第三章 圆锥曲线的方程 测试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程 测试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 716.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-10 14:04:11 | ||
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文档简介
圆锥曲线的方程测试(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为( )
A. B．2 C．2 D．4
2．抛物线x2＝4y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为( )
A．2 B．1
C．2 D．3
3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A. B. C．1 D.
4．曲线与曲线的（）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
5．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上，则·等于( )
A．－12 B．－2 C．0 D．4
6．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k等于( )
A. B.
C. D.
8．设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A．椭圆的焦点坐标为(2,0) (-2,0) B．椭圆C的长轴长为
C．直线的方程为 D．
10．已知双曲线，则( )
A．双曲线的焦距为
B．双曲线的虚轴长是实轴长的倍
C．双曲线与双曲线的渐近线相同
D．双曲线的顶点坐标为
11. 已知点P在双曲线上，，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有( )
A．点P到x轴的距离为 B．
C．为钝角三角形 D．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，设与轴的交点为，点为上异于的任意一点，点在上的射影为点，的外角平分线交轴于点，过作于点，过作，交线段的延长线于点，则( )
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．已知点，椭圆的右焦点为，若线段的中点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为______．
14．椭圆：的上 下顶点分别为，，如图，点在椭圆上，平面四边形满足，且，则该椭圆的短轴长为___________.
15．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点为直线上的一个动点(不在坐标轴上)，则当的最大值为时，椭圆的离心率是_________.
16．已知抛物线的焦点为，点为上一点，点为轴上一点，若是正三角形，且，则抛物线的准线方程为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线方程为.
(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)求双曲线的标准方程．
18．(本小题满分12分)
设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.
19．(本小题满分12分)
已知双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且与以点为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个顶点与点A关于直线对称，设直线l过点A，斜率为k．
(1)求双曲线C的方程；
(2)当时，在双曲线C的上支上求点B，使其与直线l的距离为．
20．(本小题满分12分)
如图，椭圆：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点．
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距的范围．
21.(本小题满分12分)
已知抛物线E：的焦点为F，直线与E相交所得线段的长为．
(1)求E的方程；
(2)若不过点F的直线l与E相交于A，B两点，请从①AB中点的纵坐标为3，②的重心在直线上，③这三个条件中任选两个作为已知条件，求直线l的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
22．(本小题满分12分)
已知椭圆C：，长轴是短轴的3倍，点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在点，使得直线TM，TN斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1【解析】
方程化为标准方程为－＝1，
∴a2＝3，b2＝9.
∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，∴2c＝4.
2【解析】
根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.根据抛物线定义，得yP＋1＝3，解得yP＝2，代入抛物线方程求得xP＝± ，∴点P到y轴的距离为.
故选A.
3【解析】
抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，到双曲线x2－＝1的渐近线x－y＝0的距离为＝，故选B.
4【解析】
首先化简为标准方程，，由方程形式可知，曲线的长轴长是8，短轴长是6，焦距是，离心率 ，，的长轴长是，短轴长是，焦距是，离心率，所以离心率相等.
故选D.
5【解析】
由渐近线方程为y＝x，知双曲线是等轴双曲线，所以双曲线方程是x2－y2＝2，
于是两焦点分别是F1(－2,0)和F2(2,0)，且P(，1)或P(，－1)．不妨取点P(，1)，
则＝(－2－，－1)，＝(2－，－1)．
所以·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝－(2＋)(2－)＋1＝0.
6【解析】
由题意可知解得.
7【解析】
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0.
由
得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
Δ＝(4k2－8)2－16k4
＝－64k2＋64>0，
所以0所以x1x2＝4，①
根据抛物线的定义得，
|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋2.
因为|FA|＝2|FB|，所以x1＝2x2＋2，②
由①②得x2＝1(x2＝－2舍去)，
所以B(1,2)，代入y＝k(x＋2)得k＝.
8【解析】
当焦点在x轴时，
，
当焦点在y轴时，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
9【解析】
A：由椭圆方程知：其焦点坐标为，错误；
B：，即椭圆C的长轴长为，正确；
C：由题意，可设直线为，，，则，联立椭圆方程并整理得：，M为椭圆内一点则，
∴，可得，即直线为，正确；
D：由C知：，，则，正确.
故选：BCD.
10【解析】
因为，，
所以，，焦距为，所以A错误；
因为，所以B正确；
双曲线与双曲线的渐近线方程均为，所以C正确；
令，得，所以双曲线的顶点坐标为，所以D错误．
故选:BC．
11【解析】
由双曲线方程得，，则，
由△的面积为20，
得，得，即点到轴的距离为4，故错误，
将代入双曲线方程得，根据对称性不妨设，，
则，
由双曲线的定义知，
则，
则，故正确，
在△中，，
则，为钝角，
则△为钝角三角形，故正确，
，
则错误，
故正确的是，
故选：．
12【解析】
对A，由抛物线的定义知A正确；
对B，∵，∴，B正确；
对C，由题意知，又与不一定相等，∴与不一定相等，C错误；
对D，由题意知四边形为矩形，∴，D正确.
故选：ABD．
13【解析】
由线段的中点恰好在椭圆上，即为右顶点，
可得，
解得，所以椭圆的长轴长为4．
故答案为：.
14【解析】
根据题意可得，，设，，可得点，，，在以为直径的圆上，
又原点为圆上的弦的中点，所以圆心在的垂直平分线上，所以圆心在轴上，所以，又得，故圆心坐标为，
所以圆的方程为，将代入结合，解得，
所以，短轴长为6.
故答案为：6.
15【解析】
由题意，点为直线上的一个动点，设点，
因为，可得，
可得，
又由，整理得，即椭圆的离心率为.
故答案为：.
16【解析】
如图，由已知在右侧，作垂直准线于，
则，，
，
故焦点到准线的距离，准线方程为.
故答案为：
17【解析】
(1)由题设，，又，
所以椭圆的焦点坐标为.
(2)由题设，令双曲线为，
由（1）知：，可得，
所以双曲线的标准方程为.
18【解析】
(1)由题意知，，且，解得， ，所以椭圆的方程为.
(2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线的方程为，设 ，.
由得，
则……①，……②，
因为，所以，，
由可得…… ③
由①②③可得，
解得，，
所以直线的方程为或，
故答案为：，或.
19【解析】
（1）因为双曲线的焦点坐标在轴上，所以设双曲线方程为，
因为，顶点与点A关于直线对称，
所以，即，
设双曲线渐近线为，
由题意得：到渐近线距离为1，
即，解得：，
所以双曲线方程为.
（2）设是双曲线C上到直线的距离为的点，
所以，
解得：，此时，
即．
20【解析】
（1）解：根据题意得：，解得，，，
所以，抛物线焦点，
所以，椭圆，拋物线
（2）解：设，
联立与椭圆，
整理得：，
判别式：
弦长公式：
点到直线的距离为
所以
联立与抛物线，整理得：，判别式：
弦长公式：，
点到直线的距离为
所以，
因为，即，解得： .
所以，直线在轴上截距或，
所以，直线在轴上截距取值范
21【解析】
（1）因为直线与抛物线相交所得线段的长为，所以抛物线过点（由抛物线的对称性得到），则，即，所以的方程为．
（2）当直线l的斜率不存在时，l与E相交于A，B两点，AB中点的纵坐标为0，选①②或①③或②③均不符合题意，故直线的斜率存在．设，，，由（1）知．由，得，所以．方案一 选择条件①③．因为AB中点的纵坐标为3，所以，则，因为，所以，则，所以．综上，直线的方程为．方案二 选择条件②③．因为的重心在直线上，所以，则，即．因为，所以，则，即，所以．综上，直线的方程为．方案三 选择条件①②．因为AB中点的纵坐标为3，所以，
则．因为的重心在直线上，所以，则，即．两个条件，都只能得出斜率，无法计算出b的值，因此不能得到直线的方程．
22【解析】
（1）解：由题意得a＝3b，故椭圆C为，
又点在C上，所以，得，，
故椭圆C的方程即为；
（2）解：由已知知直线l过，设l的方程为x＝my＋1，
联立两个方程得，消去x得：，
得，
设，，则（*），
，
将（*）代入上式，可得：，
要使为定值，则有，又∵，∴t＝3，
此时，
∴存在点，使得直线TM与TN斜率之积为定值，此时t＝3.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为( )
A. B．2 C．2 D．4
2．抛物线x2＝4y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为( )
A．2 B．1
C．2 D．3
3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是( )
A. B. C．1 D.
4．曲线与曲线的（）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
5．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上，则·等于( )
A．－12 B．－2 C．0 D．4
6．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k等于( )
A. B.
C. D.
8．设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A．椭圆的焦点坐标为(2,0) (-2,0) B．椭圆C的长轴长为
C．直线的方程为 D．
10．已知双曲线，则( )
A．双曲线的焦距为
B．双曲线的虚轴长是实轴长的倍
C．双曲线与双曲线的渐近线相同
D．双曲线的顶点坐标为
11. 已知点P在双曲线上，，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有( )
A．点P到x轴的距离为 B．
C．为钝角三角形 D．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，设与轴的交点为，点为上异于的任意一点，点在上的射影为点，的外角平分线交轴于点，过作于点，过作，交线段的延长线于点，则( )
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．已知点，椭圆的右焦点为，若线段的中点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为______．
14．椭圆：的上 下顶点分别为，，如图，点在椭圆上，平面四边形满足，且，则该椭圆的短轴长为___________.
15．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点为直线上的一个动点(不在坐标轴上)，则当的最大值为时，椭圆的离心率是_________.
16．已知抛物线的焦点为，点为上一点，点为轴上一点，若是正三角形，且，则抛物线的准线方程为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线方程为.
(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)求双曲线的标准方程．
18．(本小题满分12分)
设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.
19．(本小题满分12分)
已知双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且与以点为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个顶点与点A关于直线对称，设直线l过点A，斜率为k．
(1)求双曲线C的方程；
(2)当时，在双曲线C的上支上求点B，使其与直线l的距离为．
20．(本小题满分12分)
如图，椭圆：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点．
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距的范围．
21.(本小题满分12分)
已知抛物线E：的焦点为F，直线与E相交所得线段的长为．
(1)求E的方程；
(2)若不过点F的直线l与E相交于A，B两点，请从①AB中点的纵坐标为3，②的重心在直线上，③这三个条件中任选两个作为已知条件，求直线l的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
22．(本小题满分12分)
已知椭圆C：，长轴是短轴的3倍，点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在点，使得直线TM，TN斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1【解析】
方程化为标准方程为－＝1，
∴a2＝3，b2＝9.
∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，∴2c＝4.
2【解析】
根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.根据抛物线定义，得yP＋1＝3，解得yP＝2，代入抛物线方程求得xP＝± ，∴点P到y轴的距离为.
故选A.
3【解析】
抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，到双曲线x2－＝1的渐近线x－y＝0的距离为＝，故选B.
4【解析】
首先化简为标准方程，，由方程形式可知，曲线的长轴长是8，短轴长是6，焦距是，离心率 ，，的长轴长是，短轴长是，焦距是，离心率，所以离心率相等.
故选D.
5【解析】
由渐近线方程为y＝x，知双曲线是等轴双曲线，所以双曲线方程是x2－y2＝2，
于是两焦点分别是F1(－2,0)和F2(2,0)，且P(，1)或P(，－1)．不妨取点P(，1)，
则＝(－2－，－1)，＝(2－，－1)．
所以·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝－(2＋)(2－)＋1＝0.
6【解析】
由题意可知解得.
7【解析】
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0.
由
得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
Δ＝(4k2－8)2－16k4
＝－64k2＋64>0，
所以0
根据抛物线的定义得，
|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋2.
因为|FA|＝2|FB|，所以x1＝2x2＋2，②
由①②得x2＝1(x2＝－2舍去)，
所以B(1,2)，代入y＝k(x＋2)得k＝.
8【解析】
当焦点在x轴时，
，
当焦点在y轴时，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
9【解析】
A：由椭圆方程知：其焦点坐标为，错误；
B：，即椭圆C的长轴长为，正确；
C：由题意，可设直线为，，，则，联立椭圆方程并整理得：，M为椭圆内一点则，
∴，可得，即直线为，正确；
D：由C知：，，则，正确.
故选：BCD.
10【解析】
因为，，
所以，，焦距为，所以A错误；
因为，所以B正确；
双曲线与双曲线的渐近线方程均为，所以C正确；
令，得，所以双曲线的顶点坐标为，所以D错误．
故选:BC．
11【解析】
由双曲线方程得，，则，
由△的面积为20，
得，得，即点到轴的距离为4，故错误，
将代入双曲线方程得，根据对称性不妨设，，
则，
由双曲线的定义知，
则，
则，故正确，
在△中，，
则，为钝角，
则△为钝角三角形，故正确，
，
则错误，
故正确的是，
故选：．
12【解析】
对A，由抛物线的定义知A正确；
对B，∵，∴，B正确；
对C，由题意知，又与不一定相等，∴与不一定相等，C错误；
对D，由题意知四边形为矩形，∴，D正确.
故选：ABD．
13【解析】
由线段的中点恰好在椭圆上，即为右顶点，
可得，
解得，所以椭圆的长轴长为4．
故答案为：.
14【解析】
根据题意可得，，设，，可得点，，，在以为直径的圆上，
又原点为圆上的弦的中点，所以圆心在的垂直平分线上，所以圆心在轴上，所以，又得，故圆心坐标为，
所以圆的方程为，将代入结合，解得，
所以，短轴长为6.
故答案为：6.
15【解析】
由题意，点为直线上的一个动点，设点，
因为，可得，
可得，
又由，整理得，即椭圆的离心率为.
故答案为：.
16【解析】
如图，由已知在右侧，作垂直准线于，
则，，
，
故焦点到准线的距离，准线方程为.
故答案为：
17【解析】
(1)由题设，，又，
所以椭圆的焦点坐标为.
(2)由题设，令双曲线为，
由（1）知：，可得，
所以双曲线的标准方程为.
18【解析】
(1)由题意知，，且，解得， ，所以椭圆的方程为.
(2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线的方程为，设 ，.
由得，
则……①，……②，
因为，所以，，
由可得…… ③
由①②③可得，
解得，，
所以直线的方程为或，
故答案为：，或.
19【解析】
（1）因为双曲线的焦点坐标在轴上，所以设双曲线方程为，
因为，顶点与点A关于直线对称，
所以，即，
设双曲线渐近线为，
由题意得：到渐近线距离为1，
即，解得：，
所以双曲线方程为.
（2）设是双曲线C上到直线的距离为的点，
所以，
解得：，此时，
即．
20【解析】
（1）解：根据题意得：，解得，，，
所以，抛物线焦点，
所以，椭圆，拋物线
（2）解：设，
联立与椭圆，
整理得：，
判别式：
弦长公式：
点到直线的距离为
所以
联立与抛物线，整理得：，判别式：
弦长公式：，
点到直线的距离为
所以，
因为，即，解得： .
所以，直线在轴上截距或，
所以，直线在轴上截距取值范
21【解析】
（1）因为直线与抛物线相交所得线段的长为，所以抛物线过点（由抛物线的对称性得到），则，即，所以的方程为．
（2）当直线l的斜率不存在时，l与E相交于A，B两点，AB中点的纵坐标为0，选①②或①③或②③均不符合题意，故直线的斜率存在．设，，，由（1）知．由，得，所以．方案一 选择条件①③．因为AB中点的纵坐标为3，所以，则，因为，所以，则，所以．综上，直线的方程为．方案二 选择条件②③．因为的重心在直线上，所以，则，即．因为，所以，则，即，所以．综上，直线的方程为．方案三 选择条件①②．因为AB中点的纵坐标为3，所以，
则．因为的重心在直线上，所以，则，即．两个条件，都只能得出斜率，无法计算出b的值，因此不能得到直线的方程．
22【解析】
（1）解：由题意得a＝3b，故椭圆C为，
又点在C上，所以，得，，
故椭圆C的方程即为；
（2）解：由已知知直线l过，设l的方程为x＝my＋1，
联立两个方程得，消去x得：，
得，
设，，则（*），
，
将（*）代入上式，可得：，
要使为定值，则有，又∵，∴t＝3，
此时，
∴存在点，使得直线TM与TN斜率之积为定值，此时t＝3.