人教A版（2019）数学必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式（1）课件(共43张PPT)

(共43张PPT)
二次函数与一元二次方程、不等式(1)
本节目标
1.掌握一元二次不等式的解法
2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．
课前预习
(1)怎样判断一个不等式是否为一元二次不等式？ 　
(2)如何求解一元二次不等式？ 　
(3)三个“二次”指的是哪三个“二次”？它们之间有何关系？
预习课本P50～53，思考并完成以下问题
课前小测
1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　　)
A. B.
C. D．R
C
3＋5x－2x2≤0 2x2－5x－3≥0 (x－3)(2x＋1)≥0 x≥3或x≤－
2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为(　　)
A. 　 B.
C． D．R
D
Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0
所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R
3．不等式x2－2x－5>2x的解集是_______________．
{x | x>5或x<－1}
4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为_____________．

新知探究
1．一元二次不等式的概念
只含有______未知数，并且未知数的最高次数是____的不等式，称为一元二次不等式．
一个
2
如：2x2-3x+1>0
x2-12x+20<0
4x2-4x-15>0
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．
(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
2．一元二次不等式的一般形式
思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？
提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．
3．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的___________．
解集
思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？
提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．
4．三个“二次”的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有
实数根
画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
得不等式的解集 y＞0 ________________ _____________ _____
y＜0 ________________ _______ ______
{x|x＜x1或x＞x2}
{x|x1＜x＜x2}
R


思考3：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则，解得a∈ ，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　一元二次不等式的解法
[例1]　解不等式：(1)2x2＋7x＋3>0；
原不等式的解集为
Δ＝72－4×2×3＝25>0
2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－
二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上
题型一　一元二次不等式的解法
[例1]　解下列不等式：(2)－4x2＋18x－ ≥0；
原不等式的解集为
≤0
题型一　一元二次不等式的解法
[例1]　解下列不等式：(3)－2x2＋3x－2<0.
原不等式的解集为R
2x2－3x＋2>0
Δ＝9－4×2×2＝－7<0
方程2x2－3x＋2＝0无实根
二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上
反思感悟
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
1 化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
2 判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
3 求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
4 画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
5 写解集.根据图象写出不等式的解集.
跟踪训练
1．解下列不等式
(1)2x2－3x－2>0； (2)x2－4x＋4>0；
跟踪训练
1．解下列不等式
(3)－x2＋2x－3<0； (4)－3x2＋5x－2>0.
题型二　含参数的一元二次不等式的解法
[例2]　解关于x的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0.
当a＝0时，原不等式可化为x>1.
当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.
当a<0时，不等式可化为(x－1)>0，∵ <1，∴x< 或x>1.
当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0.
若<1，即a>1，则若＝1，即a＝1，则x∈ ；
若>1，即0题型二　含参数的一元二次不等式的解法
[例2]　解关于x的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0.
综上所述，
当a<0时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，原不等式的解集为 ；
当a>1时，原不等式的解集为.
反思感悟
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
跟踪训练
2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．
题型三　三个“二次”的关系
[探究问题]
1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？
函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1题型三　三个“二次”的关系
[探究问题]
1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．
2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？
方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．
不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，
观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1则即不等式的解集的端点值是相应方程的根．
[例3]　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2由给定不等式的解集形式
确定a＜0及关于a, b, c的方程组
用a表示 b, c
代入所求不等式
求解cx2＋bx＋a<0的解集
由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2由根与系数的关系可知＝－5， ＝6.
由a<0知c<0， ＝ .
故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋ x＋ >0，即x2－ x＋ >0，解得x< 或x> ，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
[例3]　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2法一
[例3]　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2法二
由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a b＝－5a，c＝6a.
故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0 6a<0.
故原不等式的解集为.
多维探究
变式1 (变结论) 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2由根与系数的关系知＝－5， ＝6且a<0.
∴c<0， ＝－，
故不等式cx2－bx＋a>0，即x2－ x＋ <0，即x2＋ x＋ <0.
解之得.
变式2 (变条件) 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
反思感悟
已知以a，b，c为参数的不等式 如ax2＋bx＋c＞0 的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
1 根据解集来判断二次项系数的符号；
2 根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
3 约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
随堂检测
1．思考辨析
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　)
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．(　　)
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(　　)
×
×
×
√
2．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a) <0的解集为_________________．
3．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是 ，则ax2－bx＋c>0的解集为______________________．
4．解下列不等式：
(1)x(7－x)≥12； (2)x2>2(x－1)．
本课小结
1．解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
当m若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}．
有口诀如下：大于取两边，小于取中间．
2．含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，
x1＝x2，x1＜x2.
3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.
通过本节课，你学会了什么？