人教A版（2019）数学必修第一册 3.3幂函数课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
幂函数
1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．
2．结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝x－1的图象，了解它们的变化情况．
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．
本节目标
课前预习
(1)幂函数是如何定义的？
(2)幂函数的解析式具有什么特点？
(3)常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？
预习课本P89～91，思考并完成以下问题
课前小测
1．下列函数中不是幂函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝3x D．y＝x－1
C
不符合幂函数y＝xα的形式
2．已知f(x)＝(m＋1) 是幂函数，则m＝(　　)
A．2 B．1 C．3 D．0
m＋1＝1，即m＝0
D
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则f(4)＝________.
f(2)＝
2α＝
α＝－
f(4)＝ ＝
新知探究
1．幂函数的概念
一般地，函数_________叫做幂函数，其中____是自变量，_____是常数．
y＝xα
x
α
2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象如图所示：
3．幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增函数 x∈[0，＋∞) 时，增函数 x∈(－∞，0] 时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞)
时，减函数
x∈(－∞，0)
时，减函数
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一 幂函数的概念
[例1] 已知y＝(m2＋2m－2) ＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
所以m＝－3，n＝ .
由题意得
解得
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα α为常数 的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：
1 指数为常数；
2 底数为自变量；
3 系数为1.
判断一个函数是否为幂函数的方法
方法总结
1．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
跟踪训练
B
√
×
×
×
题型二 幂函数的图象及应用
[例2]　点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)； (2)f(x)＝g(x)； (3)f(x)[例2]　点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)； (2)f(x)＝g(x)； (3)f(x)设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－ ，
∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图象，如图所示．
[例2]　点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)； (2)f(x)＝g(x)； (3)f(x)由图象知，
(1) 当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2) 当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3) 当x∈(0,1)时，f(x)① 依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为
在 0，1 上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴 简记为指大图低 ；
在 1，＋∞ 上，指数越大，幂函数图象越远离x轴 简记为指大图高 .
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
②依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象 类似于y＝x－1或y＝或y＝x3 来判断.
方法总结
2. (1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
跟踪训练
B
(2)函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
A　 B　　 C　 　 D
B
y＝的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的
y＝－1的图象可看作由y＝的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)
将y＝－1的图象关于x轴对称后即为选项B
题型三 幂函数性质的综合应用
[探究问题]
1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？
提示：
当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
2．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
提示：
2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.
[探究问题]
[例3]　比较下列各组中幂值的大小：
(1) 0.213, 0.233； (2) ， ， .
∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，
∴0.213<0.233.
[例3]　比较下列各组中幂值的大小：
(1) 0.213, 0.233； (2) ， ， .
＝ ， ＝ .
∵1.2> >1.1，且y＝在[0，＋∞)上单调递增，
∴ > > ，即> > .
把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系：
多维探究
(2) 与
幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，
又> ，
所以> .
(1) 与
幂函数y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，
又－<－，
所以> .
比较幂的大小时
若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；
若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.
方法总结
随堂检测
1．思考辨析
(1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)．(　　)
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．(　　)
(3)当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数．(　　)
(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．(　　)
×
√
√
×
2．幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式是(　　)
A．y＝x－1 B．y＝
C．y＝x2 D．y＝x3
设f(x)＝xα，则2α＝，
∴α＝，∴f(x)＝ .
B
3．函数y＝的图象是(　　)
A　 　 B　 C　 　D
C
4．比较下列各组数的大小：
(1) 与； (2) ， ， .
函数y＝ 在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.1，
所以> .
> ＝1,
0< < ＝1
<0
所以> > .
1．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．
2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y＝xα(α为常数)同五个函数(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝ )图象与性质的关系．
3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题.
本课小结
通过本节课，你学会了什么？