高中数学必修第一册人教A版（2019）5.4《正弦函数、余弦函数的性质---周期性和奇偶性》名师课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
y
x
o
1
-1
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？
(0,0)
( ,1)
( ,0)
( ,-1)
( 2 ,0)
五点画图法
五点法——
(0,0)
( ,1)
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余弦函数的图象
(0,1)
( ,0)
( ,-1)
( ,0)
( 2 ,1)
复习引入
（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？
（2）今天日出到明天日出经过了多长的时间呢？到后天日出又经过了多少时间
（3）时钟的分针在不断的旋转，假设现在分针指向12，那么它经过多长时间可以再次指向12？
复习引入
这些都给我们循环往复、周而复始的感觉,这种变化规律称为周期性.那么三角函数值是否具有“周而复始”的变化规律？
复习引入
人教A版同步教材名师课件
正弦函数、余弦函数的性质
---周期性和奇偶性
学习目标
学 习 目 标 核心素养
掌握正弦函数、余弦函数的图象与性质 数学抽象
会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间 逻辑推理
了解从特殊到一般，从一般到特殊的辩证思想方法和分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用 数学抽象
学习目标
课程目标
1.了解周期函数与最小正周期的意义;
2.了解三角函数的周期性和奇偶性;
3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;
4.能利用性质解决一些简单问题.
数学学科素养
1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义；
2. 数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性.
3.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质.
一、周期函数的定义
定义：对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义域中每一个值x,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
2.周期函数f(x+T)=f(x)对定义域中每个x值都恒成立.
1.周期T应该是非零常数.可以是正数,也可以是负数.
思考①.对y=sinx,有,那么是y=sinx的周期吗？
以及都是y=sinx的周期.
事实上都是y=sinx的周期.
3.对于f(x+T)=f(x)，自变量本身加的常数才是周期.
探究新知
说明
书中提到的周期,若无特别说明,是指最小正周期.
如果函数周期中有最小的正数,那么这个最小正数叫做函数的最小正周期.
思考②:f(x)=a(a是常数)是周期函数吗
c是任意非零常数,都有f(x+c)=a=f(x).
x
y
0
f(x)=a
它有最小正周期吗？
它的周期是多少？
(有的周期函数没有最小正周期）
周期函数的周期不止一个. (若T是f(x)的一个周期,则kT(k∈Z且k≠0)都是f(x)的周期)
探究新知
二、正弦、余弦函数的周期性
正弦函数是周期函数, (k∈Z,且k ≠0)都是它的周期,最小正周期是.
探究新知
余弦函数是周期函数, (k∈Z,且k ≠0)都是它的周期,最小正周期是.
探究新知
三、形如 函数的周期
令
又的周期是,且
满足
所以 函数的周期为
正弦函数的图象
四、探究函数的奇偶性
余弦函数的图象
探究新知
为奇函数
为偶函数
正弦函数的图象关于原点对称
余弦函数的图象关于y轴对称


探究新知
四、探究函数的奇偶性
(1)
法一：
即f(x＋π)＝f(x)，
法二：
所以ω＝2.
典例讲解
例1、求下列函数的周期.
.
因为
= ,
所以函数的周期是.
因为
又
所以函数的周期是.
解析
典例讲解
例1、求下列函数的周期.
.
解析
(2)
法一：
法二：
因为f(x)＝|sin x|，
所以f(x＋π)＝|sin(x＋π)|
所以f(x)的周期为π.
＝|sin x|
＝f(x)，
因为函数y＝|sin x|的图象如图所示．
所以f(x)的周期为π.
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．
求函数周期的方法

(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．
方法归纳
(1)因为2sin(2x＋2π)＝2sin 2x，即2sin 2(x＋π)＝2sin 2x.
由周期函数的定义，可知原函数的周期为π.
(2)因为，
即，
由周期函数的定义，可知原函数的周期为4π.
1.求下列函数的周期:
(1)y＝2sin 2x；(2).
解析
变式训练
典例讲解
例2、如果函数的最小正周期是，则______.
解析
方法归纳
利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“增加到“ ”时，函数值是否会重复出现，注意周期是函数的整体性质.
在使用公式时，注意的范围，不可盲目地去掉绝对值符号进行求解.
对于形如或的函数的周期，常结合函数的图象来求.正弦型函数、余弦型函数加上绝对值后周期减半，如的最小正周期为；平方也减半，如的最小正周期为
变式训练
2.
A. B. C. D.
解析
3.已知，求
解析
由于为正整数，则函数的周期，所以
解得，所以满足条件的正整数的值为26，27或28.
变式训练
4.已知
解析
，
.
由题意可得
.
(2)函数的定义域为R，且f(-x)＝sin[cos(-x)] ＝sin(cosx)＝f(x)，
因为f(-x)＝-sin(-2x) ＝sin 2x＝-f(x)，
所以函数f(x)＝sin(cos x)是偶函数．
典例讲解
3、判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos；(2)f(x)＝sin(cos x)；
； .
(1)函数的定义域为R，且f(x)＝cos.
所以函数f(x)＝cos是奇函数
解析
典例讲解
3、判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos；(2)f(x)＝sin(cos x)；
； .
解析
由1≥0，即，得函数的定义域为，此定义域在轴上表示的区间不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数.
由得，故该函数既是奇函数又是偶函数.
利用定义判断函数奇偶性的三个步骤
[注意]若函数f(x)的定义域不关于原点对称，无论f(－x)与f(x)有何关系，f(x)仍然是非奇非偶函数．
方法归纳
变式训练
5.判断下列函数的奇偶性
(1)函数的定义域为R.又f(-x)＝|sin(-x)|＋cos(-x)＝|sinx|＋cos x＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
解析
函数的定义域为，且 ，
该函数既是奇函数，又是偶函数.
函数的图象都关于轴对称，则的解集关于原点对称，函数定义域是一个关于原点对称的区间，
又,该函数是偶函数.
典例讲解
例4、.
解析
，令 ，则为奇函数，所以的最大值与最小值的和为0.
又，所以，即=2.
的解析式比较复杂，先化简的解析式，即.令，由的奇偶性可求出的最大值与最小值的和，从而可得的最大值与最小值的和，即的值.
思路分析
变式训练
6.，求
解析
设，则对任意
函数是奇函数，
，即
变式训练
7.
A. B. C. D.
解析
是奇函数，
，
，
显然，当时， 满足题意.
故选B.
(1)由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.
正弦函数、余弦函数周期性的两点释疑
(2)余弦函数也是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.
素养提炼
(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．
正弦函数、余弦函数的奇偶性
(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
素养提炼
当堂练习
1.下列函数中，周期为的是 ( )
2.设函数则是( )
A.最小正周期为的奇函数
3.函数是( )
A.最小正周期为的偶函数
4.函数的图象关于( )
A.轴对称 B.原点对称 C.轴对称 D.直线对称
B
B
A
C
当堂练习
5. 函数的最小正周期是___________.
6.函数的最小正周期不大于1，则正整数的最小值为_________.
3、正、余弦函数的奇偶性
1.周期函数、最小正周期的定义；
归纳小结
作 业
课本P203:3