第三章 函数的概念与性质 单元测试卷（含解析）

函数的概念与性质测试(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数|在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．若函数单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数中,是偶函数,且在区间上为增函数的是( )
A． B．
C． D．
6．已知，若，则等于( )
A． B． C． D．
7． “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程(t为时间)，则下图与故事情节相吻合的是 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．给出下列命题，其中是错误命题的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为；
B．函数的单调递减区间是；
C．若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数；
D．，是定义域内的任意的两个值，且，若，则是减函数.
10．下列各组函数表示的是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
E.与
11. 函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.则下列选项成立的是（ ）
A． B．若，则
C．若， D．，，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数________.
14．已知函数f(x)＝则f(f(－4))＝________.
15．函数y的定义域是　　．
16．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
已知函数
（1）试判断函数在（-1，+）上的单调性，并给予证明；
（2）试判断函数在的最大值和最小值
18．(本小题满分12分)
设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)证明：函数f(x)是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)的单调性；
(4)求函数的值域．
19．(本小题满分12分)
已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)·xm－1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．
20．(本小题满分12分)
已知函数f（x）＝x，且此函数图象过点（1，2）．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（3）讨论函数f（x）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论．
21.(本小题满分12分)
已知A，B两城市相距100 km，在两地之间距离A城市x km的D处修建一垃圾处理厂来解决A，B两城市的生活垃圾和工业垃圾．为保证不影响两城市的环境，垃圾处理厂与市区距离不得少于10 km.已知垃圾处理费用和距离的平方与垃圾量之积的和成正比，比例系数为0.25.若A城市每天产生的垃圾量为20 t，B城市每天产生的垃圾量为10 t．
(1)求x的取值范围；
(2)把每天的垃圾处理费用y表示成x的函数；
(3)垃圾处理厂建在距离A城市多远处，才能使每天的垃圾处理费用最少？
22．(本小题满分12分)
已知函数.
（1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
（2）当时，解关于x的不等式.
参考答案
1【解析】
二次函数的图象是开口向下的抛物线.
最大值为，且在时取得，而当或时，.
结合函数图象可知的取值范围是．
故选:C．
2【解析】
由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
3【解析】
,分三种情况讨论.
当时，，所以；
当时，，在上显然单调；
当时，，所以.
综上：或.
故选B.
4【解析】
当时，函数单调递增
所以，解得
当时，是单调递增函数，
所以，
当时，一次函数取值要小于或等于指数式的值，
所以，
解之得：，
综上所述：实数a的取值范围是
故选：B
5【解析】
选项B中，函数不具备奇偶性，选项C中，函数是奇函数，
选项A,D中的函数是偶函数，但函数在区间上单调递减，故选A.
6【解析】
因为，所以，
所以即，选D.
7【解析】
由题意可得的始终是匀速增长，开始时，的增长比较快，但中间有一段时间停止增长，在最后一段时间里，的增长又较快，但的值没有超过的值，
结合所给的图象可知，B选项适合，故选B．
8【解析】
当时，恒成立，
所以恒成立，即函数在上单调递增，
又因为函数的图象关于直线对称，所以在上单调递减，
若要满足，即，解得，
故选A．
9【解析】
对于A，若函数的定义域为，
则函数的定义域为，故A错误；
对于B，函数的单调递减区间是和，故B错误；
对于C，若定义在上的函数在区间上是单调增函数，
在区间上也是单调增函数，则在上不一定为单调增函数，故C错误；
对于D，为单调性的定义，正确.故答案为：ABC.
10【解析】
对于A:与的对应关系不同,故与表的不是同一个函数；
对于B:与的定义域和对应关系均相同，故与表示的是同一个函数；
对于C:的定义域为R，的定义域为,故与表示的不是同一个函数；
对于D:与的对应关系和定义域均相同,故与表示的是同一个函数；
对于E:的定义域是,的定义域是,故与表示的不是同一个函数.故选BD.
11【解析】
由题可知，函数，
若，则，选项C可能；
若，则函数定义域为，且，选项B可能；
若，则，选项A可能，
故不可能是选项D，
故选：ABC.
12【解析】
由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增
所以，故A错
若，则，得，故B错
若则或，因为
所以或，故C正确
因为定义在R上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增
所以，所以对，只需即可，故D正确
故选：CD
13【解析】
∵幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm在区间（0，+∞）上单调递增，
∴，解得m＝2或-1（舍）．故答案为2．
14【解析】
由题得，
所以f(f(－4))=.
故答案为：－2
15【解析】
由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．
∴函数y的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．
16【解析】
设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），乙企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝g（t）．
对于①，在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力为，
乙企业的污水治理能力为．
由图可知，f（t1）﹣f（t2）＞g（t1）﹣g（t2），∴，
即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；
对于②，由图可知，f（t）在t2时刻的切线的斜率小于g（t）在t2时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值，
∴在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故②正确；
对于③，在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，
∴在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故③正确；
对于④，由图可知，甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]的污水治理能力最强，故④错误．
∴正确结论的序号是①②③．
故答案为：①②③．
17【解析】
（1）∵，
∴函数在上是增函数，
证明：任取，，且，
则，
∵，∴，，
∴，即，
∴在上是增函数.
（2）∵在上是增函数，
∴在上单调递增，
它的最大值是，
最小值是．
18【解析】
(1)证明：∵函数f(x)的定义域关于原点对称，
且f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1
＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)当0≤x≤3时，
f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2.
当－3≤x<0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2.
即f(x)＝
根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．
(3)函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．
f(x)在区间[－3，－1)和[0,1)上单调递减，
在[－1,0)和[1,3]上单调递增．
(4)当0≤x≤3时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；
当－3≤x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2.故函数f(x)的值域为[－2,2].
19【解析】
(1)由题意得m2－5m＋7＝1，
即m2－5m＋6＝0，解得m＝2或m＝3.
又f(x)为偶函数，所以m＝3，此时f(x)＝x2.
(2)由(1)知，g(x)＝x2－ax－3，因为g(x)＝x2－ax－3在[1,3]上不是单调函数，所以1<<3，解得220【解析】
（1）∵函数f（x）＝x，且此函数图象过点（1，2），
∴2＝1+m，
∴m＝1；
（2）f（x）＝x，定义域为：，
又f（﹣x）＝﹣xf（x），
∴函数f（x）是奇函数；
（3）函数f（x）在（0，1）上单调递减，
设0＜x1＜x2＜1，
则，
∵0＜x1＜x2＜1，
∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，x1x2﹣1＜0，
∴，
即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，1）上的单调递减．
21【解析】
(1)由题意可得x≥10,100－x≥10.
所以10≤x≤90.
所以x的取值范围为[10,90]．
(2)由题意，得y＝0.25[20x2＋10(100－x)2]，
即y＝x2－500x＋25000(10≤x≤90)．
(3)由y＝x2－500x＋25000＝(10≤x≤90)，则当x＝时，y最小．即当垃圾处理厂建在距离A城市 km时，才能使每天的垃圾处理费用最少．
22【解析】
（1）由题意得，，且，
则.
由，得.于是，即
所以函数在区间上单调递增
（2）原不等式可化为.因为，故.
（i）当,即时，得或.
（ii）当,即时，得到,所以；
（iii）当，即时，得或.
综上所述，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为