人教A版（2019）数学必修第一册 4.3.2对数的运算课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
对数的运算
1. 理解对数的运算性质．
2. 能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．
3. 会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．
本节目标
课前预习
(1)对数具有哪三条运算性质？
(2)换底公式是如何表述的？
预习课本P123～126，思考并完成以下问题
课前小测
1．计算log84＋log82等于(　　)
A．log86 B．8
C．6 D．1
log84＋log82＝log88＝1
D
2．计算log510－log52等于(　　)
A．log58 B．lg 5
C．1 D．2
log510－log52＝log55＝1
C
3．log23·log32＝________.
log23=
log32=
log23·log32＝ · =1
1
新知探究
1．对数的运算性质
(1) loga(MN)＝___________________；
(2) loga ＝__________________；
(3) logaMn＝____________(n∈R)．
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
思考：当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
提示：不一定．
2．对数的换底公式
则有logab＝_______.
若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　对数运算性质的应用
[例1]　计算下列各式的值：
(1) lg － lg ＋lg ；
(2) lg52＋ lg 8＋lg5·lg20＋(lg2)2；
(3) .
(1) lg － lg ＋lg ；
原式＝ (5lg 2－2lg 7)－ ·lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝ lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5
＝ (lg 2＋lg 5)
＝ lg 10
＝
(2) lg52＋ lg 8＋lg5·lg20＋(lg2)2；
原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
＝2＋(lg 10)2
＝2＋1
＝3
(3) .
原式＝
＝
＝
＝
＝
1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：
(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；
(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
方法总结
跟踪训练
(2) lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25.
1．求下列各式的值.
原式＝lg25＋ lg (10×5)
＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)
＝lg25＋1－lg25
＝1
原式＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5
＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝2＋lg 5＋lg 2
＝3
(1) lg25＋lg 2·lg 50；
题型二　对数的换底公式
[例2]　(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．
原式＝(log253＋ ＋ )·(＋ ＋log52)
＝(3＋1＋)log25·(1＋1＋1)log52
＝ ×3 × ×
＝ ×3
＝13
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
∵18b＝5，∴b＝log185.
又log189＝a，
∴log3645＝ ＝
＝ ＝
＝ .
多维探究
变式 已知log189＝a,18b＝5，求log915(用a，b表示)．
∵log189＝a，∴log183＝. 又log185 ＝ b，
∴log915＝ ＝
＝ ＝ .
1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式．
logab·logba＝1， ＝ logab，logab＝ 等．
2．常用的公式有
方法总结
跟踪训练
(1)log23·log35·log516；
2．求值
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
原式＝ · ·
＝
＝
＝4
原式＝( + )· ( + )
＝( + )· ( + )
＝ ·
＝
题型三　对数运算性质的综合应用
1．若2a＝3b，则等于多少？
提示：
设2a＝3b＝t，
则a＝log2t，b＝log3t，
∴ ＝log23.
[探究问题]
题型三　对数运算性质的综合应用
[探究问题]
2．对数式logab与logba存在怎样的等量关系？
提示：logab·logba＝1,即logab＝ .
[例3]　已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．
3a＝5b＝c
指对互化
求＋
＋＝2
求c的值
思路点拨
[例3]　已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．
∵3a＝5b＝c，
∴a＝log3c，b＝log5c，
∴ ＝logc3， ＝logc5，
∴ ＋ ＝logc15.
由logc15＝2得c2＝15，即c＝ .
多维探究
变式1 已知3a＝5b＝15，求＋的值．
∵3a＝5b＝15，
∴a＝log315，b＝log515，
∴ ＋＝log153＋log155＝log1515＝1.
变式2 若a，b是正数，且3a＝5b＝c”，比较3a与5b的大小．
∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，
∴3a－5b＝3log3c－5log5c
＝ － ＝
＝ <0，
∴3a<5b.
1 化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.
2 题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.
应用换底公式应注意的两个方面
方法总结
随堂检测
1．思考辨析
(1) log2x2＝2log2x.(　　)
(2) loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．(　　)
(3) logaM·logaN＝loga(M＋N)．(　　)
(4) logx2＝ .(　　)
×
×
×
√
2．计算log92·log43＝(　　)
A．4 B．2
C. D.
log92·log43＝ · ＝ · ＝
D
3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝(　　)
A. B.
C．ab D．a＋b
∵10a ＝ 2，∴lg 2 ＝ a，
∴log26 ＝ ＝ ＝ .
B
4．计算：(1)log535－2log5 ＋log57－log51.8；
原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55
＝2
(2)log2 ＋log212－ log242－1.
原式＝log2 ＋log212－log2－log22
＝log2
＝log2
＝log2
＝－
1．应用对数的运算法则，可将高一级(乘、除、乘方)的运算转化为低一级(加、减、乘)的运算．
2．换底公式反映了数学上的化归思想，其实质是将不同底的对数运算问题转化为同底的对数运算．
3．熟练掌握对数的运算法则，注意同指数运算法则区别记忆．
本课小结
通过本节课，你学会了什么？