人教A版（2019）数学必修第一册 4.1指数（2）课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
指数(2)
1．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化.
2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．
本节目标
课前预习
(1)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？
(2)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？
(3)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？
预习课本P106～108，思考并完成以下问题
课前检测
1．下列运算结果中，正确的是(　　)
A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6
A
－a6
a6
×
前提： a≠1
×
－a6
×
2． 等于(　　)
A．25 B. C. D.
= =
B
3．已知a>0，则等于(　　)
A. B.
C. D．－
=
B
4．()4＋(－1)0＝________.
m2＋1
()4＋(－1)0 ＝ m2＋1
新知探究
1．分数指数幂的意义
分数 指数幂 正分数指数幂 规定：＝______
(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂 规定：＝＝______
(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于_______，
0的负分数指数幂________意义.
0
没有
思考：在分数指数幂与根式的互化公式＝中，为什么必须规定a>0？
提示：
①若a＝0，0的正分数指数幂恒等于0，即＝＝0，无研究价值．
②若a<0，＝不一定成立，如＝ 无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.
2．有理数指数幂的运算性质
(1) aras＝_______(a>0，r，s∈Q)．
(2) (ar)s＝_______(a>0，r，s∈Q)．
(3) (ab)r＝______(a>0，b>0，r∈Q)．
ar＋s
ars
arbr
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的________．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
实数
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　根式与分数指数幂的互化
[例1]　将下列根式化成分数指数幂的形式
原式＝ ＝ ＝ ＝
(1) (a>0)；
(3) (b>0)．
(2) ；
原式＝＝＝＝ ＝ ＝ .
原式＝ ＝ ＝
根式与分数指数幂互化的规律
在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
根指数
分数指数的分母
化为
被开方数(式)的指数
化为
分数指数的分子
规律总结
跟踪训练
1．将下列根式与分数指数幂进行互化
(1) a3·； (2) (a>0，b>0)．
a3·
＝ a3·
＝
＝
题型二　利用分数指数幂的运算性质化简求解
[例2]　化简求值：
(1)
(2)
(3)
(1)
原式＝
＝
＝
(2)
原式＝
(3)
原式＝
＝
＝
1 有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
2 负指数幂化为正指数幂的倒数.
3 底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
指数幂运算的常用技巧
提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
方法技巧
跟踪训练
2．(1)计算： ＋2－2× －(0.01)0.5；
(2)化简： (a>0)．
2．(1)计算： ＋2－2× －(0.01)0.5；
原式＝
＝
(2)化简： (a>0)．
原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
题型三　指数幂运算中的条件求值
[探究问题]
1. 和存在怎样的等量关系？
提示： ＝ ＋4.
题型三　指数幂运算中的条件求值
[探究问题]
2．已知的值，如何求a＋的值？反之呢？
提示：设＋＝m，则两边平方得a＋＝m2－2；反之若设a＋ ＝n，则n＝m2－2，∴m＝ .
即＋＝ .
[例3]　已知＋ ＝4，求下列各式的值：
(1) a＋a－1； (2) a2＋a－2.
＋ ＝4
两边平方
得a＋a－1的值
两边平方
得a2＋a－2的值
思路点拨
[例3]　已知＋ ＝4，求下列各式的值：
将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，
故a2＋a－2＝194.
(1) a＋a－1； (2) a2＋a－2.
将＋ ＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，
故a＋a－1＝14.
多维探究
变式1 已知＋ ＝4，求a － a－1的值：
令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，
∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8，即a－a－1＝±8.
多维探究
变式2 已知＋ ＝4，求a2－a－2的值：
由上题可知，
a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)
＝±8×14
＝±112.
1 在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.
2 在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.
解决条件求值的思路
技法点拨
随堂检测
1．思考辨析
(1)0的任何指数幂都等于0.(　　)
(2) ＝ .(　　)
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如＝ .(　　)
(4) 可以理解为个a.(　　)
×
×
×
×
2．把根式a化成分数指数幂是(　　)
A． B．
C． D．
D
3．已知＋ ＝5，则的值为(　　)
A．5 B．23
C．25 D．27
＋ ＝5
x＋＝23
= 23
B
1．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．
本课小结
2．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．
通过本节课，你学会了什么？