人教A版（2019）数学必修第一册 5.2.1三角函数的概念课件(共40张PPT)

(共40张PPT)
三角函数的概念
高一必修第一册
1.借助于单位圆理解任意角的三角函数的定义．
2.掌握三角函数在各象限的符号．
3.掌握诱导公式(一)及其应用．
本节目标
课前预习
(1)任意角的三角函数的定义是什么？
(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？
(3)如何判断三角函数值在各象限内的符号？
(4)诱导公式一是什么？
预习课本P177～181，思考并完成以下问题
课前小测
1．sin(－315°)的值是(　　)
A．－ B．－ C. D.
C
sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝
2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
B
3．sin π＝________.
sin π＝sin(8π+ )＝sin ＝
4．角α终边与单位圆相交于点M ，则cos α＋sin α的值为________．
故cos α＋sin α＝
cos α＝x＝
sin α＝y＝
新知探究
1．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以________为半径的圆为单位圆．
单位长度
x
y
O
1
2．任意角的三角函数的定义
条件
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R，它的终边与_________交于点P(x，y)，
单位圆
2．任意角的三角函数的定义
结论
①y叫做α的______函数，记作_______，即sin α＝y；
②x叫做α的______函数，记作_______，即cos α＝x；
③ 叫做α的______，记作_______，即tan α＝ (x≠0)．
正弦
sin α
余弦
cos α
正切
tan α
2．任意角的三角函数的定义
总结
＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数.
正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
R
R
4. 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
图示
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
5．公式一
sin α
cos α
tan α
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　三角函数的定义及应用
[探究问题]
1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α，cos α，tan α为何值？
提示：sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x≠0)．
题型一　三角函数的定义及应用
[探究问题]
2．sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
提示：sin α，cos α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．
[例1]　(1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝ x，则sin θ＋tan θ的值为_____________．
因为r＝ ，cos θ＝，所以x＝ .
又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.
又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．
当θ为第一象限角时，sin θ＝ ，tan θ＝3，
则sin θ＋tan θ＝ .
当θ为第二象限角时，sin θ＝ ，tan θ＝－3，
则sin θ＋tan θ＝ .
或
(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，
在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；
在第四象限取直线上的点(1，－)，则r＝ ＝2，
所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
多维探究
变式1 已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α，cos α，tan α的值．
当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，
由r＝|OP|＝ ＝，
得sin α＝ ＝ ，cos α＝ ＝ ，tan α＝ ＝2.
当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，
由r＝|OQ|＝ ＝ ，得：
sin α＝ ＝－ ，cos α＝ ＝－ ，tan α＝ ＝2.
(2)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0) ，求2sin α+cos α的值．
因为r＝ ＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝ ＝ ＝ ，cos α＝ ＝ ＝－，
所以2sin α＋cos α＝ － ＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝ ＝－，cos α＝ ＝ ，
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝ .已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．
归纳总结
题型二　三角函数值符号的运用
[例2]　(1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C
tan α>0
cos α<0
①sin 145°cos(－210°)
∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，
∴cos(－210°)＜0，
∴sin 145°cos(－210°)＜0.
∵ ＜3＜π，π＜4＜ ，
＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
(2)判断下列各式的符号
②sin 3·cos 4·tan 5
提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.
判断三角函数值在各象限符号的攻略
1 基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；
2 关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
3 注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.
解题策略
跟踪训练
1．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上
3a－9≤0
a＋2>0
－2＜a≤3
－2＜a≤3
2．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．
角α是第三象限角
角是第二、四象限角
＝－sin
角是第四象限角
四
题型三　诱导公式一的应用
[例3]　求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°
＝1－1＋
＝
题型三　诱导公式一的应用
[例3]　求值：(2)sincos(－)＋tan (－) cos .
原式＝sincos＋tan·cos
＝sin cos ＋tan cos
＝×＋1×
＝
3 求值
若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
1 定形
将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π ，k∈Z.
2 转化
根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值.
归纳总结
跟踪训练
3．化简下列各式：
(1) a2sin(－1350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1080°)；
原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°
＝a2＋b2－2ab
＝(a－b)2
跟踪训练
3．化简下列各式
(2)sin ＋cosπ·tan 4π.
sin＋cosπ·tan 4π
＝sin ＋cos π·tan 0
＝sin ＋0
＝
随堂检测
1．思考辨析
(1)sin α表示sin与α的乘积．(　　)
(2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大．(　　)
(3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　)
(4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0 ．(　　)
×
×
y变化时，sin α为定值
√
×
不存在
2．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为(　　)
A．1 B．－1
C. D．－
tan α＝ ＝－1
B
3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α＝，则sin β＝________.
设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，
则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝ ，所以sin β＝－y＝－.
－
4．求值：(1) sin 180°＋cos 90°＋tan 0°.
(2) cos ＋tan().
(2)cos ＋tan ()
＝cos () ＋tan ()
＝cos＋tan＝ ＋1＝
(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0
2．诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等，反之不一定成立，记忆时可结合三角函数定义进行记忆．
本课小结
1．三角函数的定义的学习是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点无关这一关键点．
3．三角函数值在各象限的符号主要涉及开方，去绝对值计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上正弦、余弦的符号问题．
通过本节课，你学会了什么？