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九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》课时训练
一、选择题
1、（2021九上·海珠期末）如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【解答】解：设⊙O的半径为r，
∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，AB=8，
∴AE=AB=4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：AE2+OE2=OA2，
即42+（r-2）2=r2，
解得：r=5，
即⊙O的半径为5，
2、（2021九上·平谷期末）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】B
【解答】解：连接OC，如图
∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，
∴，
∵，
∴，
∴；
3、（2021九上·天河期末）半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图
由题意知，OA=4，OD=CD=2，OC⊥AB，
∴AD=BD，
在Rt△AOD中，，
∴．
4、（2022九上·东阳期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
【答案】D
【解答】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ON⊥AB与CD、AB的交点为 M、N
由题意知
，
，
在
中，由勾股定理得
在
中，由勾股定理得
∴
②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PN⊥EF与AB、EF的交点为N、P，连接OB
由题意知
，
，
在
中，由勾股定理得
在 中，由勾股定理得
∴
∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；
5、（2021九上·芜湖期末）往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm
【答案】C
【解答】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
则，
的直径为，
，
在中，，
，
即水的最大深度为，
6、（2021九上·杜尔伯特期末）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立是（ ）
A．弧AC＝弧AD B．弧BC＝弧BD
C．CE＝DE D．OE＝BE
【答案】D
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，
∴弧AC＝弧AD，弧BC＝弧BD，CE＝DE，
7、（2021九上·莒县月考）如图，AB是⊙O的直径，⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于点E．若OE∶OB＝3∶5，则直径AB的长为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．
【答案】B
【解答】解：连结OC，
∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径， CD是弦，
∴CE=DE=，
∵OE∶OB＝3∶5，
∴设OB=5m，OE=3m，
在Rt△OEC中，OC=OB=5m，根据勾股定理，即，
解得，
∴或舍去，
∴OB=5，
∴AB=2OB=10．
8、（2021九上·东营月考）如图，将一个半径为2cm的圆形卡片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A．2cm B． cm C． cm D． cm
【答案】C
【解答】解：如图，连接OA，连接点O关于AB的对称点E，交AB于点D，
由折叠得OD=DE= cm，OD⊥AB，
∴AD=BD= ，
在Rt△AOD中， ，
∴ cm，
∴ ，
9、（2021九上·龙沙期中）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD∥AC交 于点D，交BC于点E，若BC＝8，ED＝2，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】C
【解答】 AB是⊙O的直径，
，即
，
，
，
设圆的半径为 ，在 中， ，
即
解得
10、（2021九上·陵城期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则△OFC的面积是（ ）
A．40cm2 B．20cm2 C．10cm2 D．5cm2
【答案】D
【解答】解：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．
∴ ，
在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2
解得：OE=3cm，
∴ ，
∴ ，
∵OB=OC，OF⊥BC，
∴BF=CF，
∴
∴ ，
11、（2021九上·呼和浩特期中）已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为（ ）
A．1 B．7 C．4或3 D．7或1
【答案】D
【解答】①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB＝8，CD＝6，
∴AE＝4，CF＝3，
∵OA＝OC＝5，
∴由勾股定理得：EO＝ ＝3，OF＝ ＝4，
∴EF＝OF﹣OE＝1；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，
过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，
EF＝OF+OE＝7，
所以AB与CD之间的距离是1或7．
12、（2021九上·曲阜期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆，如图2，已知圆心 在水面上方，且 被水面截得的弦 长为6米， 半径长为4米．若点 为运行轨道的最低点，则点 到弦 所在直线的距离是（ ）
A．1米 B． 米 C．2米 D． 米
【答案】B
【解答】解：根据题意和圆的性质知点C为 的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD= AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD= = = ，
∴CD=OC﹣OD=4﹣ ，
即点 到弦 所在直线的距离是（4﹣ ）米，
二、填空题
13、（2021九上·江城期末）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，若OB＝5，AB＝8，则AC的长为 ．
【答案】
【解答】解：设AB与CD交于E，
∵CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，AB＝8，
∴AE=BE=，
在Rt△OEB中，根据勾股定理OE=，
∴CE=OC+OE=5+3=8，
在Rt△AEC中，AC=，
14、（2021九上·丰台期末）数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径．如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交于点D，连接CD，经测量cm，cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 cm．
【答案】5
【解答】解：设圆心为O，连接OB．
Rt△OBC中，BC＝AB＝4cm，
根据勾股定理得：OC2＋BC2＝OB2，即：（OB 2）2＋42＝OB2，
解得：OB＝5；
故轮子的半径为5cm．
15、（2022九上·诸暨期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为 .
【答案】2或14
【解答】解：如图，作OD⊥AB于D，延长OD交圆于点C，连结OB
则D为AB的中点，即AD=BD=
AB=6，
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：
所以OD=8，
当水面宽度为16时，分两种情况：
①如果
，连结OB′，设OC与 A'B'交于点E，
则E为A'B'的中点，即
在
中，根据勾股定理得：
所以OE=6
则水面比原来上涨的高度为8-6=2；
②如果
，同理求出水面比原来上涨的高度为8+6=14；
16、（2021九上·温州期末）如图，点 在半圆 上，BC是直径， .若 ，则BC的长为 .
【答案】
【解答】解：∵点A在半圆O上，弧AB=弧AC，
∴AB=AC，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，即三角形BAC为等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴BC=AB=.
17、（2021九上·历城期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O、A、B、C均在格点上，则过A、B、C三点的圆的圆心坐标为 ．
【答案】（1，4）
【解答】如图，分别作线段AB和BC的垂直平分线，其交点D，即为过A、B、C三点的圆的圆心．
根据图可知D点，即圆心坐标为(1，4)．
18、如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 ；点E在运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
【答案】；
【解答】解：连接AG，∵G(0，1)
∴OG=1，又AG=2
∴AO=
∵OC⊥AB
∴AB=2AO=
连接AC，过点G作GH⊥AC于点H，延长HG交AE 于点F，此时GF就是最短的，
∵C（0，3）
∴OC=3
根据勾股定理得AC=
∵CF⊥AE
∴HF=，
在Rt△CGH中，CG=OC-OG=3-1=2，CH=，
∴GH=
∴GF=HF-GH=
19、一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为 cm．
【答案】3
【解答】解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F
且△ABC为等边三角形，边长为4，
故高为2 ，即OC= ，
又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，
在Rt△OFC中，可得FC=OC cos30°= ，OF过圆心，且OF⊥CE，根据垂径定理易知CE=2FC=3．
三、解答题
20、（2021九上·香洲期末）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝6，求所在圆的半径．
【答案】解：连接OC，
∵M是CD的中点，EM⊥CD，
∴EM过⊙O的圆心点O， CM＝CD＝2 ，
设半径为x，
∵EM＝6，
∴OM＝EM－OE＝6－x，
在Rt△OCM中，OM2＋CM2＝OC2， 即（6－x）2＋22＝x2，
解得：x＝．
∴所在圆的半径为．
21、（2021九上·芜湖月考）如图，在△ABC中AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心，AB为半径作⊙A，延长BC交⊙A于点D，试求CD的长．
【答案】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD.
∴AD＝AB＝5，
根据垂径定理，得DE＝BE，
∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2.
根据勾股定理，得AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2
∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2
解得DE=
∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2=
22、（2021九上·德州期中）如图所示，一座圆弧形拱桥的跨度AB长为40米，桥离水面最大距离CD为10米，若有一条水面上宽度为30米，宽度为6米的船能否通过这座桥？请说明理由．
【答案】解：如图，假设船能通过，弧形桥所在的圆恢复如图，
在Rt△AOD中，r2=202+（r﹣10）2，
解得r=25，
∴OD=r﹣10=15，
在Rt△OEG中，r2=152+OG2，
解得OG=20，
∴可以通过的船的高度为GD=OG﹣OD=20﹣15=5，
∵6＞5，
∴船不能通过．
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九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》课时训练
一、选择题
1、（2021九上·海珠期末）如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C．3 D．5
2、（2021九上·平谷期末）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
3、（2021九上·天河期末）半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A． B． C． D．
4、（2022九上·东阳期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm
A．1 B．3 C．3或4 D．1或7
5、（2021九上·芜湖期末）往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A．36 cm B．27 cm C．24 cm D．15 cm
6、（2021九上·杜尔伯特期末）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立是（ ）
A．弧AC＝弧AD B．弧BC＝弧BD
C．CE＝DE D．OE＝BE
7、（2021九上·莒县月考）如图，AB是⊙O的直径，⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于点E．若OE∶OB＝3∶5，则直径AB的长为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．
8、（2021九上·东营月考）如图，将一个半径为2cm的圆形卡片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A．2cm B． cm C． cm D． cm
9、（2021九上·龙沙期中）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD∥AC交 于点D，交BC于点E，若BC＝8，ED＝2，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
10、（2021九上·陵城期中）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则△OFC的面积是（ ）
A．40cm2 B．20cm2 C．10cm2 D．5cm2
11、（2021九上·呼和浩特期中）已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为（ ）
A．1 B．7 C．4或3 D．7或1
12、（2021九上·曲阜期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的圆，如图2，已知圆心 在水面上方，且 被水面截得的弦 长为6米， 半径长为4米．若点 为运行轨道的最低点，则点 到弦 所在直线的距离是（ ）
A．1米 B． 米 C．2米 D． 米
二、填空题
13、（2021九上·江城期末）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，若OB＝5，AB＝8，则AC的长为 ．
14、（2021九上·丰台期末）数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径．如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交于点D，连接CD，经测量cm，cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 cm．
15、（2022九上·诸暨期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为 .
16、（2021九上·温州期末）如图，点 在半圆 上，BC是直径， .若 ，则BC的长为 .
17、（2021九上·历城期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O、A、B、C均在格点上，则过A、B、C三点的圆的圆心坐标为 ．
18、如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 ；点E在运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
19、一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为 cm．
三、解答题
20、（2021九上·香洲期末）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝6，求所在圆的半径．
21、（2021九上·芜湖月考）如图，在△ABC中AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心，AB为半径作⊙A，延长BC交⊙A于点D，试求CD的长．
22、（2021九上·德州期中）如图所示，一座圆弧形拱桥的跨度AB长为40米，桥离水面最大距离CD为10米，若有一条水面上宽度为30米，宽度为6米的船能否通过这座桥？请说明理由．
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