高中数学必修第一册人教A版（2019）5.4《正弦函数、余弦函数的性质---单调性和最值》名师课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
y
x
o
1
-1
y=sinx,x [0, 2 ]
y=cosx,x [0, 2 ]
正弦函数、余弦函数的图象
复习引入
正弦函数、余弦函数的图象
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

x
6
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

y
正弦函数、余弦函数的周期是
复习引入
正弦函数的图象关于原点对称
余弦函数的图象关于y轴对称


复习引入
人教A版同步教材名师课件
正弦函数、余弦函数的性质
---单调性和最值
学习目标
学 习 目 标 核心素养
掌握正弦函数、余弦函数的图象与性质 数学抽象
会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间 逻辑推理
了解从特殊到一般,从一般到特殊的辩证思想方法和分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用 数学抽象
课程目标
1.了解周期函数与最小正周期的意义;
2.了解三角函数的周期性和奇偶性;
3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;
4.借助图象直观理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等);
5.能利用性质解决一些简单问题.
数学学科素养
1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义；
2.逻辑推理： 求正弦、余弦形函数的单调区间；
3.数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性.
4.数学建模：让学生借助数形结合的思想,通过图像探究正、余弦函数的性质.
学习目标
正弦函数性质的研究
定义域：
R
值 域：
[ - 1, 1 ]
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

探究新知
正弦函数性质的研究
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

增区间为 [ , ] 函数值从-1增至1
减区间为 [ , ] 函数值从 1减至-1
+2k , +2k ],k Z
+2k , +2k ],k Z
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

单调性
探究新知
正弦函数性质的研究
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

当 时, 取得最大值1
当 时, 取得最小值-1
最 值
探究新知
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

正弦函数性质的研究
对称轴：
对称中心：
对称性
探究新知
定义域：
R
值 域：
[ - 1, 1 ]
增区间：
减区间：
奇偶性：
对称轴：
对称中心：
最 值：
y
x
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

小组讨论：余弦函数的性质
探究新知
余弦函数性质的研究
例1、下列函数有最大值、最小值吗？ 如果有,请写出取最大值、最小值时自变量的集合,并求出最大值、最小值.
(1), ∈R; (2), ∈R.
容易知道 , 这两个函数都有最大值 、 最小值 ．
(1)使函数 , ∈R取得最大值的集合 , 就是使函数 , ∈R取得最大值的 的集合{∈Z}；
使函数, ∈R , 取得最小值的的集合 , 就是使函数 , ∈R取得最小值的 的集合{∈Z}.
函数, ∈R 的最大值是 1=2; 最小值是 ．
解析
典例讲解
例1、下列函数有最大值、最小值吗？ 如果有,请写出取最大值、最小值时自变量的集合,并求出最大值、最小值.
(1), ∈R; (2), ∈R.
解析
(2) 令 z ＝2, 使函数 , z∈R 取得最大值的 z 的集合 , 就是使 ,z∈R 取得最小值的 z 的集合{z＝+2kπ , k ∈Z}.
由 z＝2＝+2kπ ,得＝+kπ ． 所以 , 使函数 , ∈R取得最大值的 的集合是 ＝+kπ, k ∈Z}．
同理 , 使函数 , ∈R取得最小值的 的集合是{＝+kπ, k ∈Z}．
函数 , ∈R的最大值是, 最小值是．
典例讲解
例2、利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.
且在上递增,
,即
解析
典例讲解
利用诱导公式化到同一单调区间,再根据单调性比较大小;
首先化成同名三角函数,再把角化到同一单调区间,然后比较大小.
思路
解析
(3)利用函数的单调性比较大小．
比较三角函数值大小的步骤
(1)异名函数化为同名函数；
(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；
方法归纳
变式训练
1.
.
解析
,
,
上是减函数,
上是增函数,
例3、.
当是减函数时, 是增函数,
因为函数, 的单调递减区间为 ,所以令,所以函数的单调递增区间为
解析
典例讲解
,把看作一个整体,根据函数的单调性,列出关于的不等式,求解不等式,即可得到对应的单调区间.
思路
解析
方法归纳
求函数或（其中、、 为常数, ≠0,且≠0,∈）单调性的步骤
第一步 写出函数或为增函数或减函数时满足的不等式
第二步 将视为一个整体,代入到上述不等式
第三步 解第二步中的不等式,求出的范围
第四步 下结论
当三角函数中自变量的系数为负数时,要把系数转化为正数后,再求单调区间.
变式训练
2.
.
解析
令,即,
的单调递增区间是.
变式训练
2.
.
解析
函数的单调递增区间即为函数
例4、已知是正数,函数在区间,求的取值范围.
由
得
的单调递增区间是
根据题意,得,
从而有解得 故的取值范围是 .
解析
典例讲解
根据正弦函数的单调递增区间确定函数的单调递增区间,再根据函数在区间单调递增,建立不等式组,即可求得的取值范围.
思路
解析
方法归纳
已知函数（其中,, 为常数, >0, >0）的单调区间求或,一般将代入的相应的单调区间所对应的不等式,求出的范围,对应已知的单调区间建立关于或的不等式（组）进行求解.
变式训练
3.
A. B. C. D.
解析
由 , 得,
的单调递减区间是.
根据题意,得,
从而有解得故的取值范围是
(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的形式求最值．
正弦函数、余弦函数最值的释疑
(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1.
(2)对有些正、余弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．
素养提炼
当堂练习
1.函数的最大值及取最大值时的值为( )
2.函数的最大值是( )
3·已知函数的图象关于直线对称，则可能是( )
A.
C
C
C
当堂练习
4.下列函数中，周期为，且在区间上为减函数的是( )
A. B.
C. D.
5.函数的单调递增区间为__________________.
6.函数的单调递增区间为_________________.
B
定义域
值 域
单调性 增区间
减区间
最值
奇偶性
对称轴
对称中心
R
R
[ - 1, 1 ]
[ - 1, 1 ]
偶函数
奇函数
归纳小结
作 业
P207练习：1、2、3