人教A版（2019）数学必修第一册2.2基本不等式（1）课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
基本不等式(1)
本节目标
1．了解基本不等式的证明过程．
2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.
课前预习
什么是重要不等式，它成立的条件是什么？
(2) 基本不等式的形式是什么？需具备哪些条件？
预习课本P44～45，思考并完成以下问题
课前小测
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　)
A．a＝±1　　　 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
B
当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0即a＝1时，“＝”成立．
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是(　　)
A．a2＋b2 B．2
C．2ab D．a＋b
D
∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b，
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(∵a≠b)，
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
又∵a＋b＞2 (∵a≠b)，∴a＋b最大．
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为(　　)
A．1　　　　B．2 C．4　　　　D．8
∵a>0，b>0，
∴a＋b≥2＝2，
当且仅当a＝b＝1时取等号，
故a＋b的最小值为2.
B
4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．
① ≥ ；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
③
前提是a>0，b>0
×
×
√
×
新知探究
a，b∈R，有a2＋b2≥ ________，当且仅当________时，等号成立．
1．重要不等式
2ab
a＝b
(a-b)2≥0
a 2 - 2ab＋b2≥0
a 2＋b2≥2ab
(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤ ，当且仅当________时，等号成立．
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的___________，把叫做正数a，b的____________．
算术平均数
几何平均数
a＝b
2．基本不等式
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　对基本不等式的理解
其中正确的推导为(　　)
A．①②　　　　 B．①③
C．②③ D．①②③
[例1]　给出下面四个推导过程：
①∵a、b为正实数，∴ ＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴ ＋a≥2＝4；
③∵x、y∈R，xy＜0，∴ ＝－[ ]≤－2 ＝－2.
B
反思感悟
1．基本不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．
反思感悟
2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面
(1)定理成立的条件是a、b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：
当a＝b时， ≤ 的等号成立，即a＝b ＝ ；
仅当a＝b时， ≥ 的等号成立，即＝ a＝b.
跟踪训练
1．下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x＞1，则x＋≥2 ＝2.
②若x＜0，则x＋ ＝－ ≤－2 ＝－4.
③若a，b∈R，则 ＝2 .
②
x=1时取等号，x>1时取不到等号
忽略了每一项须为正的条件
×
√
×
题型二　利用基本不等式比较大小
[例2]　(1)已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是(　　)
A．a＋b≥2 B. ≥2
C. ≥2 D. ≥
D
题型二　利用基本不等式比较大小
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
∵a、b、c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.
p > q
反思感悟
1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．
2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，
a＋b≥ 2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；
a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
跟踪训练
2．如果0＜a＜b＜1，P＝ ，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　)
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
B
题型三　利用基本不等式证明不等式
[例3]　已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证： ＋ ＋ >9.
思路点拨
把＋ ＋ >9中的“1” 换成“a＋b＋c” ，裂项构造基本不等式的形式.
多维探究
变式 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证： ()( )( )>8.
·
·
＝8
当且仅当a＝b＝c时取等号
()( )( )>8
反思感悟
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
反思感悟
2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
跟踪训练
3．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
由基本不等式可得a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，
同理，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，
∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，
从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
4．已知a＞1，b＞0， ＝1，求证：a＋2b≥2＋7.
由＝1，得b＝(a＞1)，
则a＋2b＝a＋＝a＋
＝a＋＋6＝(a－1)＋ ＋7≥2＋7，
当a－1＝ 时，即a＝1＋时，取等号．
随堂检测
1．思考辨析
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．(　　)
(2)若a≠0，则a＋≥2＝2.(　　)
(3)若a>0，b>0，则ab≤ .(　　)
×
×
√
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a－b<0　　　 B．0< <1
C. < D．ab>a＋b
C
3．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　)
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
C
4．设a>0，b>0，证明： ≥a＋b.
∵a>0，b>0，
∴ ＋a≥2b， ＋b≥2a，
∴ ＋ ≥a＋b.
本课小结
应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a>0，b>0时，才会有≤ .
对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时， ＝ ；另一方面，当＝ 时，也有a＝b.
本课小结
应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构.
通过本节课，你学会了什么？