人教A版（2019）数学必修第一册 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式（3）课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
两角和与差的正切公式
高一必修第一册
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．
本节目标
课前预习
1.tan α，sin α，cos α的关系怎样？利用该关系式及两角和的正、余弦公式，能把tan(α＋β)用tan α，tan β表示吗？
预习课本P217～220，思考并完成以下问题
2.怎样用tan α，tan β表示tan(α－β)吗？
课前小测
1．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于(　　)
A．2 B．1 C. D．4
C
∵tan(α＋β)＝ ＝4，且tan α＋tan β＝2，
∴ ＝4，解得tan αtan β＝ .
2．求值：tan ＝________.
＝－2＋
tan ＝－tan ＝－tan()
＝－
＝－
－2＋
3．已知tan α＝2，则tan(α + )＝________.
tan(α + ) =
=
=
4. ＝________.
= )
=
＝
新知探究
cos(αβ)
sin(αβ)
cos(αβ)＝cosαcosβ sinαsinβ
sin(αβ)＝sinαcos βcosαsin β
两角和与差的正切
tan(αβ)＝
＝
sinαcos βcosαsin β
cosαcosβ sinαsinβ
＝
sinαcosβ
cosαcosβ
cosαsinβ
cosαcosβ
cosαcosβ
cosαcosβ
sinαsinβ
cosαcosβ
＝
tanα tanβ
1 tanαtanβ
两角和与差的正切
tan(αβ)＝
tanα tanβ
1 tanαtanβ
tan(αβ)＝
tan[αβ)]
tanα tan(β)
1 tanαtan (β)
＝
tanα tanβ
1 tanαtanβ
＝
两角和与差的正切公式
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　两角和与差的正切公式的正用
[例1]　(1)已知α，β均为锐角，tan α＝ ，tan β＝ ，则α＋β＝________.
∵α，β均为锐角，
∵tan α＝ ，tan β＝，
∴tan(α＋β)＝ ＝ ＝1.
∴α＋β∈(0，π)，
∴α＋β＝ .
[例1]　(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.
∴tan∠BAD＝ ＝ ，tan∠CAD＝ ＝ ，
tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)
＝
＝
＝
∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，
(1)结构特征
公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
公式T(α±β)的结构特征和符号规律
归纳总结
(2)符号规律
分子同，分母反．
(1)计算待求角的正切值．
(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．
(3)根据角的范围及三角函数值确定角．
利用公式T(α＋β)求角的步骤
归纳总结
跟踪训练
1．(1)已知tan(α－ )＝ ，则tan α＝________.
＝
因为tan(α－ )＝ ，
所以tan α＝tan(α － + )
＝
＝
1．(2)已知角α，β均为锐角，且cos α＝ ，tan(α－β)＝－ ，则tan β＝________.
所以tan β＝tan[α－(α－β)]
因为cos α＝，α为锐角，所以sin α＝ ，tan α＝ ，
＝
＝
＝3
3
题型二　两角和与差的正切公式的逆用
[例2]　(1) ＝________.
(2) ＝________.
原式＝
＝tan(45°＋15°)
＝tan 60°
＝
原式＝
＝
＝tan(－)
＝－tan 45°
＝－1
－1
要特别注意tan(＋α)＝ ， tan(α)＝ .
归纳总结
公式T α±β 的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.
如 =1， = ， =等.
跟踪训练
2．已知α、β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则(　　)
A．tan(α＋β)＝3tan(α－β) B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)
C．3tan(α＋β)＝tan(α－β) D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)
∴sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)
＝2sin(α＋β)cos(α－β)－2cos(α＋β)sin(α－β)，
∴sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，
两边同除以cos(α－β)cos(α＋β)得tan(α＋β)＝3tan(α－β)．
∵sin 2α＝2sin 2β，
∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，
A
题型三　两角和与差的正切公式的变形运用
[探究问题]
1．两角和与差的正切公式揭示了tan αtan β与哪些式子的关系？
提示：揭示了tan αtan β与tan α＋tan β，tan αtan β与tan α－tan β之间的关系．
2．若tan α、tan β是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两个根，则如何用a、b、c表示tan(α＋β)
提示：tan(α＋β)＝＝ ＝.
[例3]　(1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________.
∵tan 67°－tan 22°
＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)
＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)
＝1＋tan 67°tan 22°，
∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°
＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°
＝1
1
[例3]　(2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋ tan Btan C＝，且tan A＋ tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
∵ tan A＋ tan B＝tan Atan B－1，
∴ (tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，
∴ ＝－，∴tan(A＋B)＝－.
又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝ ，∴C＝.
∵tan B＋tan C＋ tan Btan C＝，tan C＝，
∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝，
∴B＝，∴A＝ ，∴△ABC为等腰钝角三角形．
多维探究
变式1 tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝________.
即tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1.
∵tan 45°＝tan(68°－23°)＝ ，
∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°，
1
变式2 能否为例3(1)和变式1归纳出一个一般结论？若能，试证明．
一般结论
若α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，则tan α－tan β－tan αtan β＝1.
证明
∵tan 45°＝tan(α－β)＝ ，
∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β，
即tan α－tan β－tan αtan β＝1.
1．整体意识
若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
2．熟知变形
两角和的正切公式的常见四种变形：
(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
(2)1－tan αtan β＝ ；
(3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；
(4)tan α·tan β＝1－.
技法点拨
随堂检测
1．思考辨析
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　)
(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝ 都成立．(　　)
(3)tan(α＋β)＝等价于tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)．(　　)
当α＝0，β＝时成立
√
α，β，α＋β≠kπ＋ (k∈Z)
×
√
2．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α＝(　　)
A. B. － C．1 D．－1
tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝
＝
＝
A
3．若tan()＝3，则tan α的值为________．
tan α＝tan[]
＝
＝
＝
4．已知cos α＝，cos β＝ ，其中α，β都是锐角，求tan(α＋β)的值．
因为α，β都是锐角，
所以sin α＝ ＝ ，
sin β＝ ＝ ，
tan α＝ ＝2，tan β＝ ＝ ，
所以tan(α＋β)＝ ＝－2.
2．注意公式的变形应用．
如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，
1－tan αtan β＝ ，
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，
1＋tan αtan β＝ 等.
1．公式T(α±β)与S(α±β)、C(α±β)的一个重要区别，就是前者角α、β、α±β都不能取kπ＋(k∈Z)，而后两者α、β∈R，应用时要特别注意这一点．
本课小结
通过本节课，你学会了什么？