高中数学必修五课件：2.5《等比数列的前n项和（二）》（人教A版必修5）

课件26张PPT。2.5 等比数列的前n项和（二）理解等比数列前n项和的性质，并能用它解决等比数列的求和问题．掌握数列求和的重要方法——分组法与并项法．
1．若数列{an}为等比数列(公比q≠－1)，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，仍构成________数列．
答案：等比
2．若某数列前n项和公式为Sn＝an－1(a≠0，a≠±1，n∈N*)，则{an}成________．
答案：等比数列
自学导引3．若数列{an}是公比为q的等比数列，则
①Sn＋m＝Sn＋qnSm.
答案：q
实际应用题是高考中的重要内容，那么关于解等比数列的应用题的基本步骤是什么呢？
答案：解答等比数列应用题的基本步骤：
(1)阅读理解材料，且对材料作适当处理；
(2)建立等比数列模型；
(3)解数列模型．
(4)回到实际问题．
自主探究1．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝30，则S30＝ (　　)
A．70 B．90 C．100 D．120
解析：由于S10，S20－S10，S30－S20成等比数列．
∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，
又∵S10＝10，S20＝30，
∴可得S30＝70.
答案：A
预习测评A．4 B．5 C．6 D．7
答案：B
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－1，则此数列为 (　　)
A．等差数列 B．等比数列
C．常数数列 D．递减数列
解析：a1＝S1＝31－1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－3n－1＋1＝2·3n－1.所以对任意的正整数n，an＝2×3n－1成立，因此数列为等比数列．
答案：B
4．若等比数列的前n项和Sn＝5n＋m，则m＝
(　　)
A．－1 B．1 C．－5 D．5
解析：a1＝5＋m，当n≥2时，an＝5n－5n－1＝4·5n－1所以5＋m＝4，m＝－1.
答案：A
等比数列前n项和性质
(1)若某数列前n项和公式为Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则数列{an}成等比数列．
(2)若数列{an}是公比为q的等比数列，则
①Sn＋m＝Sn＋qn·Sm；
要点阐释③当q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
利用等比数列前n项和性质解题，可以简化计算量，提高解题速度．
题型一　等比数列前n项和的性质
【例1】 等比数列{an}的前n项和为54，前2n项的和为60，则前3n项的和为 (　　)
典例剖析答案：D
方法点评：以上解法是根据“若{an}是等比数列且q≠－1，则“Sn，S2n－Sn，S3n－S2n”成等比数列进行的，本题还可以列方程组，求出基本量a1，q，再求S3n，显然这种解法不如运用性质解好．
1．已知一个等比数列的首项为1，项数为偶数，奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
题型二　等比数列的实际应用
【例2】 某地现有居民住房的总面积为a m2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．
(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少？(可取1.110≈2.6)(2)过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少？(保留到小数点后第1位)
解：(1)根据题意，可知
1年后住房总面积为：1.1a－x；
2年后住房总面积为：1.1(1.1a－x)－x＝1.12a－1.1x－x；
3年后住房总面积为：1.1(1.12a－1.1x－x)－x＝1.13a－1.12x－1.1x－x；
……
10年后住房总面积为：
方法点评：本题主要考查阅读能力、分析能力，解题思维障碍主要是对“10%的住房增长率”搞不清楚，要知道，它实际上是上一年住房的增长率．
2．某林场原有木材量为a，木材每年以25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x，为了实现经过20年达到木材总存量翻两番，求每年砍伐量的最大值(1g 2＝0.3)．
误区解密　考虑不全面，导致错误
【例3】 设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，若S3＋S6＝2S9，求数列{an}的公比q.
正解：当q＝1时，S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，
由S3＋S6＝2S9，得3a1＋6a1＝2×9a1，
所以a1＝0，与a1≠0矛盾，故q≠1，
纠错心得：在解题时要认真思考，培养细心的良好习惯．
灵活应用等比数列前n项和的性质解题，往往能达到事半功倍的效果．
课堂总结