课件51张PPT。3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型三种函数模型的性质增函数增函数增函数y轴平行x轴平行越来越快越来越慢ax>xn>logax判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.( )
(2)当a＞1，n＞0时，在区间(0,+∞)上，对任意的x，总有logax＜xn＜ax成立.( )
(3)能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a＞0,b＞1)表达的函数模型,称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数.( )提示：(1)错误.由图象可知.y=2x的增长速度远远快于y=x2的增长速度.(2)错误.不是对于任意的x成立，但总存在x0，使得当a＞1，n＞0，x＞x0时，logax＜xn＜ax成立.
(3)正确.指数型函数模型是能用指数型函数f(x)=abx+c (a,b,c为常数,a＞0,b＞1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.
答案：(1)× (2)× (3)√【知识点拨】
1.三类函数模型的增长差异
(1)对于幂函数y=xn,当x＞0，n＞0时，y=xn才是增函数，当n越大时,增长速度越快.
(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y=x对称，从而可知，当a越大时，y=ax增长越快；当a越小时，y=logax(a＞1)增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0,
a＞1).(3)指数函数与幂函数，当x＞0,n＞0,a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是“爆炸型”函数,当x大于某一个确定值x0后,就一定有ax＞xn.2.由增长速度确定函数模型的技巧
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.
(2)增长速度最快即呈现“爆炸”式增长的函数模型应该是指数型函数模型.
(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.
(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.类型 一 函数模型的增长差异
【典型例题】
1.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A.y＝50x B.y＝x50
C.y＝50x D.y＝log50x(x∈N*)
2.研究函数y=0.5ex-2,y=ln(x+1),y=x2-1在［0,+∞)上的增长情况.【解题探究】1.处理函数模型增长速度差异问题的关键是什么？
2.对数函数模型和指数函数模型的增长速度有何差异？
探究提示：
1.是确定变量间的关系, 不能仅仅根据自变量较大时对应的函数值比较,还要看函数的变化趋势.
2.对数函数模型变化规律是先快后慢,增长速度比较平缓,指数函数模型变化规律是先慢后快,增长速度急剧上升.【解析】1.选C.由于指数函数的增长是爆炸式的，所以当x越来越大时，函数y=50x增长速度最快．故选C.2.分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象(如图),从图象
上可以看出函数y=0.5ex-2的图象首先超过了函数y=ln(x+1)
的图象,然后又超过了y=x2-1的图象,即存在一个x0满足
当x＞x0时,
ln(x+1)(1)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a＞0,b＞1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.
(2)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,x＞0,a＞1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.(3)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型. 【变式训练】若x∈(0,1)，试分析三个函数模型y=2x，
y=lgx的增长差异，用“＞”把它们的取值大小关系连接起来
为______.
【解题指南】关键看在(0,1)上它们的大小关系，可借助中间
值“0”与“1”比较.
【解析】当x∈(0,1)时，2x＞1,1＞ ＞0,
lgx＜0,所以2x＞ ＞lgx.
答案：2x＞ ＞lgx类型 二 图象信息迁移题
【典型例题】
1.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲先到达终点2.如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：
(1)通话2分钟，需付电话费______元.
(2)通话5分钟，需付电话费______元.
(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时
间t(分钟)之间的函数关系式为______.【解题探究】1.路程和时间存在着何种关系？当路程一定
时，时间和速度有何关系？
2.通过观察题2的图象可以确定此函数是什么函数?
探究提示：
1.路程和时间的关系为s=vt，当路程一定时，时间和速度的
关系为 成反比例关系.
2.由题2图象可以看出对应的函数为分段函数.【解析】1.选D.从图可以看出，甲、乙两人同时出发(t＝0)，跑相同多的路程(s0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)较短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．2.(1)由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元.
(2)由图象可知，当t=5时，y=6，需付电话费6元.
(3)当t≥3时，y关于t的图象是一条直线，且经过(3,3.6)和
(5,6)两点，故设函数关系式为y=kt+b，
则 解得
故电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为y=1.2t(t≥3).
答案：(1)3.6 (2)6 (3)y=1.2t(t≥3)【互动探究】题2中的已知条件不变，若通话费用为4.5元，则通话时间是多少？
【解析】由题2的解析结合图象可知，当y=4.5元时，通话时间超过3分钟，故电话费与时间满足函数关系式y=1.2t(t≥3),∴4.5=1.2t,∴t=3.75(分钟).
故若通话费用为4.5元时，通话时间为3.75分钟.【拓展提升】
1.图象信息题的解答策略
(1)明确横轴、纵轴的意义，分析题中的具体含义．
(2)从图象形状上判定函数模型.
(3)抓住特殊点的实际意义，特殊点一般包括最高点(最大值点)、最低点(最小值点)及折线的拐角点等.
(4)通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题.2.确定分段函数的解析式的注意事项
(1)首先读懂题目所给的函数图象,借助图象处理问题.
(2)明确函数的自变量的取值范围，即分段的自变量的关键点.
(3)各个段中所对应的函数解析式是何种函数式，是一次、二次函数还是其他基本函数.类型 三 方案选择问题
【典型例题】
1.某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用( )
A.一次函数 B.二次函数
C.指数型函数 D.对数型函数2.学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)能使完成全部任务最快？【解题探究】1.对数型函数的增长有何特点？
2.解答应用题的关键是什么？
探究提示：
1.先快速增长，后来越来越慢.
2.解应用题的关键是建模，通过对已知条件的综合分析，归纳抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的类型.【解析】1.选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意；二次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数型函数是“爆炸式”增长，不符合“增长越来越慢”，因此，只有对数型函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢.2.设x名工人制课桌，(30－x)名工人制椅子，一个工人在一
个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，
∴制作100张课桌所需时间为函数 制作200把椅子所需
时间为函数 完成全部任务所需的时间f(x)为P(x)
与Q(x)中的较大值．欲使完成任务最快，需使P(x)与Q(x)尽可能
接近(或相等)．令P(x)＝Q(x)，即
解得x＝12.5，∵x∈N，考察x＝12和13的情形,有P(12)≈1.19，
Q(12)≈1.111，P(13)≈1.099，Q(13)≈1.176.∴f(12)＝1.19，f(13)＝1.176，∵f(12)>f(13)，∴x＝13时，f(x)取最小值，∴用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．【拓展提升】解函数应用题的四个步骤
第一步:阅读、理解题意,认真审题.
读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量,善于联想、化归,实现应用问题向数学问题的转化.第二步:引进数学符号,建立数学模型.
一般地，设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然后根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问题的数学化,即所谓建立数学模型.
第三步:利用数学方法解答得到的常规数学问题(即数学模型),求得结果.
第四步:再转译成具体问题作出解答.【变式训练】某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为( )
A.B,A,C B.A,C,B
C.A,B,C D.C,A,B【解析】选B.A种债券的收益是每100元收益3元；B种债券的利
率为 所以100元一年到期的本息和为
收益为5.68元；C种债券的利率
为 100元一年到期的本息和为
收益为3.09元． 【易错误区】比较大小时错用图象致误
【典例】(2012·南充高一检测)已知函数f(x)=2x和g(x)=x3,在同一坐标系下作出它们的图象,结合图象比较f(8),g(8),f(2013)，g(2013)的大小为______.【解析】列表为：
描点、连线，得如图所示图象：
则函数f(x)=2x对应的图象为C2,函数g(x)=x3对应的图象为C1①,∵g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,
f(9)=512,g(10)=1 000,f(10)=1 024,
∴f(1)＞g(1),f(2)＜g(2),f(9)＜g(9),f(10)＞g(10)，
∴1＜x1＜2,9＜x2＜10,∴x1＜8＜x2＜2013.
从图象上知，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x),
当x＞x2时，f(x)＞g(x),且g(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f(2 013)＞g(2 013)＞g(8)＞f(8).
答案： f(2 013)＞g(2 013)＞g(8)＞f(8)【类题试解】已知16＜x＜20，利用图象可判断出 和log2x
的大小关系为_______.【解析】作出f(x)= 和g(x)=log2x的图象,如图所示:
由图象可知:在(0,4)内, ＞log2x; x=4或x=16时, =log2x;
在(4,16)内 ＜log2x;在(16,20)内 ＞log2x.
答案： ＞log2x【误区警示】【防范措施】
1.函数图象的掌握
对于一些基本的初等函数的图象，要掌握好图象的最基本的特征，能够分辨出各函数对应的图象的差别.如本例中主要是指数函数和幂函数图象的区别，只要把握好指数函数的图象呈指数爆炸增长，增长速度快，就好区别.2.函数值的大小比较
在比较函数值的大小时，结合函数图象的特征，利用数形结合的思想来判断.如本例中判断出1＜x1＜2,9＜x2＜10，从而得出x1＜8＜x2＜2 013，这样结合函数的单调性从而判断出f(8),g(8),f(2 013)，g(2 013)的大小.1.对于函数f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x，当x∈(4,+∞)时，三个函数的增长速度的比较，下列选项中正确的是( )
A.f(x)＞g(x)＞h(x) B.g(x)＞f(x)＞h(x)
C.g(x)＞h(x)＞f(x) D.f(x)＞h(x)＞g(x)
【解析】选B.对幂函数、指数函数、对数函数增长速度的比较：直线上升、指数爆炸、对数增长,故当x∈(4,+∞)时,
h(x)＜f(x)＜g(x).2.某厂原来月产量为a，1月份增产10%，2月份比1月份减产
10%，设2月份产量为b，则( )
A.a=b B.a＞b
C.a＜b D.无法比较a,b的大小
【解析】选B.∵b=a(1+10%)(1-10%)，
∴b=a(1- ),∴a＞b.故选B.3.在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y=f(x)，另一种是平均价格曲线y=g(x)，如f(2)=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y=f(x)，虚线表示y=g(x)，其中最有可能正确的是( )【解析】选C.即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直下跌，故排除A,D；即时价格若一直上升，则平均价格也应一直上升，排除B.(也可以由x从0开始增大时，f(x)与g(x)应在y轴上有相同起点，排除A,D)，故选C.4.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律
为y=ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝______，经过5小时，1个病毒能繁殖为______个．
【解析】当t＝0.5时，y＝2，
∴
∴k=2ln2，∴y=e2tln2，当t＝5时，
∴y=210＝1 024.
答案：2ln2 1 0245．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来的价格比较，变化情况是______．
【解析】设原来商品价格为1个单位，则
1×(1＋20%)2×(1－20%)2＝0.9216＝92.16%，
∴减少了7.84%.
答案：减少了7.84%6.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/s和燃料质量
Mkg、火箭(除燃料外)质量mkg的关系是v=2000ln(1+ )，则当
燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12km/s？
【解析】依题意知2000ln(1+ )=12000，
∴ln(1+ )=6,1+ =e6,故 =e6-1.
故当燃料质量是火箭质量的e6-1倍时,火箭的最大速度可达
12km/s.课件53张PPT。3.2.2 函数模型的应用实例
第1课时 一次函数、二次函数、
幂函数模型的应用举例三种常见的函数模型
1.一次函数模型
(1)解析式：_______.
(2)成立条件：_____.y=kx+bk≠02.二次函数模型3.幂函数模型
(1)解析式：________，其中a,b,α为常数，a≠0，α≠1.
(2)单调性：其增长情况随a和α的取值而定.y=axα+b判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在一次函数模型中，斜率k 的取值会影响函数的性质.( )
(2)对于利用二次函数模型y=ax2+bx+c(a≠0)解决的实际应用
题，只有当自变量 时，函数值才能取得最大值.( )
(3)在幂函数模型的解析式中, α的正负会影响函数的单调
性.( )提示：(1)正确.k＞0时y随x的增大而增大；k＜0时y随x的增大而减小.
(2)错误.自变量的取值必须与实际结合，使得函数有意义才可以.
(3)正确.当a＞0,α＞0时,函数的图象在第一象限内是上升的,在(0,+∞)上为增函数；当a＞0,α＜0时,函数的图象在第一象限内是下降的,在(0,+∞)上为减函数.
答案：(1)√ (2)× (3)√【知识点拨】
1.函数模型的分类及其建立
(1)第一类是确定的函数模型.这类应用题提供的变量关系是确定的，是以现实生活为原型设计的.求解时一般按照以下几步进行：
①第一步，阅读理解，认真审题.
②第二步，引进数学符号，建立函数模型.
③第三步，利用函数知识，如单调性，最值等求解.
④转译成具体问题作答.(2)第二类是近似函数模型，或拟合函数模型.这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值.求解此种函数模型的一般步骤为：画图→选择函数模型→用待定系数法求函数模型→检验，若符合实际，可用此函数，若不符合，则继续选择函数模型，重复操作过程.2.二次函数模型
(1)二次函数常设成y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的形
式，其图象是抛物线，顶点坐标是( )，当
a>(<)0时，在x= 时，有最小(大)值为 解题时经常
需用配方法来求最值.
(2)在解决实际应用问题时，需要列出二次函数的解析式，常
用的方法有待定系数法，归纳法和方程法. 类型 一 一次函数模型
【典型例题】
1.某市原来民用电价为0.52元/kW·h.换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kW·h，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kW·h.对于一个平均每月用电量为200kW·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量( )A.至少为82kW·h B.至少为118kW·h
C.至多为198kW·h D.至多为118kW·h
2.某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发
10min开出13km后，以120km/h匀速行驶，则火车行驶路程s(km)与匀速行驶的时间t(h)之间的关系为______，火车离开北京西站2h时行驶的路程为______.【解题探究】1.解决一次函数模型应用题的关键是什么？
2.对于路程、时间和速度，这三者之间存在什么样的关系？
探究提示：
1.解决一次函数模型应用题的关键是分析题意,明确各个量之间的关系,建立关系式后,要弄清自变量的实际意义和范围.
2.三者之间存在的关系为路程=时间×速度.对于题2中不仅要明确匀速运动的路程=速度×时间，更要明确出发10min后开始匀速运动，还要明确t是匀速运动的时间，出发10min末开始计时，即t=0，此时s=13.【解析】1.选D.①原来电费y1＝0.52×200＝104(元)．
②设峰时段用电量为xkW·h，总电费为y，
则y=0.55x+(200-x)×0.35=0.2x+70，由题意知
0.2x+70≤(1-10%)y1，∴x≤118.
∴这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118kW·h.2.∵火车匀速运动的时间为(277-13)÷120= (h),
∴0≤t≤
∵火车匀速行驶th所行驶的路程为120t，
∴火车行驶的路程s与t的关系是
s=13+120t(0≤t≤ ),火车离开北京西站2h时火车行驶的路程s=13+120× =233(km).
答案：s=13+120t(0≤t≤ ) 233km【拓展提升】用一次函数模型解决实际问题的原则和关注点
(1)原则：一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按
照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也
较简单.
(2)关注点：用一次函数模型解决实际问题时,对于给出图象
的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式.对于一次
函数y=ax+b(a≠0),当a＞0时为增函数,当a＜0时为减函数.另
外,要结合题目理解(0,b)或( 0)这些特殊点的意义.【变式训练】一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，它的解析式为( )
A.y=20-x(x≤10) B.y=20-2x(x＜10)
C.y=20-x(5≤x≤10) D.y=20-2x(5＜x＜10)
【解析】选D.由题意y=20-2x，且20-2x＞0，2x＞20-2x，即y=20-2x(5＜x＜10).类型 二 二次函数模型
【典型例题】
1.设物体在8：00到16：00之间的温度T是时间t的函数：T(t)=at2+bt+c(a≠0)，其中温度的单位是℃，时间的单位是小时，t=0表示12：00，t取正值表示12：00以后，若测得该物体在8：00的温度为8℃，12：00的温度为60℃,13：00的温度为58℃，则T(t)＝______.2.(2013·长沙高一检测)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件300元时，购买人数为0人．标价为每件225元时，购买人数为75人，若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，问：商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？【解题探究】1.满足何种条件时用待定系数法求二次函数的解析式？何时又用顶点式？
2.对于二次函数，最值取得的情况与自变量有何关系？探究提示：
1.若知道函数的类型，常用待定系数法求得解析式.当已知二
次函数的顶点坐标时，常常设成y=a(x-m)2+n的形式，其中
(m,n)是二次函数的顶点坐标.
2.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，通过配方可得
(1)当a＞0时，此时 时函数有
最小值为 (2)当a＜0时，此时 时函数有
最大值为 同时对于自变量的取值要考虑实际意义，应与实际相符合.【解析】1.将t=-4，T=8；t=0，T=60；t=1，T=58分别代入函数表达式T(t)=at2+bt+c(a≠0)中，可解出a=-3,b=1,c=60,即T(t)=-3t2+t+60.
答案：-3t2+t+602.设利润为y元，由已知设n=kx+b(k＜0)，
∴ ∴
∴n=-x+300，∴y=-(x-300)(x-100)
=-(x-200)2+10 000,x∈(100,300］,
∴x=200时，ymax=10 000，即商场要获取最大利润，羊毛衫
的标价应定为每件200元．【互动探究】题2中，若通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
【解析】由题2解析得，-(x-300)(x-100)=10 000×75%,
∴x2-400x+37 500=0,
∴(x-250)(x-150)=0,∴x1=250，x2=150,
所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%.【拓展提升】利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)一般方法：根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意点：利用二次函数求最值时,应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.【变式训练】长为4、宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少
时面积最大，此时x＝______，最大面积S＝______.
【解题指南】利用矩形面积公式，得出解析式，利用二次函
数求最值.
【解析】
当x=1时，最大面积为
答案:1 类型 三 幂函数与分段函数模型
【典型例题】
1.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y=xα(α为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为______万元.2.如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有动点P，从B点开始，沿折线BCDA向A点运动，设点P移动的路程为x,△ABP面积为S.
(1)求函数S=f(x)的解析式、定义域和值域.
(2)求f(f(3))的值.【解题探究】1.若已知幂函数的解析式为y=xα，在解题中最关键首先应确定出哪个量？
2.分段函数的定义域如何确定？
探究提示：
1.最关键是利用给出的已知条件求出y=xα中的α的值.
2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.【解析】1.由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y=xα中，即3α=27，解得α=3，故函数关系式为y=x3.所以当x=5时，y=125(万元).
答案：1252.(1)S△ABP= ×4×x=2x,0＜x≤4;
S△ABP= ×4×4=8,4＜x≤8;
S△ABP= ×4×(12-x)=24-2x,8＜x＜12.
∴
定义域为(0，12)，值域为(0,8］∪{8}∪(0,8)=(0,8］.
(2)f(f(3))=f(6)=8.【拓展提升】
1.幂函数应用的求解策略
(1)给出含参数的函数关系式,利用待定系数法求出参数,明确函数关系式.
(2)根据题意直接列出相应的函数关系式.2.应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏(关键词：段).
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(关键词:定义域).
(3)分段函数的值域求法为:逐段求函数值的范围,最后再下结论(关键词:值域).【变式训练】电讯资费调整后，市话资费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过三分钟以后，按每分钟0.1元计费，则市话通话时间t与通话费用s的图象为( )【解析】选B.由题意知：在3分钟内收费为0.2元，图象为平行于x轴的一条线段，当超过3分钟后，按每分钟0.1元计费，同一分钟内收费相同.故选B. 【易错误区】忽略分段函数的定义域致误
【典例】某沿海城市为节约用水，自来水公司决定收费标准如下:每户每月用水不超过4t时,每吨为1.80元,当用水超过
4t时,超过部分每吨3.00元,某月甲、乙两用户共缴水费y元,已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x.则y关于x的函数解析式为___________.【解析】当甲的用水量不超过4t,即5x≤4①时,乙的用水量也不
超过4t,此时y=(5x+3x)×1.8=14.4x(0≤x≤ ).当甲的用水量
超过4t,乙的用水量不超过4t,即3x≤4,且5x>4时①，
y=4×1.80+3x×1.80+3×(5x-4)=20.4x-4.8( ).
当甲、乙的用水量都超过4t,即3x>4时①，y=24x-9.6(x＞ ),∴
答案：【类题试解】某车站有快慢两种列车,始发站距终点站7.2km,
慢车到达终点站需16min,快车比慢车晚发车3min,且匀速行驶10min后到达终点站,则快车所行驶路程y关于慢车行驶时间x的
函数解析式为______________.
【解析】x的取值范围为［0,16］,当0≤x≤3时,快车还未发车;当3＜x≤13时,快车的速度为0.72km/min, y=0.72(x-3);当
13＜x≤16时,快车已到达终点站, y始终不变,为7.2.
答案：【误区警示】【防范措施】
1.正确提取题目信息
一定要看清题意,理解好题中的关键信息,尤其是当含有条件性的数值时更要弄清各个量之间的因果关系.如本例中“用水不超过4t时,每吨为1.80元,当用水超过4t时,超过部分每吨3.00元”，就应考虑到分情况来解决.2.分类讨论思想的运用
在明确了题意后,应根据题中的条件,选择恰当的函数解析式,特别要注意在有条件限制的前提下,如何进行分类讨论解决问题.如本例中可分为“当甲的用水量不超过4t，乙的用水量也不超过4t；当甲的用水量超过4t,乙的用水量不超过4t；当甲、乙的用水量都超过4t”，此时确定好变量x的范围.1.一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为( )
A.y=20-x，0C.y=40-x，0【解析】选Ａ.∵矩形的周长是40，∴2x+2y=40，
则y=20-x(0A.2 B.4 C.5 D.6
【解析】选D.y=-x2+12x-25=-(x-6)2+11,所以x=6时，可使其营运总利润最大.3.已知A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地
到达B地，在B地停留一小时后再以50km/h的速度返回A地，把汽
车离开A地的距离x表示为时间t的函数，解析式是( )
A.x=60t
B.x=60t+50
C.
D.【解析】选D.从A地到B地的来回时间分别为：
∴4.一个水池每小时注入水量是全池的 水池还没有注水部
分与总量的比y随时间x(小时)变化的解析式为______.
【解析】 0≤x≤10.
答案： 0≤x≤105.某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是______.【解析】设函数解析式为y=kx+b(k≠0),
函数图象过(1,800),(2,1 300),
则
解得
∴解析式为y=500x+300,
当x=0时,y=300.
∴营销人员没有销售量时的收入是300元.
答案：300元6.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为
每吨Q元，已知P=1000+5x+ x2,Q=a+ 若生产出的产品能全
部卖掉，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨价格为40元，
求实数a，b的值.【解析】设利润为y元，则
依题意得
化简得 解得课件53张PPT。第2课时 指数型、对数型函数模型
的应用举例指数函数模型、对数函数模型
思考：解决实际应用问题的关键是什么?
提示:解决实际应用问题的关键是选择和建立恰当的函数模型.f(x)=abx+cf(x)=mlogax+n【知识点拨】
1.建立函数模型应把握的三个关口
(1)事理关:通过阅读、理解,明白问题讲什么,熟悉实际背景,为解题打开突破口.
(2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数学关系.
(3)数理关:在构建数学模型的过程中,利用已有的数学知识进行检验,从而认定或构建相应的数学问题.2.解决拟合函数模型的应用题的四个环节
(1)作图：根据已知数据，画出散点图.
(2)选择函数模型：一般是根据散点图的特征，联想哪些函数具有类似的图象特征，找几个比较接近的函数模型尝试.
(3)求出函数模型：求出(2)中找到的几个函数模型的解析式.
(4)检验：将(3)中求出的几个函数模型进行比较、验证，得出最适合的函数模型. 类型 一 指数函数模型
【典型例题】
1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为( )
A.y=2x+1 B.y=2x-1
C.y=2x D.y=2x2.某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%.解答下面的问题：
(1)写出该城市人口数y(万人)与年份x(年)的函数关系.
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人).
(3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年).【解题探究】1.对于细胞分裂问题，一个细胞经过x次分裂后得到的细胞个数一般怎样表示？若是n个细胞呢？
2.解决连续增长问题应建立何种数学模型？
探究提示：
1.由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，分裂x次后得到的细胞个数为2x个，若是n个细胞，则细胞个数为n·2x个.
2.对于连续增长的问题一般情况下可建立指数型函数模型y=a(1+p)x.【解析】1.选A.2个细胞分裂一次成4个，分裂两次成8个，分裂3次成16个，所以分裂x次后得到的细胞个数为y=2x+1.2.(1)1年后该城市人口总数为
y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)，
2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2，
3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)3，
……
x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x(x∈N).(2)10年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7(万人).
(3)设x年后人口将达到120 万人，
即可得到100×(1+1.2%)x=120，
所以大约16年后该城市人口总数达到120万人.【拓展提升】解应用问题的四步骤
读题?建模?求解?反馈
(1)读题：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等，弄清已知什么,求解什么,需要什么.
(2)建模：正确选择自变量，将问题表示为这个变量的函数，通过设元,将实际问题转化为数学关系式或建立数学模型，不要忘记考察函数的定义域.(3)求解：通过数学运算将数学模型中的未知量求出.
(4)反馈：根据题意检验所求结果是否符合实际情况,并正确作答.【变式训练】某钢铁厂的年产量由2004年的40万吨，增加到
2014年的60万吨，如果按此增长率计算，预计该钢铁厂2024
年的年产量为______.
【解析】设年增长率为r，则有40(1+r)10=60，
所以(1+r)10=
所以2024年的年产量为60(1+r)10
=60× =90(万吨).
答案：90万吨类型 二 对数函数模型
【典型例题】
1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y=alog2(x+1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )
A.300只 B.400只
C.600只 D.700只2.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家
发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v=5log2 (m/s)，其
中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为______.当
一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是______.【解题探究】1.对于题1中的参数a应利用哪些数值来确定？
2.借助已知对数值求解实际问题的关键是什么？
探究提示：
1.可由该动物在引入一年后的数量为100只，即x=1，此时y=100，代入y=alog2(x+1)中，可解得a.
2.借助已知对数值求解实际问题的关键是充分借助对数的运算性质，把求解数值用已知对数值表示.【解析】1.选A.将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)
得,100=alog2(1+1)，解得a=100，所以x=7时，
y=100log2(7+1)=300.
2.由题意，燕子静止时v=0，即5log2 =0，解得q=10；当
q=80时，v=5log2 =15(m/s).
答案：10 15m/s【互动探究】题1中，若引入的此种特殊动物繁殖到500只以上时，也将对生态环境造成危害，那么多少年时，必须采取措施进行预防？
【解析】500=100log2(x+1)，解得x=31.所以31年时，必须采取措施进行预防.【拓展提升】对数函数应用题的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解.
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据数值回答其实际意义.【变式训练】2012年6月16日，“神舟九号”载人飞船经“长
征二号F”运载火箭发射升空.火箭起飞质量是箭体的质量m和
燃料质量x的和，在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最
大速度y关于x的函数关系为y=k［ln(m+x)-ln( m)］+4ln2(其
中k≠0)，当燃料质量为( -1)m吨时，该火箭的最大速度为4km/s，则y关于x的函数解析式为______.【解题指南】先由燃料质量为( -1)m时，则该火箭的最大速
度为4km/s，代入y=k［ln(m+x)-ln( m)］+4ln2中，确定出k
的值.
【解析】由题意，x=( -1)m时,y=4km/s，即
4=k{ln［m+( -1)m］-ln( m)}+4ln2,所以k=8,故
y=8［ln(m+x)-ln( m)］+4ln2.
答案：y=8［ln(m+x)-ln( m)］+4ln2类型 三 拟合模型
【典型例题】
1.(2013·厦门高一检测)今有一组数据如下：
在以下四个模拟函数中，最适合这组数据的函数是( )
A.v=log2t B.v=
C.v= D.v=2t-22.四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)=x2，f2(x)=4x，f3(x)=log2x，f4(x)=2x，他们一直跑
下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4x
C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x【解题探究】1.对于表格给出的数据，如何选择合适的模拟函数？
2.指数函数的增长具有什么特点？
探究提示：
1.可用直接法，将表中的数据直接代入所给出的模拟函数中，验证哪个最适合即可.
2.指数函数的变化呈爆炸方式增长，随着变量的增大，与其他函数类型相比，其函数值将增长得最快.【解析】1.选C.可将自变量的值取整数，代入备选答案，易知C成立．
2.选D.因为指数函数的变化呈爆炸方式增长，所以一直跑下去，最终在最前面的人具有的函数关系是f4(x)=2x，应选D.【拓展提升】数据拟合问题的三种求解策略
(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问题即可获解.
(2)列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题,则可根据表格中的数据先列式,然后进行比较.(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型,则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点,作出散点图,然后观察这些点的位置变化情况,确定所需要用的数学模型,问题即可顺利解决.【变式训练】某研究小组在一项实验中获得一组数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是( )
A.y=2t B.y=t3
C.y=log2t D.y=2t2
【解析】选C.由曲线的缓慢增长趋势知，应为对数函数型，故选C. 图表型应用问题
【典型例题】
1.某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时体温基本正常(大约37℃),但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉不发烧了，下面能反映小鹏这一天体温变化情况的图象大致是( )2.某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P)，点(t,P)落在如图中的两条线段上. 该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表：
(1)根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系.
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)所满足的一次函数关系.【解析】1.选C.观察图象A，体温逐渐降低，不符合题意；图象B不能反映他下午体温又开始上升；图象D不能反映他下午体温又开始上升与直到半夜才感觉不发烧了.2.(1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过点
(0,2),(20,6)，容易求得其方程为P= t+2；从20天到30天满
足递减的直线方程，且过点(20,6),(30,5)，求得方程为
P= +8，所以每股的交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函
数关系为(2)设日交易量Q(万股)与时间t(天)所满足的一次函数关系为Q=kt+b，过点(4,36),(10,30)，解得k=-1,b=40，所以
Q=-t+40,0≤t≤30,t∈N.【拓展提升】图表型应用问题的解决思路
(1)结合图象特征，观察坐标轴所代表的含义.
(2)紧扣题目的语言叙述，将其转化为数学特征(单调性，
最值，奇偶性).【规范解答】指数函数模型在实际中的应用【典例】 【条件分析】(1)根据图象求k,b的值.
(2)若市场需求量为Q，它近似满足
当P=Q时的市场价格称为均衡价格，为使均衡价格控制在不低
于9元的范围内，求税率t的最小值.【规范解答】(1)由图可知 ①时，有
解得 ………………………… 4分(2)当P=Q时，得 ……………… 6分
解得 ………… 8分
令 ∵x≥9,∴m∈(0, ］③,在t= (17m2-m-2)中，对
称轴为直线 且图象开口向下. …… 10分
∴m= 时，t取得最小值 此时，x=9. ……………… 12分【失分警示】【防范措施】
1.转化思想的应用意识
在解决函数问题时经常应用转化思想，如本例中通过换元法转化成一元二次函数求最值.
2.二次函数求最值准确应用变量的范围
在求解二次函数最值问题时一定要注意自变量的范围以及和对称轴的关系.例如本例中利用换元法得到二次函数后注意应用准确.【类题试解】某地区为响应上级号召，在2013年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民
居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后廉价住房的年平均增长率只能达到5%.
(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y=f(x)的解析式，并求此函数的定义域．
(2)作出函数y=f(x)的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米.【解析】(1)经过1年后，廉价住房面积为
200＋200×5%＝200(1＋5%)；
经过2年后为200(1＋5%)2；
……
经过x年后，廉价住房面积为200(1+5%)x，
∴y=200(1+5%)x(x∈N*)．(2)作函数y=f(x)=200(1+5%)x(x≥0)的图象，如图所示：
作直线y＝300，与函数y=200(1+5%)x(x≥0)的图象交于A点，则A(x0,300)，
A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时所经过的时间x的值．
因为8＜x0＜9，则取x0＝9，
即经过9年后，该地区的廉价住房
能达到300万平方米．1.某种商品2012年提价25%，2013年欲恢复成原价，则应降
价( )
A.30% B.25% C.20% D.15%
【解析】选C.设2012年提价前的价格为a,2013年要恢复成原
价应降价x.于是有a(1+25%)(1-x)=a，解得x＝ 即应降价20%.2.从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为( )
A.17 B.18 C.19 D.20
【解析】选C.设2013年该市工农业总产值为a，达到翻两番目标最少需n年，则翻两番后变为4a，由a(1+8%)n≥4a，得(1+8%)n≥4(n∈N*),
∴n≥log1.084≈18.01,又∵n∈N*,
∴n=19.3.现测得(x,y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y=x2+1；乙：y=3x-1.若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用______作为拟合模型较好．
【解析】将已知的三个点的坐标分别代入两个解析式得，前两个点均适合，但第三个点更适合甲，比较发现选甲更好．
答案：甲4.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设
物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则
T-Ta=(T0-Ta)· 其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有
一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡
降温到40℃需要20min，那么降温到35℃时，需要多长时间？【解析】由题意知40-24=(88-24)·
即 解之，得h＝10.
故T-24=(88-24)·
当T=35时，代入上式，得35-24=(88-24)·
即 两边取对数，用计算器求得t≈25.
因此，约需要25min，可降温到35℃.
