1.5 三角函数的应用 精品课件（19张PPT）

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九下数学同步精品课件
北师大版九年级下册
数学（北师大版）
九年级 下册
1.5 三角函数的应用
第一章 直角三角形的边角关系
2022-2023北师大版九下数学精品课件
课前回顾
将30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表：
锐角a 三角 函数 30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
1
直角三角形两锐角的关系:
直角三角形三边的关系:
直角三角形边与角之间的关系:
勾股定理 a +b =c .
两锐角互余 ∠A+∠B=90 .
cos A=
tan A =
sin A = sin B=
课前导入
学习目标
1）体会三角函数在解决实际问题的应用。
2）将实际模型转化为数学问题求解。
重点
体会三角函数在解决实际问题的应用。
难点
将实际模型转化为数学问题求解。
理解仰角、俯角、方向角的概念
在视线与水平线所成的角中规定:
1)视线在水平线上方的叫做仰角，
2)视线在水平线下方的叫做俯角 。
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
【问题】尝试说出A,B关于坐标原点O的位置？
点A位于点O北偏东30°位置，点B位于点O南偏西45°位置
情景引入
如图，海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁。今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西550的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C处, 之后货轮继续向东航行.
(提示：sin25 = 0.4 、tan25 = 0.5、 sin55 =0.8 、tan55 =1.4)
A
B
C
北
东
55
25
20海里
D
【问题】你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗
要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁的危险.
情景引入
如图，海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁。今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西550的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C处, 之后货轮继续向东航行.
(提示：sin25 = 0.4 、tan25 = 0.5、 sin55 =0.8 、tan55 =1.4)
A
B
C
北
东
55
25
20海里
D
【问题】你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗
解:过点A作AD⊥BC的延长线于点D.根据题意可知,
∠BAD=550,∠CAD=250,BC= 20海里.设AD=x海里
.
答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
课堂基础练
如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计,结果精确到1m).
30
60
50 m
解法1:如图,根据题可知:∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.
设CD=x,则∠ADC=60 ,∠BDC=30 ,
在Rt△ADC中,tan60 = 在Rt△BDC中,tan30 =
∵AC-BC=AB
答:该塔约有43m高.
课堂基础练
如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计,结果精确到1m).
30
60
50 m
解法2:如图,根据题意知,∠A=30 ,∠DBC=60 ,AB=50m.
则∠ADC=60 ,∠BDC=30 , ∴∠BDA=30
∴∠A=∠BDA∴BD=AB=50
在Rt△DBC中,∠DBC=60 则sin60 =
∴DC=50×sin60 =25 43 m
答:该塔约有43m高
情景引入
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）。
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
解：∵∠α+∠β=90°∴△ABC为直角三角形
而AD是水平线，所以AD⊥BC
∴△ABD, △ACD为直角三角形
且∠C= ∠ α=30°， ∠B= ∠ β =60°
∵直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半∴AC=240 m
∴设BD=x,则AB=2x，由勾股定理得= +
解得x= 4 m，同理求得DC= 1 m
则BC=BD+DC=1≈277 m 答：楼高277米
情景引入
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）。
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
解：∵a=30°，β=60°， AD＝120．
∴tan a = ，tan β =
∴BD=AD tan a =4 m
CD=AD tan β =1 m
则BC=BD+DC=1≈277 m 答：楼高277米
课堂基础练
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－ 65°）＝80×cos25°≈80×0.91=72.8 海里
在Rt△BPC中，∠B＝34°
海里
答：当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，
它距离灯塔P大约130海里．
情景引入
如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽．（精确到0.1m）参考数据：≈1.414，≈1.732
【详解】
解：在Rt△CDE中，
∵sin∠C=，cos∠C=，
∴DE=sin30°×DC=×14=7 m ，CE=cos30°×DC=×14=7≈12.124≈12.12 m ，
∵四边形AFED是矩形，∴EF=AD=6m，AF=DE=7m，
在Rt△ABF中，∵∠B=45°，∴BF=AF=7m，
∴BC=BF+EF+EC≈7+6+12.12=25.12≈25.1 m，
答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．
课堂基础练
如图，为了测量河宽，先在A处测得对岸点在其北偏东方向，然后沿河岸直行100米到点，在点测得对岸点在其北偏西方向，则河宽是__________米．（结果保留根号）
课堂基础练
一座建于若干年前的水库大坝，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了__平方米．
【详解】
解：如图：
∵背水坡AB的坡度为1：0.75，AC＝4，∴＝0.75，解得，BC＝3，
∵坡AD的坡度为1：2，AC＝4，∴CD＝8，∴BD＝DC﹣BC＝5，
∴△ADB的面积＝×5×4＝10（平方米），
故答案为：10．
课堂基础练
【详解】
解：（1）过点作的垂线交于点，
∵垂线段最短，上的点距离点最近，即为所求，
由题意可知：∠BAF=30°，∠CAF=15°，
∴
∴ 渔船航行时，距离小岛最近
如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛40的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．
1）渔船航行多远距离小岛最近(结果保留根号)？
2）渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行到点处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？
课堂基础练
（2）在中，，
∠DBC=60°，
∵∠ABD=45°，∠ABE=90°-30°=60°，
∴.
答：从处沿南偏东出发，最短行程.
如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛40的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．
1）渔船航行多远距离小岛最近(结果保留根号)？
2）渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行到点处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？
谢谢
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