4.4 对数函数
1．对数函数的定义
一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(1)由于指数函数y＝ax中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝logax中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.
(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.
2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
非奇非偶函数
3.反函数
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
4．对数型复合函数的单调性
复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.
对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．
5．对数型复合函数的值域
对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；
(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝logau的单调性求解．
题型一 对数函数的判断
例1、（1）给出下列函数：
①；②；③；④.
其中是对数函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）若函数为对数函数，则（ ）
A． B． C． D．
跟踪练习
1．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．若函数是对数函数，_________.
题型二 对数函数的解析式或函数值
例2（1）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（ ）
A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x
（2）设（且），若，则（ ）.
A．2 B． C． D．
跟踪练习
1．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（ ）
A． B．
C．或 D．不确定
2．若函数的图像过点，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
题型三 对数函数的定义域
例3（1）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（2）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
（3）若函数的定义域为，则（ ）
A．1 B．－1
C．2 D．无法确定
跟踪练习
1．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4.求下列函数的定义域
（1）；
（2）函数
（3）
题型四 对数函数的定点
例4函数（，且）的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
跟踪练习
1．函数的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图象必过的点是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数（且）的图象恒过定点P，点P在幂函数的图象上，则（ )
A． B．2 C．1 D．
题型五 对数函数的值域（最值）
例5（1）已知，则函数的值域是 。
（2）函数的值域为_________．
（3）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 。
（4）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是
跟踪练习
1．已知函数，则f（x）的值域是（ ）
A． B．[﹣，2] C．[0，2] D．[0，]
2．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知且，若函数的值域为[1，+∞），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的值域为R，则的取值范围是________.
5．已知函数的值域是R，则实数的最大值是___________；
题型六 对数函数的单调性
例6（1）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
（2）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
（3）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
（4）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
跟踪练习
1．下列函数在其定义域内为减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的单调递减区间为___________.
3．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________．
4．已知函数（，且）在上是减函数，则实数a的取值范围是________．
题型七 对数函数比较大小
例7（1）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
（2）．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
跟踪练习
1．已知，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
2．已知，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
3．已知，，，则x，y，z的大小关系是
A． B． C． D．
4．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型八 解对数不等式
例8（1）不等式log(5＋x)
（2）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
跟踪练习
1．“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
2．不等式<的解集为( )
A．(－∞，3) B.
C. D.
3．若loga<1，则实数a的取值范围是( )
A.∪(1，＋∞) B.
C. D.
4．已知函数是奇函数，则的解集为_______．
题型九 图像问题
例9图中曲线分别表示的图像，，的关系是（ ）
A． B．
C． D．
跟踪练习
1．已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，，的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
题型十 反函数
例10（1）已知函数图像与函数的图像关于对称，则____.
（2）若函数的图像与的图像关于直线对称，则___________.
跟踪练习
1．已知（且），若函数的反函数为．若，则__________．
2．若函数，没有反函数，则的取值范围是__________．
3．已知函数的反函数为，若函数的图像过点，则实数a的值为__________．4.4 对数函数
1．对数函数的定义
一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(1)由于指数函数y＝ax中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝logax中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.
(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.
2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
非奇非偶函数
3.反函数
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
4．对数型复合函数的单调性
复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.
对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．
5．对数型复合函数的值域
对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；
(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝logau的单调性求解．
题型一 对数函数的判断
例1、（1）给出下列函数：
①；②；③；④.
其中是对数函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）若函数为对数函数，则（ ）
A． B． C． D．
解:（1）①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；
③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
（2）由题可知：函数为对数函数
所以或，又且所以
跟踪练习
1．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】形如（且）的函数为对数函数，故③④为对数函数，所以共有个.
2．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；
由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；
由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；
由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；
只有③④符合对数函数的定义.
3．（全国高一课时练习）若函数是对数函数，_________.
【解析】由对数函数的定义可知，，解得．
题型二 对数函数的解析式或函数值
例2（1）（上海高一专题练习）对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（ ）
A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x
（2）（全国高一课前预习）设（且），若，则（ ）.
A．2 B． C． D．
【解析】（1）设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)．由于对数函数的图像过点M(125，3)，
所以3＝loga125，得a＝5.所以对数函数的解析式为y＝log5x.
（2）因为（且），，所以，即，解得，
所以，所以.
跟踪练习
1．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（ ）
A． B．
C．或 D．不确定
【解析】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为．
2．若函数的图像过点，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【解析】由题, .
题型三 对数函数的定义域
例3（1）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（2）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
（3）若函数的定义域为，则（ ）
A．1 B．－1
C．2 D．无法确定
【解析】（1）对于函数，有，解得.
因此，函数的定义域为.
由，得，所以，所以．
（3）函数的定义域为，则的解集为，
即，且的根，故.
跟踪练习
1．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】要使函数有意义，只需，即，解得或．
2．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由已知得，解得，所以函数的定义域为
3．若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数的定义域为，所以，所以，
解得：，所以的定义域为.
4.求下列函数的定义域
（1）；
（2）函数
（3）
【解析】（1）若要使函数有意义，则，解得或且，
所以该函数的定义域为；
（2）若要使函数有意义，则，解得，
所以该函数的定义域为；
（3）若要使函数有意义，则，解得且，，
所以该函数的定义域为.
题型四 对数函数的定点
例4函数（，且）的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【解析】令，，则，即函数图象过定点．
跟踪练习
1．函数的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于函数，令，可得，则，
因此，函数的图象过定点.
2．函数的图象必过的点是（ ）
A． B． C． D．
【解析】，则当，即时，是与的值无关的定值，
故函数的图形必过的点是.
3．（湖北高一开学考试）已知函数（且）的图象恒过定点P，点P在幂函数的图象上，则（ )
A． B．2 C．1 D．
【解析】函数中，令，解得，此时；
所以函数y的图象恒过定点，又点P在幂函数的图象上，所以，解得；所以，所以．
题型五 对数函数的值域（最值）
例5（1）已知，则函数的值域是 。
（2）函数的值域为_________．
（3）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 。
（4）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是
解析（1）函数在上单调递增所以，即所以函数的值域为
（2）因为，所以，，
因此，，故函数的值域为.
（3）当时，，则，
所以，函数在区间上的值域包含，
所以，存在，使得，即，
而函数在区间上为增函数，，.
（4）∵函数的值域为，
令，
当时，，不合题意；
当时，，此时，满足题意；
当时，要使函数的值域为，
则函数的值域 包含，
，解得，综上，实数的取值范围是.
跟踪练习
1．已知函数，则f（x）的值域是（ ）
A． B．[﹣，2] C．[0，2] D．[0，]
【解析】函数是减函数，
所以函数的最小值为：，
函数的最大值为：．
函数的值域为：．
2．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设，，
因为函数的值域为，所以要能取到的所有数，
当时，满足条件；
当时，，得；
当时，不成立.
综上可知，.
3．已知且，若函数的值域为[1，+∞），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由函数，
当时，，
当时，，若时，
函数单调递减，所以，
若时，函数单调递增，所以，
又因为分段函数的值域为[1，+∞），
所以，，
所以.
所以的取值范围是.
4．（广东阳江·高一期末）函数的值域为R，则的取值范围是________.
【解析】∵函数的值域为R，
能够取到大于的所有数，
则，
解得：或，
∴实数的取值范围是．
5．已知函数的值域是R，则实数的最大值是___________；
【解析】当时，．因为的值域为，则当时，．
当时，，故在，上单调递增，
，即，解得，即的最大值为8．
题型六 对数函数的单调性
例6（1）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
（2）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
（3）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
（4）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
【解析】（1）由幂函数性质知是奇函数，是偶函数，由指数函数性质知不是奇函数也不是偶函数，由绝对值性质和对数函数性质知是偶函数，又是定义域内是增函数．故选：A．
（2）由，
而对数函数在上是减函数，在上是增函数，
所以函数单调递增区间为．故选：C
（3）对于函数，有，解得或，
故函数的定义域为，
内层函数在上单调递减，在上单调递增，
外层函数为减函数，
由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为.故选：D.
（4）函数是由与复合而成，
①当时，因为为减函数，且函数在区间上单调递增，所以在上单调递减，结合的图像可得，解得
②当时，因为为增函数，且函数在区间上单调递增，所以在上单调递增，又因为此时，结合的图像可知此时符合题意
综上所述：实数a的取值范围为或.故选：C
跟踪练习
1．下列函数在其定义域内为减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由幂函数的性质，可知A中函数为单调增函数，由一次函数性质可知B中函数为增函数，由对数函数性质可知C中函数为增函数，由指数函数性质，可知D中函数为单调减函数.
2．函数的单调递减区间为___________.
【解析】由得，
令，由于函数的对称轴为，开口向上，
∴在上递减，在（4，＋∞）递增，
又由函数是定义域内的减函数，
∴原函数的单调递减区间为（4，＋∞）．
3．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________．
【解析】由可得，解得，
函数是由和复合而成，
又对称轴为，开口向下，
所以 在上单调递增，在上单调递减，
因为为减函数，
所以的单调增区间为，
因为在区间内单调递增，
所以，解得，
所以实数的取值范围为，故答案为：．
4．已知函数（，且）在上是减函数，则实数a的取值范围是________．
【解析】令，则，因为，所以递减，
由题意知在内递增，所以．又在上恒大于0，所以，即．
综上，实数a的取值范围是：．
题型七 对数函数比较大小
例7（1）（全国）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
（2）．（广西南宁三中）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为
A． B． C． D．
【解析】（1）因为，，，，，，
所以故选: A .
（2）由题意：，且：，
据此：，结合函数的单调性有：，
跟踪练习
1．已知，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
【解析】，，，.
2．已知，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
【解析】，，
，故，所以．
3．已知，，，则x，y，z的大小关系是
A． B． C． D．
【解析】解：，，，，y，z的大小关系为．
4．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为为减函数，所以，
因为在单调递减，所以，
因为在单调递增，，
即，，，所以.
题型八 解对数不等式
例8（1）不等式log(5＋x)（2）（运城市新康国际实验学校高一开学考试）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】（1）不等式满足解得－2（2）定义在上的函数满足，所以为偶函数，
当时，为增函数，
由结合偶函数图象的对称性可知，
两边平方并化简得，解得.
所以不等式的解集为.故选：A
跟踪练习
1．“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
【解析】，一定有，但时，不一定有，如，都不存在，因此题中是必要不充分条件．
2．不等式<的解集为( )
A．(－∞，3) B.
C. D.
【解析】由题意可得解得3．若loga<1，则实数a的取值范围是( )
A.∪(1，＋∞) B.
C. D.
【解析】 当a>1时，满足条件；
当04．（安徽省亳州市第一中学高一月考）已知函数是奇函数，则的解集为_______．
【解析】根据题意，函数，则，
若为奇函数，则有，解得：，所以，
又当时单调递增，且，根据奇函数的性质可得在上单调递增，因为，所以，解得，即原不等式的解集为；故答案为：
题型九 图像问题
例9图中曲线分别表示的图像，，的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】如图所示：
当时，，
因为，
所以
跟踪练习
1．已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由的图象可知，，
所以，得，，所以，所以幂函数在第一象限的图象可能为.
2．已知函数，，的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由图,当时,,当时,又幂函数为增函数且上凸,故.故.
3．设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
【解析】对于A：要判断的是幂函数的图像，根据的图像可以判断，故A正确；
对于B：要判断的是指数函数的图像，作出x=1，看交点，交点高，底数越大，所以，故B正确；
对于C、D：要判断的是对数函数的图像，作出y=1，看交点，交点越靠由，底数越大，所以，故D正确， C错误；
故选：C
题型十 反函数
例10（1）已知函数图像与函数的图像关于对称，则____.
（2）若函数的图像与的图像关于直线对称，则___________.
【解析】（1）∵函数的图象与函数的图象关于直线对称，
∴函数与函数互为反函数，∴，∴.故答案为：．
（2）令，即 ，解得 ，
因为函数的图像与的图像关于直线对称，所以3故答案为：3
跟踪练习
1．已知（且），若函数的反函数为．若，则__________．
【解析】．故答案为：2
2．若函数，没有反函数，则的取值范围是__________．
【解析】因为函数，，没有反函数，
则函数在定义域内不单调，又函数的对称轴为，所以，解得，故答案为：．
3．已知函数的反函数为，若函数的图像过点，则实数a的值为__________．
【解析】的图象过点，函数的图象过点，
又，，即．故答案为：．