5.5 三角恒等变换 专题训练（含解析）

三角恒等变换专题训练
1.设函数f(x)=sin xcos x,x∈R,则函数f(x)的最小值是(　　)
　　A.- B.- C.- D.-1
2.函数f(x)=1-2sin22x是(　　)
A.偶函数且最小正周期为
B.奇函数且最小正周期为
C.偶函数且最小正周期为π
D.奇函数且最小正周期为π
3.若cos(-θ）=,则sin（+θ）=(　　)
A. B. C.- D.-
4.=(　　)
A. B. C.-1 D.1
5.已知θ为锐角,且sin θ=,则sin（θ+）=(　　)
A. B.- C.± D.-
6.设α∈（0,）,β∈（0,）,且tan α=,则(　　)
A.3α-β= B.3α+β=
C.2α-β= D.2α+β=
7.若cos(30°-α)-sin α=,则sin(30°-2α)=(　　)
A. B.- C. D.-
8.若向量a=(cos α,sin α),b=(2cos β,2sin β),且≤α<<β≤,若a⊥(b-a),则β-α的值为(　　)
A. B. C. D.
9.cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=　　　　　　　.
10.化简:=　　　　　　　.
11.若α∈（,π）,sin（α+）=,则sin α=　　　　.
12.已知cos(-θ)=a,则cos(+θ)+sin(-θ)的值是　　　　　.
13.已知sin α=,cos β=-,α∈(0,),β∈(,π),则sin(α+β)=　　　　.
14.已知α,β均为锐角,且sin α=,cos β=,则α-β=　　　　　　　　　.
15.已知函数f(x)=acos x+b(a>0)的最大值为3,最小值为1,则函数y=f(2x)-2f(x)(x∈[,π])的值域为　　　　　.
16.已知cos α=,α∈(0,),求sin α及sin（α+）.
17.已知tan α=-.
(1)求的值;
(2)若tan(α-β)=,求tan(3α-2β)的值.
18.计算下列各式的值:
(1);
(2)4sin 80°-.
19.已知点A(1,m),B(2,n)是角α的终边上的两点,若m-n=,则的值为(　　)
A.- B.- C.- D.-
20.若α,β∈（,π）,且sin α=,sin(α-β)=-,则sin β=(　　)
A.- B.-
C. D.
21.若α∈[0,π],β∈[-],且cos α+sin 2β=(α-)3-8β3,则sin(β-)的值为(　　)
A.0 B.1 C. D.-
22.已知函数f(x)是定义在R上的单调递减的奇函数,若f(a-3sin x)+f(cos x)≤0对一切实数x∈R恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　　　.
23.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.
(1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.
24.已知函数f(x)=cos(x+)+cos(x-0+sin x+a的最大值为1.
(1)求常数a的值;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)若f(α)=,且α是第一象限角,求cos α的值.
参考答案及部分解析
1.B　因为f(x)=sin xcos x=sin 2x,故选B.
2.A　f(x)=1-2sin22x=cos 4x,故f(x)是偶函数且最小正周期为T=,故选A.
3.A　因为cos（-θ）=,所以sin(+θ)=sin[-(-θ)]=cos(-θ)=.
4.D　=tan 45°=1,故选D.
5.A　θ为锐角,且sin θ=,
由同角三角函数关系式可得cos θ=,
根据正弦和角公式可得sin(θ+)=sin θcos+sincos θ=,故选A.
6.C　由已知得,tan α=,去分母得,sin αcos β=cos α+cos αsin β,
所以sin αcos β-cos αsin β=cos α,sin(α-β)
=cos α=sin(-α),
又因为-<α-β<,
0<-α<,所以α-β=-α,
即2α-β=.故选C.
7.D　由cos(30°-α)-sin α=,
得cos α-sin α=,
即cos(30°+α)=,
所以sin(30°-2α)=cos(60°+2α)
=2cos2(30°+α)-1=2×-1=-.
故选D.
8.B　由题a·(b-a)=0,即(cos α,sin α)(2cos β-cos α,2sin β-sin α)=0,得cos(β-α)=,由0<β-α≤,所以β-α=.
9.　cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°
=cos(75°-15°)=cos 60°=.
10.4sin α　
=
==4sin α.
11.　由α∈(,π),α+∈(),又sin(α+)=,所以α+∈(,π),得cos(α+)=-=-,所以sin α=sin（α+）=sin（α+）cos-cos(α+)sin.
12.0　
13.　sin α=,cos β=-,α∈(0,),β∈(,π),
所以cos α=,sin β=,
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=.
14.-　∵α,β均为锐角,sin α=,cos β=,
∴cos α=,
sin β=,
∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β==-.∵-<α-β<,
∴α-β=-.
15.[-,1]　根据三角函数性质,f(x)=acos x+b(a>0)的最大值为a+b=3,最小值为b-a=1,解得b=2,a=1,则函数f(x)=cos x+2,
则函数y=f(2x)-2f(x)=cos 2x+2-2cos x-4=cos 2x-2cos x-2
=2cos2x-2cos x-3,∵≤x≤π,令t=cos x,则-1≤t≤,令g(t)=2t2-2t-3,由-1≤t≤得,g(t)∈[-,1],所以,y=f(2x)-2f(x)(x∈[,π])的值域为[-,1].
16.解 由sin2α+cos2α=1及cos α=,α∈(0,),得sin α=,
Sin(α+)=sin αcos+cos αsin.
17.解 (1)因为tan α=-,所以cos α≠0且sin α+cos α≠0,
所以=tan α=-.
(2)因为tan(α-β)=,所以tan(2α-2β)=,
tan(3α-2β)=tan[(2α-2β)+α]=.
18.解 (1)原式=
=tan 30°=.
(2)依题意,因为sin 80°=cos 10°,
所以4sin 80°-
=
=
=
=
==-.
19.B　依题意,由斜率公式及m-n=可得tan α==-,
则
=tan α-=-=-.故选B.
20.C　因为α,β∈(,π),所以-β∈(-π,-),则α-β∈(-),
因为sin α=,sin(α-β)=-,
所以cos α=-=-,cos(α-β)=,
则sin β=sin[α-(α-β)]
=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
=-(-)×(-)=.
故选C.
21.D　
22.[,+∞)　由题f(a-3sin x)≤f(-cos x),a≥3sin x-cos x(x∈R)恒成立,
得a≥sin(x-φ),tan φ=,则a≥.
23.解 (1)由角α的终边过点P,
得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α=.
(2)由角α的终边过点P,得cos α=-,
由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±.
由β=(α+β)-α,得cos β
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,
所以cos β=-或cos β=.
24.解 (1)由题意得f(x)=cos(x+)+cos（x-+）sin x+a
=cos x-sin x+cos x+sin x+sin x+a=cos x+sin x+a=2sin（x+）+a,
因为f(x)的最大值为1,所以2+a=1,解得a=-1.
(2)由(1)可得f(x)=2sin（x+）-1,
令2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),解得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z).
(3)因为f(α)=,所以2sin(α+)-1=,解得sin(α+)=,
因为α是第一象限角,即2kπ<α<2kπ+(k∈Z),所以2kπ+<α+<2kπ+(k∈Z),
因为sin(α+)==sin,
所以2kπ+<α+<2kπ+,
即cos(α+)=-=-,
所以cos α=cos[(α+)-]
=cos(α+)cos+sin(α+)sin
=(-)×.