高中数学必修第一册人教A版（2019）5.4.2正弦函数、余弦函数的性质教学设计（1）（表格式）

第五章 三角函数
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.2正弦函数、
余弦函数的性质。本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象，由先前学习函数的经验，通过
函数图像，观察总结函数性质，并应用函数性质解决问题。是学生对函数学习方法掌握情况的一次
大检阅。因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其重要的地位。发展学生数学直
观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标 学科素养
1.了解周期函数、周期、最小正周期的含义． 2.掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值． 3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值． 4.通过作正弦函数与余弦函数的性质探究，培 养学生数形结合和类比的思想方法。 a.数学抽象：函数性质的总结； b.逻辑推理：由正余弦函数性质解决y＝Asin(ωx＋φ)的性质； c.数学运算：运用函数性质解决问题； d.直观想象：运用函数图像归纳函数性质； e.数学建模：正余弦函数的性质及应用；
教学重点： y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．
教学难点：会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．
多媒体
教学过程 设计意图 核心教学素养目标
（一）创设问题情境 提出问题 类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？ 问题探究 根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的． 观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔2π个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式（k∈Z）中得到反映，即自变量的值增加2π整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等．数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律． （二）问题探究 1.周期性 一般地，对于函数 ,如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有那么函数就叫做周期函数（periodicfunction）．非零常数T叫做这个函数的周期（period）． 周期函数的周期不止一个．例如，２π，４π，６π，…以及－２π，－４π，－６π，…都是正弦函数的周期．事实上，且 ≠０，常数都是它的周期． 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期（minimalpositiveperiod）． 根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数， （k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．类似地，余弦函数也是周期函数， （k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π． 典例解析 例2．求下列三角函数的周期： (1) y＝3sinx，x∈R；(2)y＝cos 2x，x∈R；（3）x∈R; 分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式而求出相应的周期．对于（２），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出，x∈R；对于（３），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出=, x∈R； 【解】(1)，有3sin(x＋π)＝3sinx， 由周期函数的定义知，y＝3sinx的周期为2π. (2)令，由，得，且的周期为2π.即 因为cos (z＋2π)＝cosz，于是cos(2x＋2π)＝cos 2x， 所以cos2(x＋π)＝cos 2x， 由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π. 令,由得Z且的周期为即周期为2π. 即，,于是， 所以 由周期函数的定义知，原函数的周期为4π. 回顾例２的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？ 归纳总结 求三角函数周期的方法： (1)定义法：即利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. (3)图象法：即通过观察函数图象求其周期． 2.奇偶性 观察正弦曲线和余弦曲线 ， 可以看到正弦曲线关于原点 犗 对称 ， 余弦曲线关于 x 轴对称 ． 这个事实 ， 也可由诱导公式=；=得到 ． 所以正弦函数是奇函数 ， 余弦函数是偶函数 ． 知道一个函数具有周期性和奇偶性 ， 对研究它的图象与性质有什么帮助 做一做 1．(1)函数f(x)＝sin 2x的奇偶性为 (　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 (2)判断函数f(x)＝sin的奇偶性． 【答案】　A 【解析】　(1)∵f(x)的定义域是R，且f(－x)＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，∴函数为奇函数． (2)∵f(x)＝sin＝－cos x，∴f(－x)＝－cos＝－cos x， ∴函数f(x)＝sin为偶函数. 归纳总结 1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系． 2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 3. 单调性 由于正弦函数是周期函数 ， 我们可以先在它的一个周期的区间 （ 如 ） 上讨论它的单调性 ， 再利用它的周期性 ， 将单调性扩展到整个定义域 ． 观察图 5.4-8， 可以看到 ：当 由 增大到 时 ， 曲线逐渐上升 ， 的值由-1增大到 1； 当 由 增大到时 ， 曲线逐渐下降 ， 的值由 1减小到 -1． 的值的变化情况如表 5.4.2所示 ： 就是说，在区间上单调递增， 上单调递减，有正弦函数的周期性可得； 正弦函数在每一个闭区间 （ k∈Z ） 上都单调递增 ,其值从-1 增大到1 ;在每一个闭区间 （ k∈Z ） 上都单调递减 ,其值从 1减小到-1． 类似地 ， 观察余弦函数在一个周期区间 （ 如 ） 上函数值的变化规律 ， 将看到的函数值的变化情况填入表5.4.3 由此可得，,在区间 上单调递增 ， 其值从-1 增大到1 ；上单调递增， 余弦函数在每一个闭区间 ,上都单调递增 ， 其值从-1 增大到 1；在每一个闭区间 　 , 上都单调递减 ， 其值从 1减小到 -1． 函 数 名 递增区间 递减区间 y=sinx y=cosx
４.最大值与最小值 从上述对正弦函数 、 余弦函数的单调性的讨论中容易得到 ，正弦函数当且仅当 ＝ 时,取得最大值 １ ， 当且仅当 ＝　 　时,取得最小值 －１ ；余弦函数当且仅当 ＝ 　时,取得最大值 １ ，当且仅当 ＝ 　时,取得最小值 －１． 例3. 下列函数有最大值 、 最小值吗？ 如果有 ， 请写出取最大值 、 最小值时自变量的集合 ， 并求出最大值 、 最小值 ． （ １ ） ， ∈R ； （ ２ ） ， ∈R． 解 ： 容易知道 ， 这两个函数都有最大值 、 最小值 ． （ １ ） 使函数 ， ∈R取得最大值的的集合 ， 就是使函数 ， ∈R ，取得最大值的 的集合｛ ｜ ＝2kπ ， k ∈Z ｝；使函数， ∈R ， 取得最小值的 狓 的集合 ， 就是使函数 ， ∈R取得最小值的 的集合 ｛ ｜ ＝ （ 2k +1） π ， k ∈Z ｝ ．函数， ∈R 的最大值是 １＋１＝２ ； 最小值是 －１＋１＝０． (2)解 ： 令 z ＝2， 使函数） ， z∈R 取得最大值的 z 的集合 ， 就是使 ，z∈R 取得最小值的 z 的集合｛ z｜ ＝- +2kπ ， k ∈Z ｝由 z ＝2＝ - +2kπ ，得＝ - +kπ ． 所以 ， 使函数 ， ∈R 取得最大值的 的集合是｛ ｜ ＝ - +kπ, k ∈Z ｝ ．同理 ， 使函数 ， ∈R取得最小值的 的集合是｛ ｜ ＝ +kπ, k ∈Z ｝ ． 函数 ， ∈R的最大值是 ３ ， 最小值是 －３． 例4. 不通过求值，指出下列各式的大小： (1) ; 分析 ： 可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小 ． 为此 ， 先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角 ， 然后再比较大小 ． 解 ：（ １ ） 因为- ，所以 (2) cos; cos 解：cos=cos=cos；coscos=cos 因为， 所以coscos；cos 例5. 求函数, ∈［ －２π ，２π］ 的单调递增区间 ． 分析 ： 令= 当自变量 的值增大时 ， 的值也随之增大 ， 因此若函数 在某个区间上单调递增 ， 则在相应的区间上也一定单调递增 ． 解 ： 令 = ， ∈［-２π ，２π］ ， 则 ∈ 因为 ， ∈ 的单调递增区间是∈ ， 且由 ，得 ． 所以 ， 函数, ， ∈［-２π ，２π］ 的单调递增区间是 通过对函数学习的回顾，提出研究正弦与余弦函数性质的方法，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。 通过对正弦函数图像的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 通过对正弦函数图像的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 通过对典型问题的分析解决，提高学生对函数性质的理解。发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；
三、当堂达标 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若sin(60°＋60°)＝sin 60°，则60°为正弦函数y＝sin x的一个周期．(　　) (2)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．(　　) (3)函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．(　　) 1．【解析】　(1)×.举反例，sin(40°＋60°)≠sin 40°，所以60°不是正弦函数y＝sin x的一个周期．(2)√.根据周期函数的定义知，该说法正确． (3)×.因为定义域不关于原点对称． 【答案】　(1)×　(2)√　(3)× 2.函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为(　　) A.　　　　B．π C．2π D．4π 2.【解析】　因为sin＝sin＝sin，即f(x＋4π)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为4π. 【答案】　D 3.函数f(x)＝sin的一个递减区间是(　　) A. B．[－π，0] C. D. 3.【解析】　令x＋∈，k∈Z， 得x∈，k∈Z，k＝0时，区间是函数f(x)的一个单调递减区间，而 .故选D. 【答案】　D 4．比较下列各组数的大小： (1)cos 150°与cos 170°；(2)sin 与sin. 4．【解】　(1)因为90°<150°<170°<180°，函数y＝cos x在区间[90°，180°] 上是减函数，所以cos 150°>cos 170°. (2)sin＝sin＝sin ＝sin＝sin . 因为0<<<，函数y＝sin x在区间上是增函数， 所以sin 四、小结 1. 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 2. 求函数的单调区间： （1）. 直接利用相关性质；（2）复合函数的单调性；（3）利用图象寻找单调区间 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；