本题若设所求三数为a，b，c，则列出三个方程求解，运算过程将繁冗些．因此，在计算过程中，设的未知数个数应尽可能少．
2．有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数．
误区解密 因没数清数列的项数致误
错因分析：对等差数列1,3，…，2n－1的项数没数清．
正解：∵a5·a2n－5＝22n＝an2，an＞0，
∴an＝2n，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1
＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1)
＝log22n2＝n2.故选B
答案：B
1．根据等比数列的定义知，等比数列各项的符号有以下几种规律：各项均为正值；正负(或负正)相间；各项均为负值．
2．设未知数的方法很多，原则是使得未知数尽量少，方程尽量简单，所以要根据题意选择适当的未知数．
3．一些数列通过适当的变形，可以得到一个等比数列(或等差数列)，形如an＋1＝qan＋p的数列就可以转化为一个等比数列．课堂总结
答案：相等
自学导引答案：等比答案：qm－n
答案：等比答案：等比答案：如果等比数列的三项的序号成等差数列，那么对应的项成等比数列．
事实上，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，
则am·an＝(a1·qm－1)·(a1·qn－1)
＝a12·qm＋n－2＝a12(qk－1)2＝ak2.
自主探究2．既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？如果存在，你能举出例子吗？
答案：存在．例如：an＝1，既是公差为0的等差数列，又是公比为1的等比数列．
预习测评答案：A
答案：D
4．在等比数列{an}中，a6·a15＋a9a12＝30，则前20项的积等于__________．
解析：∵数列{an}成等比数列，
∴a6·a15＝a9·a12，
∴a6·a15＝15，
∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10
＝1510.
答案：1510
1．等比数列的性质
(1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列．
(2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列，如：等比数列a1，a2，a3，… ，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…；a3，a5，a7，a9，a11…各自仍构成等比数列．
要点阐释2．等差数列与等比数列
等比数列与等差数列是非常重要的两类数列，它们在一定的条件下，可以相互转化，等比数列与等差数列相结合的题型是考查的重点.
题型一 等比数列的性质的应用
典例剖析解：解法一：∵a6＝a2q4，其中，a2＝2，a6＝162，
∴q4＝81，∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122.
解法二：∵2、6、10三数成等差数列，
∴a2、a6、a10成等比数列．
方法点评：上述四种解法中，前三种解法是利用等比数列的性质来解的，使问题变得简单，明了．因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的灵活应用．
1．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为________．
解析：利用性质“aman＝apaq“便可迅速获得，设插入的n个数为a1，a2，…，an，G＝a1a2·…·an，则G2＝(a1an)·(a2an－1)(a3an－2)·…·(ana1)＝(1×100)n，∴G＝10n.
答案：10n
题型二 等差数列与等比数列的综合题
【例2】 三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．方法点评：此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列知识建立等式求解．另外，对本题若设所求三数为a，b，c，则列出三个方程求解，运算过程将繁冗些．因此，在计算过程中，设的未知数个数应尽可能少．
2．有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数．
误区解密 因没数清数列的项数致误
错因分析：对等差数列1,3，…，2n－1的项数没数清．
正解：∵a5·a2n－5＝22n＝an2，an＞0，
∴an＝2n，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1
＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1)
＝log22n2＝n2.故选B
答案：B
1．根据等比数列的定义知，等比数列各项的符号有以下几种规律：各项均为正值；正负(或负正)相间；各项均为负值．
2．设未知数的方法很多，原则是使得未知数尽量少，方程尽量简单，所以要根据题意选择适当的未知数．
3．一些数列通过适当的变形，可以得到一个等比数列(或等差数列)，形如an＋1＝qan＋p的数列就可以转化为一个等比数列．课堂总结