人教A版（2019）数学必修第一册 5.7三角函数的应用（1）课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
三角函数的应用(1)
高一必修第一册
本节目标
1. 能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式．
2．整体把握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，并能解决有关问题.
课前预习
(1)在简谐运动中，y＝Asin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期分别为多少？
预习课本P242～244，思考并完成以下问题
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)有哪些性质？
课前小测
1．函数y＝ 的周期、振幅、初相分别是(　　)
A．3π，， B．6π， ，
C．3π，3，－ D．6π，3，
B
2．函数f(x)＝sin 的图象的一条对称轴是(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝－ D．x＝－
C
函数f(x)＝sin的图象的对称轴是x－＝kπ＋，k∈Z，
即x＝kπ＋π，k∈Z，当k＝－1时，x＝－π＋ π＝－.
3.如图是函数y＝sin(ωx＋φ)(|φ|＜)的图象的一部分，那么(　　)
A．ω＝ ，φ＝ B．ω＝ ，φ＝－
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－
∵点(0，)在函数图象上，∴sin φ＝.
又∵|φ|＜，∴φ＝，∴y＝sin(ωx＋)．
又∵点(π，0)在y＝sin(ωx＋)上，且该点是“五点”中的第五个点，
∴sin(πω＋)＝0，∴πω＋＝2π，∴ω＝ .
A
新知探究
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中参数的物理意义
振幅是______
周期T=______
频率f= =______
y＝Asin(ωx＋φ)
(A＞0，ω＞0)
_____是相位
x=0时的相位_____称为初相
A
ωx＋φ
φ
当A＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y＝－sin 的初相不是φ＝－.
易错提醒
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的有关性质
R
[-A, A]
φ＝kπ(k∈Z)
φ＝kπ+ (k∈Z)
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)中参数的物理意义
(1) y＝2sin，x∈R；
[例1] 指出下列函数的振幅A、最小正周期T、初相φ.
(2) y＝－6sin ，x∈R.
φ＝
A＝2
T＝＝4π
A＝6，T＝＝π，φ＝
y＝6sin[π+]＝6sin
反思感悟
首先把函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的形式
再求振幅、周期、初相．应注意A＞0，ω＞0　
跟踪训练
1．已知简谐运动f(x)＝2sin(|φ|< )的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝.
T＝＝ ＝6
∵－＜φ＜，∴φ＝ .
A
2．函数y＝－3sin(x≥0)的初相为________．
y＝3sin
题型二　由图象确定函数的解析式
[例2] 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一部分，求此函数的解析式．
由图象知A＝3，T＝ －()＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点(,0)在函数图象上，∴0＝3sin (2+ φ).
法一: 逐一定参法
∴－×2＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝＋kπ(k∈Z)．
∵|φ|< ，∴φ＝.
∴y＝3sin(2x＋ ).
题型二　由图象确定函数的解析式
[例2] 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一部分，求此函数的解析式．
法二: 待定系数法
∴y＝3sin (2x＋ ).
由图象知A＝3.
∵图象过点(,0)和(,0) ，
∴
+ φ=
+ φ=
=2
φ =
解得
题型二　由图象确定函数的解析式
[例2] 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一部分，求此函数的解析式．
法三: 图象变换法
由A＝3，T＝π，点(, 0)在图象上，
可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，
所以y＝3sin[2(x+ )] ，即y＝3sin (2x+ ).
(2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，求φ.
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．　　
方法总结
跟踪训练
3. 已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f()＝－，则f(0)＝________.
由图可知＝－＝，T＝ ，∴ω＝3，∴f(x)＝Acos(3x＋φ)．
又(,0)是图象上的点，∴ ＋φ＝kπ＋，k∈Z，
法一
∴φ＝kπ－，k∈Z.
∵f()＝，∴Acos( + kπ－)＝－，即Acos(kπ＋)＝－，
∴f(0)＝Acos (kπ－) ＝－Acos (kπ－)
＝－Acos[2kπ- (kπ＋)]＝－Acos(kπ＋)＝.
跟踪训练
3. 已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f()＝－，则f(0)＝________.
法二
由图可知＝ －＝，T＝ ，
∴f(0)＝f()，
注意到＝，即和关于对称，
于是f(0)＝f ()＝－f () ＝ .
题型三　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的应用
[例3] 在函数y＝2sin (4x＋)的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．
∴函数y＝2sin (4x＋)的图象的对称中心坐标为(－,0)(k∈Z)．
由4x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)
取k＝1，得()满足条件．
()
三角函数对称轴、对称中心的求法
方法总结
多维探究
变式1 在函数y＝2cos(4x＋)的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．
由4x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝ －(k∈Z)，
取k＝0时，x＝－.
则所求对称中心为().
()
变式2 将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，求离y轴最近的一条对称轴方程．
由4x＋ ＝kπ＋(k∈Z)，得x＝ －(k∈Z)，
取k＝0，x＝－满足题意，
故离y轴最近的一条对称轴方程为x＝－.
随堂检测
1．最大值为，周期为，初相为的函数表达式是(　　)
A．y＝ sin B．y＝ sin
C．y＝ sin D．y＝ sin
D
2．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R, ω>0, 0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则(　　)
A．ω＝，φ＝ B．ω＝ ，φ＝
C．ω＝ ，φ＝ D．ω＝ ，φ＝
因为T＝2×[3－(－1)]＝8，
所以ω＝＝＝ ，
又因为f(1)＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．
所以φ＝ ＋2kπ(k∈Z)，又因为0≤φ<2π，所以φ＝ .
C
3．利用“五点法”作函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象时，其五点的坐标分别为，，， ， ，则A＝________，T＝________.
T＝2 ＝π
A＝
π
4. 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0, ω>0, |φ|<)的图象如图，求函数的表达式．
由函数图象可知A＝1，函数周期T＝2×[3－(－1)]＝8，
所以ω＝ ＝，又sin (＋φ) ＝0，
所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，
而|φ|< ，所以φ＝－，
所以函数的表达式为y＝sin (x) .
本课小结
2. 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的综合应用，往往涉及三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等，在解题时，要熟练掌握和运用三角函数的相关性质．
1．曲线y＝Asin (ωx＋φ)的应用实质上是物理方面的知识．所以建立该类问题的数学模型一定要结合物理知识进行．
通过本节课，你学会了什么？