第一章 空间向量与立体几何 测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 第一章 空间向量与立体几何 测试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 682.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-10 14:00:15 | ||
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文档简介
空间向量与立体几何测试(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知平面α的一个法向量是，，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )
A． B． C． D．
2．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则( )
A． B．
C． D．
3．已知，则的最小值是( )
A． B． C． D．
4．已知，则下列向量中与平行的是( )
A．(1,1,1) B．(－4,6,－2) C．(2,－3,5) D．(－2,－3,5)
5．已知给出下列等式：
①；②；③
④.其中正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知点，，则，两点的距离的最小值为
A． B． C． D．
7．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为( )
A． B． C． D．
8．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是( )
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知空间三点A(1,0,3)，B(－1,1,4)，C(2，－1,3)．若∥，且||＝，则点P的坐标为( )
A．(4，－2,2) B．(－2,2,4)
C．(－4,2，－2) D．(2，－2,4)
10．正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．平面平面
C．面AEF D．二面角的大小为
11. 已知空间三点A(1,0,3)，B(－1,1,4)，C(2，－1,3)．若∥，且||＝，则点P的坐标为( )
A．(4，－2,2) B．(－2,2,4)
C．(－4,2，－2) D．(2，－2,4)
12．如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．与平面所成的最大角为
B．存在某个位置，使得
C．当二面角的大小为时，
D．存在某个位置，使得到平面的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－n，则m＝________.
14．已知平面的一个法向量，，，且，则直线与平面所成的角为______．
15．在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为________．
16．如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
已知空间四边形 中, 分别是 的中点, 点 在 上且 , 如图, 设 , 试用 为基底表示 。
18．(本小题满分12分)
已知在空间直角坐标系中, , .
(1)求 ;
(2)若点 满足 , 求点 的坐标;
(3) 若 , 求 .
19．(本小题满分12分)
如图所示, 在多面体 中, 四边形 均为正方形, 为 的中点, 过 的平面交 于 。
(1)证明: ;
(2)求二面角 的余弦值。
20．(本小题满分12分)
在直三棱柱 中, 是 的中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)求直线 到平面 的距离.
21.(本小题满分12分)
如图, 四棱雉 中, 底面 ,
(1)求证: 平面 ;
(2)若二面角 的余弦值为 , 求点 到平面 的距离。
22．(本小题满分12分)
在直三棱柱 中, 是 的中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)求直线 到平面 的距离.
参考答案
1【解析】
平面α的一个法向量是，，设平面的法向量为，
则，对比四个选项可知，只有D符合要求，故选：D.
2【解析】
连接，如图，
则
.
故选：A.
3【解析】
由题意可知：
所以 ，
则： ，当且仅当时取等号．
即 的最小值是.故选：A
4【解析】
若，则，所以；而为(1,1,1)、(2,－3,5)、(－2,－3,5)时，不存在的关系.故选：B
5【解析】
由题设可得，则；
，，则①正确；
因，
，故②正确；
又因，而，
所以，即③正确；
又，则，
而，故，也即④正确.
故选：D．
6【解析】
因为点，所以
有二次函数易知，当时，取得最小值为 的最小值为 故选：C.
7【解析】
因为四边形是平行四边形，
,
,
,
,
，
即.
故选：A
8【解析】
如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
则，，
设和的公垂线的方向向量，
则，即，令，则，
，
.
故选：D.
9【解析】
设＝(3λ，－2λ，－λ)．又||＝，
∴＝，解得λ＝±1，
∴＝(3，－2，－1)或＝(－3,2,1)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－1，y，z－3)，
∴或
解得或
故点P的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4)．
10【解析】
由题可知，在底面上的射影为，而不垂直，
则不垂直于，则选项不正确；
连接和，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，
可知，所以平面，
则平面平面，所以选项正确；
由题知，可设正方体的棱长为2，
以为原点，为轴，为轴，为轴，
则各点坐标如下：
，
设平面的法向量为，
则，即，令，得，
得平面的法向量为，
所以，所以平面，则选项正确；
由图可知，平面，所以是平面的法向量，
则.
得知二面角的大小不是，所以不正确.
故选：BC.
11【解析】
设＝(3λ，－2λ，－λ)．又||＝，
∴＝，解得λ＝±1，
∴＝(3，－2，－1)或＝(－3,2,1)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－1，y，z－3)，
∴或
解得或
故点P的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4)．
12【解析】
如图所示：
A项：取的中点，连结、，
因为四边形是菱形，是线段的中点，
所以,
平面，平面，
所以平面，所以平面，
所以在平面的射影为，
即与平面所成角，
，三角形是等腰三角形，
当时，与平面所成角为，故A错误；
B项：当时，取的中点，
可得，，故平面，，故B正确；
C项：因为四边形是菱形，是线段的中点，
所以，，
因为是平面与平面的交线，
所以即平面与平面所成角，
因为二面角的大小为，所以，
因为，所以，故C正确；
D项：因为，所以如果到平面的距离为，
则平面，，，，
，则，显然不可能，故D错误，
故选：BC.
13【解析】
由于＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以m＝，n＝－.
14【解析】
设直线与平面所成的角为，
则，
∴直线与平面所成的角为．故答案为：．
15【解析】
不妨设CB＝1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)．
∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)．
cos 〈，〉＝＝＝.
16【解析】
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则点到平面距离为，①
点到平面距离为，②
由①②可得，
所以到平面的距离为.
故答案为:.
17【解析】
18【解析】
(1) 因为 , 所以 , . 所以 , 5), 又 ,4)所以 , 又 , 所以 .
(2)由(1)知,
若设 , 则 于是 解得 故.
(3) 由(1)知 .
.
19【解析】
(1)证明: 由正方形的性质可知 , 且 , 所以四边形 为平行四边形, 从 而 。 又 平面 平面 , 于是 平面 。 又 平面 , 平面 平 面 , 所以
(2)因为四边形 均为正方形, 所以 , 且 。
以 为原点, 分别以 的方向为 轴、 轴和 轴的正方向建立如图所示
的空间直角坐标系, 设正方形的 边长均为 1 , 可得点的坐标 。 因为 点为 的中点, 所以 点的坐标为 。 设平面 的一个法向量为 , 由 , 得 令
, 可得 。设平面 的一个法向量 , 。由此同理可得 。结合图形知, 二面角 的余弦值为 。
20【解析】
(1)连接 交 于点 , 连接 , 则点 为 的中点, 又 是 的中点, 所以 ,
因为 平面 平面 ,
所以 平面 ;
(2)因为 平面 , 所以 到平面 的距离就等于点 到平面 的距离. 以 点 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系,
则 . 设平面 的法向量为 ,
所以 即 即 令 , 则
. 所求距离为 .
21【解析】
(1)证明：因为 底面 平面 , 所以 , 因为 , 所以 , 又 , 所以 平面 。
(2)设 , 取 的中点 , 则 , 所以 。 又 底面 , 所以 , , 故建立如图所示的空间直角坐标系,
则 , 设平面 的法向量 ,
则 取 , 所以 。 由(1)知平面 的一个法向量为 , 所以
, 解得 , 同理可求得平面 的一个法向量 , 2), 所以, 点 到平面 的距离为
22【解析】
(1)连接 交 于点 , 连接 , 则点 为 的中点, 又 是 的中点, 所以 ,
因为 平面 平面 ,
所以 平面 ;
(2)因为 平面 , 所以 到平面 的距离就等于点 到平面 的距离. 以 点 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系,
则 . 设平面 的法向量为 ,
所以 即 即 令 , 则 . 所求距离为 .
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知平面α的一个法向量是，，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )
A． B． C． D．
2．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则( )
A． B．
C． D．
3．已知，则的最小值是( )
A． B． C． D．
4．已知，则下列向量中与平行的是( )
A．(1,1,1) B．(－4,6,－2) C．(2,－3,5) D．(－2,－3,5)
5．已知给出下列等式：
①；②；③
④.其中正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知点，，则，两点的距离的最小值为
A． B． C． D．
7．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为( )
A． B． C． D．
8．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是( )
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知空间三点A(1,0,3)，B(－1,1,4)，C(2，－1,3)．若∥，且||＝，则点P的坐标为( )
A．(4，－2,2) B．(－2,2,4)
C．(－4,2，－2) D．(2，－2,4)
10．正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．平面平面
C．面AEF D．二面角的大小为
11. 已知空间三点A(1,0,3)，B(－1,1,4)，C(2，－1,3)．若∥，且||＝，则点P的坐标为( )
A．(4，－2,2) B．(－2,2,4)
C．(－4,2，－2) D．(2，－2,4)
12．如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．与平面所成的最大角为
B．存在某个位置，使得
C．当二面角的大小为时，
D．存在某个位置，使得到平面的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－n，则m＝________.
14．已知平面的一个法向量，，，且，则直线与平面所成的角为______．
15．在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为________．
16．如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
已知空间四边形 中, 分别是 的中点, 点 在 上且 , 如图, 设 , 试用 为基底表示 。
18．(本小题满分12分)
已知在空间直角坐标系中, , .
(1)求 ;
(2)若点 满足 , 求点 的坐标;
(3) 若 , 求 .
19．(本小题满分12分)
如图所示, 在多面体 中, 四边形 均为正方形, 为 的中点, 过 的平面交 于 。
(1)证明: ;
(2)求二面角 的余弦值。
20．(本小题满分12分)
在直三棱柱 中, 是 的中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)求直线 到平面 的距离.
21.(本小题满分12分)
如图, 四棱雉 中, 底面 ,
(1)求证: 平面 ;
(2)若二面角 的余弦值为 , 求点 到平面 的距离。
22．(本小题满分12分)
在直三棱柱 中, 是 的中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)求直线 到平面 的距离.
参考答案
1【解析】
平面α的一个法向量是，，设平面的法向量为，
则，对比四个选项可知，只有D符合要求，故选：D.
2【解析】
连接，如图，
则
.
故选：A.
3【解析】
由题意可知：
所以 ，
则： ，当且仅当时取等号．
即 的最小值是.故选：A
4【解析】
若，则，所以；而为(1,1,1)、(2,－3,5)、(－2,－3,5)时，不存在的关系.故选：B
5【解析】
由题设可得，则；
，，则①正确；
因，
，故②正确；
又因，而，
所以，即③正确；
又，则，
而，故，也即④正确.
故选：D．
6【解析】
因为点，所以
有二次函数易知，当时，取得最小值为 的最小值为 故选：C.
7【解析】
因为四边形是平行四边形，
,
,
,
,
，
即.
故选：A
8【解析】
如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
则，，
设和的公垂线的方向向量，
则，即，令，则，
，
.
故选：D.
9【解析】
设＝(3λ，－2λ，－λ)．又||＝，
∴＝，解得λ＝±1，
∴＝(3，－2，－1)或＝(－3,2,1)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－1，y，z－3)，
∴或
解得或
故点P的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4)．
10【解析】
由题可知，在底面上的射影为，而不垂直，
则不垂直于，则选项不正确；
连接和，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，
可知，所以平面，
则平面平面，所以选项正确；
由题知，可设正方体的棱长为2，
以为原点，为轴，为轴，为轴，
则各点坐标如下：
，
设平面的法向量为，
则，即，令，得，
得平面的法向量为，
所以，所以平面，则选项正确；
由图可知，平面，所以是平面的法向量，
则.
得知二面角的大小不是，所以不正确.
故选：BC.
11【解析】
设＝(3λ，－2λ，－λ)．又||＝，
∴＝，解得λ＝±1，
∴＝(3，－2，－1)或＝(－3,2,1)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－1，y，z－3)，
∴或
解得或
故点P的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4)．
12【解析】
如图所示：
A项：取的中点，连结、，
因为四边形是菱形，是线段的中点，
所以,
平面，平面，
所以平面，所以平面，
所以在平面的射影为，
即与平面所成角，
，三角形是等腰三角形，
当时，与平面所成角为，故A错误；
B项：当时，取的中点，
可得，，故平面，，故B正确；
C项：因为四边形是菱形，是线段的中点，
所以，，
因为是平面与平面的交线，
所以即平面与平面所成角，
因为二面角的大小为，所以，
因为，所以，故C正确；
D项：因为，所以如果到平面的距离为，
则平面，，，，
，则，显然不可能，故D错误，
故选：BC.
13【解析】
由于＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以m＝，n＝－.
14【解析】
设直线与平面所成的角为，
则，
∴直线与平面所成的角为．故答案为：．
15【解析】
不妨设CB＝1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)．
∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)．
cos 〈，〉＝＝＝.
16【解析】
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则点到平面距离为，①
点到平面距离为，②
由①②可得，
所以到平面的距离为.
故答案为:.
17【解析】
18【解析】
(1) 因为 , 所以 , . 所以 , 5), 又 ,4)所以 , 又 , 所以 .
(2)由(1)知,
若设 , 则 于是 解得 故.
(3) 由(1)知 .
.
19【解析】
(1)证明: 由正方形的性质可知 , 且 , 所以四边形 为平行四边形, 从 而 。 又 平面 平面 , 于是 平面 。 又 平面 , 平面 平 面 , 所以
(2)因为四边形 均为正方形, 所以 , 且 。
以 为原点, 分别以 的方向为 轴、 轴和 轴的正方向建立如图所示
的空间直角坐标系, 设正方形的 边长均为 1 , 可得点的坐标 。 因为 点为 的中点, 所以 点的坐标为 。 设平面 的一个法向量为 , 由 , 得 令
, 可得 。设平面 的一个法向量 , 。由此同理可得 。结合图形知, 二面角 的余弦值为 。
20【解析】
(1)连接 交 于点 , 连接 , 则点 为 的中点, 又 是 的中点, 所以 ,
因为 平面 平面 ,
所以 平面 ;
(2)因为 平面 , 所以 到平面 的距离就等于点 到平面 的距离. 以 点 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系,
则 . 设平面 的法向量为 ,
所以 即 即 令 , 则
. 所求距离为 .
21【解析】
(1)证明：因为 底面 平面 , 所以 , 因为 , 所以 , 又 , 所以 平面 。
(2)设 , 取 的中点 , 则 , 所以 。 又 底面 , 所以 , , 故建立如图所示的空间直角坐标系,
则 , 设平面 的法向量 ,
则 取 , 所以 。 由(1)知平面 的一个法向量为 , 所以
, 解得 , 同理可求得平面 的一个法向量 , 2), 所以, 点 到平面 的距离为
22【解析】
(1)连接 交 于点 , 连接 , 则点 为 的中点, 又 是 的中点, 所以 ,
因为 平面 平面 ,
所以 平面 ;
(2)因为 平面 , 所以 到平面 的距离就等于点 到平面 的距离. 以 点 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系,
则 . 设平面 的法向量为 ,
所以 即 即 令 , 则 . 所求距离为 .