22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h) +k的图象和性质(第2课时)
一、教学目标
【知识与技能】
1.能画出二次函数y=a(x-h)2的图象;
2.了解抛物线y=ax2与抛物线y=a(x-h)2的联系;
3.掌握二次函数y=a(x-h)2的图象特征及其简单性质.
【过程与方法】
通过动手操作、观察比较、分析思考、规律总结等活动过程完成对二次函数y=a(x-h)2的图象及其性质的认知.
【情感态度与价值观】
在学生学习活动过程中,使他们进一步体会数形结合的思想方法,培养创造性思维能力和动手实践能力,增强学习兴趣、激发学习欲望.
二、课型
新授课
三、课时
第2课时,共3课时。
四、教学重难点
【教学重点】
1.掌握二次函数y=a(x-h)2的图象及性质;
2.二次函数y=ax2与y=a(x-h)2图象之间的联系.
【教学难点】
利用二次函数y=a(x-h)2的性质解决实际问题.
五、课前准备
课件、三角尺、铅笔等
六、教学过程
(一)导入新课
教师问:说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.(出示课件3)
学生答:
a,c的符号 a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0 a<0,c<0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴(直线x=0) y轴(直线x=0)
顶点坐标 (0,c) (0,c)
函数的增减性 当x<0时,y随x增大而减小;当x>0时,y随x增大而增大. 当x<0时,y随x增大而增大;当x>0时,y随x增大而减小.
最值 x=0时,y最小值=c x=0时,y最大值=c
教师问:二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象有何关系?(出示课件4)
学生答:二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2(a≠0)
的图象平移得到:
当k>0时,向上平移个单位长度得到.
当k<0 时,向下平移个单位长度得到.
思考:函数的图象,能否也可以由函数平移得到?
㈡探索新知
探究一 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
在如图所示的坐标系中,画出二次函数与的图象.(出示课件6)
学生自主操作,画图,教师加以巡视,纠正画图过程中可能出现的失误,并引导他们进行分析,发现规律,获得感性认识.
1.列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 2 0 2 …
… 8 2 0 …
2.再描点、连线,画出这两个函数的图象:(出示课件7)
根据所画图象,填写下表:(出示课件8)
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
向上 y轴 (0,0) 当x=0时, y最小值=0 当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小
向上 x=2 (2,0) 当x=2时, y最小值=0 当x>2时,y随x的增大而增大;当x<2时,y随x的增大而减小
想一想:通过上述例子,函数y=a(x-h)2(a>0)的性质是什么?
师生共同归纳:二次函数y=a(x-h)2(a>0)的图象性质
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
y=a(x-h)2 (a>0) 向上 X=h (h,0) 当x=h时, y最小值=0 当x>h时,y随x的增大而增大;当x<h时,y随x的增大而减小
试一试:画出二次函数的图象,并说出它们的开口方向、对称轴和顶点.(出示课件10)
学生自主操作,画图,教师加以巡视.
列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… -2 0 -2 -8 …
… -8 -2 0 -2 …
2.描点、连线,画出这两个函数的图象:
学生结合图象,整理如下:(出示课件11)
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
向下 直线x=-1 (-1,0) 当x=-1时, y最大值=0 当x<-1时,y随x的增大而增大;当x>-1时,y随x的增大而减小
向下 直线x=0 (0,0) 当x=0时, y最大值=0 当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小
向下 直线x=1 (1,0) 当x=1时, y最大值=0 当x<1时,y随x的增大而增大;当x>1时,y随x的增大而减小
想一想:通过上述例子,函数y=a(x-h)2(a<0)的性质是什么?(出示课件12)
师生结合图象共同归纳:函数y=a(x-h)2(a<0)的性质:
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
y=a(x-h)2 (a<0) 向下 X=h (h,0) 当x=h时, y最大值=0 当x<h时,y随x的增大而增大;当x>h时,y随x的增大而减小
教师共同认知:二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象性质(出示课件13)
y=a(x-h)2 a>0 a<0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 (h,0) (h,0)
最值 当x=h时,y最小值=0 当x=h时,y最大值=0
增减性 当x<h时,y随x的增大而减小;x>h时,y随x的增大而增大. 当x>h时,y随x的增大而减小;x<h时,y随x的增大而增大.
出示课件14:例 若抛物线y=3(x+)2的图象上的三个点,A(-3,y1),B(-1,y2),C(0,y3),则y1,y2,y3的大小关系为________________.
学生独立思考后,师生共同解决如下:
解:∵抛物线y=3(x+)2的对称轴为x=-,a=3>0,开口向上,∴当x<-时,即在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;当x>-时,即在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.
∵点A的坐标为(-3,y1),
∴点A在抛物线上关于x=-的对称点A′的坐标为(,y1).
又∵-1<0<,
∴y2<y3<y1.
教师点拨:(出示课件15)
利用函数的性质比较函数值的大小时,首先确定函数的对称轴,然后判断所给点与对称轴的位置关系,若同侧,直接比较大小;若异侧,先依对称性转化到同侧,再比较大小.
出示课件16:已知二次函数y=-(x+h)2,当x<-3时,y随x的增大而增大,当x>-3时,y随x的增大而减小,当x=0时,y的值是( )
A.-1 B.-9 C.1 D.9
学生独立思考并口答:B
探究二 二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
教师问:抛物线,与抛物线有什么关系?(出示课件17)
学生结合图象独立思考并口述,教师加以整理.
师生共同认知如下:(出示课件18)
二次函数y=a(x-h)2的图象与y=ax2的图象的关系:可以看作互相平移得到.
左右平移规律:括号内左加右减;括号外不变.
出示课件19:例 抛物线y=ax2向右平移3个单位后经过点(-1,4),求a的值和平移后的函数关系式.
学生独立思考后,师生共同解答.
解:二次函数y=ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y=a(x-3)2,
把x=-1,y=4代入,得4=a(-1-3)2,,
因此平移后二次函数关系式为y=(x-3)2.
教师总结:根据抛物线左右平移的规律,向右平移3个单位后,a不变,括号内应“减去3”;若向左平移3个单位,括号内应“加上3”,即“左加右减”.
出示课件20:将二次函数y=-2x2的图象平移后,可得到二次函数y=-2(x+1)2的图象,平移的方法是( )
A.向上平移1个单位 B.向下平移1个单位
C.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位
学生独立思考后,自主解答.
解析 抛物线y=-2x2的顶点坐标是(0,0),抛物线y=-2(x+1)2的顶点坐标是(-1,0).则由二次函数y=-2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y=-2(x+1)2的图象.
(三)课堂练习(出示课件21-25)
1.已知二次函数y=﹣(x﹣h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为﹣1,则h的值为( )
A.3或6 B.1或6
C.1或3 D.4或6
2.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度,那么平移后抛物线的解析式是 .
3.二次函数y=2(x-)2图象的对称轴是直线_______,顶点是________.
4.若(-,y1)(-,y2)(,y3)为二次函数y=(x-2)2图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为_______________.
5.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
6.在同一坐标系中,画出函数y=2x2与y=2(x-2)2的图象,分别指出两个图象之间的相互关系.
7.在直角坐标系中画出函数y=(x-3)2的图象.
(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)说明该函数图象与二次函数y=x2的图象的关系;
(3)根据图象说明,何时y随x的增大而减小,何时y随x的增大而增大,何时y有最大(小)值,是多少
参考答案:
1.B
2.y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
3.;
4.y1>y2>y3
5.
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 直线x=3 (3,0)
向上 直线x=2 (2,0)
向下 直线x=1 (1,0)
6.解:图象如图.
函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.
7.解:(1)开口向上,对称轴为x=3,顶点坐标为(3,0).
(2)该函数图象由二次函数y=x2的图象向右平移3个单位得到.
(3)当x>3时,y随x的增大而增大,当x<3时,y随x的增大而减小,当x=3时,y有最小值,为0.
(四)课堂小结
通过这节课的学习,你有哪些收获和体会 说说看.
(五)课前预习
预习下节课(22.1.3第3课时)的相关内容.
七、课后作业
配套练习册内容
八、板书设计:
九、教学反思:
本课时教学仍在于着重培养学生的比较和判断能力,通过比较找出异同点,从而进一步归纳性质,并通过练习使学生从“练”中“悟”,形成函数意识.
1 / 1422.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h) +k的图象和性质(第3课时)
一、教学目标
【知识与技能】
1.会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象;
2.掌握抛物线y=ax2与y=a(x-h)2+k之间的平移规律;
3.依据具体问题情境建立二次函数y=a(x-h)2+k模型来解决实际问题.
【过程与方法】
通过“活动探究——观察思考——运用迁移”等三个环节来获取新知识,掌握新技能,解决新问题.
【情感态度与价值观】
进一步培养学生观察能力、抽象概括能力,渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法,了解从特殊到一般的辩证关系.
二、课型
新授课
三、课时
第3课时,共3课时。
四、教学重难点
【教学重点】
二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象及其性质.
【教学难点】
1.二次函数y=a(x-h)+k与y=ax2(a≠0)的图象之间的平移关系;
2.通过对图象的观察,分析规律,归纳性质.
五、课前准备
课件、三角尺、铅笔等
六、教学过程
(一)导入新课
说出平移方式,并指出其顶点与对称轴.(出示课件2)
⑴y=ax2→y=ax2+k.
⑵y=ax2→y=a(x-h)2.
学生口答:⑴k>0,上移;k<0,下移;顶点(0,k);对称轴y轴.
⑵左加右减;顶点(h,0);对称轴x=h.
(二)探索新知
探究一 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
画出函数的图象,并指出它的开口方向、对称轴和顶点.(出示课件4)
学生自主操作,画图,教师加以巡视,纠正画图过程中可能出现的失误,并引导他们进行分析,发现规律,获得感性认识.
解:如图所示:
开口方向:向下;
对称轴:x=-1;
顶点:(-1,-1).
请在上面所在的平面直角坐标系内,画出抛物线y=-x2,及抛物线y=-x2-1,y=-(x+1)2,观察所得到的四个抛物线,你能发现什么?(出示课件5)
学生自主操作,画图,并整理
解:如图所示.
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=x2 向下 x=0 (0,0)
y=x2-1 向下 x=0 (0,-1)
y=(x+1)2 向下 x=-1 (-1,0)
y=(x+1)2-1 向下 x=-1 (-1,-1)
出示课件6:画出函数y=2(x+1)2-2图象,并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.
学生独立思考,自主操作.
解:如图所示.
开口方向向上;对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2).
师生共同总结如下:(出示课件7)
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质:
a>0 a<0
图象 h>0
h<0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 (h,k) (h,k)
函数的增减性 当xh时,y随x增大而增大. 当xh时,y随x增大而减小.
最值 x=h时,y最小值=k x=h时,y最大值=k
例 已知二次函数y=a(x-1)2-c的图象如图所示,则一次函数y=ax+c的大致图象可能是( )(出示课件8)
学生自主思考后,师生共同解决如下:
解析 根据二次函数开口向上则a>0,根据-c是二次函数顶点坐标的纵坐标,得出c>0,故一次函数y=ax+c的大致图象经过第一、二、三象限.
在同一坐标系内,一次函数y=ax+2与二次函数y=x +a的图象可能是( )(出示课件9)
生独立解决并口答:C
探究二 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与平移
教师问:怎样移动抛物线就可以得到抛物线?(出示课件10)
教师图形演示后,师生共同总结如下:
教师问:还可以怎样移动抛物线就可以得到抛物线?(出示课件11)
教师图形演示后,师生共同总结如下:
出示课件12:二次函数y=a(x-h)2+k的几种图象:
教师问:这些图象与抛物线y=ax2有什么关系?
学生自主思考后,教师归纳:(出示课件13)
一般地,抛物线y=a(x-h) +k与y=ax 形状相同,位置不同.把抛物线y=ax 向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x-h) +k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
平移方法:
师生共同总结:抛物线y=a(x-h)2+k的特点(出示课件14)
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的关系(出示课件15)
可以看作互相平移得到的.平移规律:
简记为:上下平移,括号外上加下减;左右平移,括号内左加右减.二次项系数a不变.
出示课件16:如果一条抛物线的形状与形状相同,且顶点坐标是(4,2),试求这个函数关系式.
学生独立思考后自主解决.
解:
出示课件17:例 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长
生自主思考后,师生共同解决如下:(出示课件18)
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点,
因此可设这段抛物线对应的函数是y=a(x-1)2+3(0≤x≤3).
∵这段抛物线经过点(3,0),
∴0=a(3-1)2+3.
解得:a=-.
因此抛物线的解析式为:y=-(x-1)2+3(0≤x≤3).
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
出示课件19:如图所示,已知一个大门呈抛物线型,其地面宽度AB=18m,一个同学站在门内,在离门脚B点1m远的D处,垂直地面立起一根1.7m长的木杆,其顶端恰好定在抛物线形门上C处,请你求出大门的高h的值.
学生独立思考后自主解决.(出示课件20)
解:如图,建立平面直角坐标系,
设抛物线解析式为y=ax2+k.
由题意得B(9,0),C(8,1.7).
把B、C两点的坐标代入y=ax2+k,得
解得
∴y=-0.1x2+8.1,
∴h=k=8.1,即大门高8.1m.
教师问:此题还可以怎样解决?
学生答:此题还可以以AB所在直线为x轴,A点或B点为原点,建立平面直角坐标系,求得抛物线的解析式,进而得出顶点坐标,顶点的纵坐标即为h的值.
(三)课堂练习(出示课件21-26)
1.抛物线y=3(x﹣1)2+1的顶点坐标是( )
A.(1,1) B.(﹣1,1)
C.(﹣1,﹣1) D.(1,﹣1)
2.将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为( )
A.y=﹣5(x+1)2﹣1 B.y=﹣5(x﹣1)2﹣1
C.y=﹣5(x+1)2+3 D.y=﹣5(x﹣1)2+3
3.完成下表:
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
y=-3(x-1)2-2
y=4(x-3)2+7
y=-5(2-x)2-6
4.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,那么所得抛物线是___________________.
5.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位,再向上平移1个单位,得到抛物线的解析式为 _____________.
6.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到y=-3x2.
7.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到,请直接写出该二次函数的解析式.
8.已知二次函数的图象过坐标原点,它的顶点坐标是(1,-2),求这个二次函数的关系式.
9.小敏在某次投篮中,球的运动线路是抛物线y=x2+3.5的一部分(如图),若命中篮圈中心,则她与篮底的距离l是( )
A.3.5 m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m
参考答案:
1.A
2.A
3.
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 向上 直线x=-3 (-3,5)
y=-3(x-1)2-2 向下 直线x=1 (1,-2)
y=4(x-3)2+7 向上 直线x=3 (3,7)
y=-5(2-x)2-6 向下 直线x=2 (2,-6)
4.
5.
6.答:先向左平移一个单位,再向下平移两个单位.
7.解:设该二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k,由题意得y=5(x+1)2+3.
8.解:由函数顶点坐标是(1,-2),
设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2.
因为图象过点(0,0),则0=a(0-1)2-2,
解得a=2.
所以这个二次函数的关系式为y=2(x-1)2-2.
9.解析:由图可以知道,小敏与篮底的距离就是AB.因为AB=OA+OB,OA=2.5m,所以要求OB即可,而OB就是篮圈中心的横坐标,设为a,则篮圈中心的坐标就是(a,3.5),点在抛物线上,即:3.5=a2+3.5,整理得:a2=2.25,即a=±1.5,a=-1.5(舍去),故a=1.5,因此AB=4.
(四)课堂小结
通过这节课的学习,你有哪些收获和体会 说说看.
(五)课前预习
预习下节课(22.1.4第1课时)的相关内容.
七、课后作业
1.教材习题22.1第5题.
2.配套练习册内容
八、板书设计:
九、教学反思:
前面的几个课时是从最基本的二次函数图象入手开始探索,已初步对二次函数的性质进行了归纳,因此本课时的内容算是对前面内容的小结.所以教学时教师应大胆放手让学生自主归纳与探究,教师给予引导和提示并让学生适时进行练习,以巩固所学,在这一过程中应注意渗透数形结合的思想方法.
1 / 1322.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h) +k的图象和性质(第1课时)
一、教学目标
【知识与技能】
1.能画出二次函数y=ax2+k的图象;
2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+k图象之间的联系;
3.掌握二次函数y=ax2+k的图象及其性质.
【过程与方法】
通过画二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象,感受它们与y=2x2的联系,并由此得到y=ax2与y=ax2+k的图象及性质的联系和区别.
【情感态度与价值观】
在通过类比的方法获取二次函数y=ax2+k的图象及其性质过程中,进一步增强学生的数形结合意识,体会通过探究获得知识的乐趣.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时,共3课时。
四、教学重难点
【教学重点】
1.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象之间的联系;
2.二次函数y=ax2+k的图象及其性质.
【教学难点】
二次函数y=ax2+k的性质的基本应用.
五、课前准备
课件、三角尺、铅笔等
六、教学过程
(一)导入新课
这个函数的图象是如何画出来呢?(出示课件2)
(二)探索新知
探究一 二次函数y=ax2+k图象的画法
在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2 ,y=x2+1,y=x2-1的图象.(出示课件4)
学生自主操作,画图,教师加以巡视,纠正画图过程中可能出现的失误,并引导他们进行分析,发现规律,获得感性认识.
1.列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y=x2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 …
y=x2-1 … 8 3 0 -1 0 3 8 …
2.描点,连线:(出示课件5)
教师问:抛物线y=x2 、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么?(出示课件6)
学生独立思考并整理.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=x2 向上 x=0 (0,0)
y=x2+1 向上 x=0 (0,1)
y=x2-1 向上 x=0 (0,-1)
出示课件7:例 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=2x2+1,y=2x2-1的图象.
学生自主操作,画图,教师加以巡视.
解:先列表:
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 …
y=2x2-1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 …
然后描点画图:(出示课件8)
教师问:抛物线y=2x2+1 , y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么?(出示课件9)
学生独立思考并整理.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2x2+1 向上 x=0 (0,1)
y=2x2-1 向上 x=0 (0,-1)
探究二 二次函数y=ax2+k的性质
教师归纳:(出示课件10)二次函数y=ax2+k(a>0)的性质:
开口方向:向上.
对称轴:x=0.
顶点坐标:(0,k).
最值:当x=0时,有最小值,y=k.
增减性:当x<0时,y随x的增大而减小;
当x>0时,y随x的增大而增大.
出示课件11:在同一坐标系中,画出二次函数,,的图像,并分别指出它们的开口方向,对称轴和顶点坐标.
学生自主操作,画图,并整理.
解:如图所示.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=x2 向下 x=0 (0,0)
y=x2+2 向下 x=0 (0,2)
y=x2-2 向下 x=0 (0,-2)
出示课件12:在同一坐标系内画出下列二次函数的图象:
;;.
学生自主操作,画图,教师巡视加以指导.
出示课件13,14:根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 ;
(2)三条抛物线的开口方向_______;
(3)对称轴都是__________;
(4)从上而下顶点坐标分别是_____________________;
(5)顶点都是最____点,函数都有最____值,从上而下最大值分别为_______、_______﹑________;
(6) 函数的增减性都相同:____________________________.
学生独立思考并口答.
⑴抛物线;⑵向下;⑶直线x=0;⑷( 0,2),(0,0),( 0,-2);⑸高;大;y=2,y=0,y=-2;⑹对称轴左侧y随x增大而增大,对称轴右侧y随x增大而减小
师生共同归纳:二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质(出示课件15)
y=ax2+k a>0 a<0
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴(x=0) y轴(x=0)
顶点坐标 (0,k) (0,k)
最值 当x=0时,y最小值=k 当x=0时,y最大值=k
增减性 当x<0时,y随x的增大而减小;x>0时,y随x的增大而增大. 当x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随x的增大而增大.
出示课件16:已知二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x=x1+x2时,其函数值为________.
学生独立思考后,师生共同解答.
解:由二次函数y=ax2+c图象的性质可知,x1,x2关于y轴对称,即x1+x2=0.把x=0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.
教师归纳:方法总结:二次函数y=ax2+c的图象关于y轴对称,因此左右两部分折叠可以重合,函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数.
出示课件17:抛物线y= 2x2+3的顶点坐标是________,对称轴是________,在________侧,y随着x的增大而增大;在________侧,y随着x的增大而减小.
学生口答:(0,3);y轴;对称轴左;对称轴右
探究三 二次函数y=ax2+k的图象及平移
出示课件18:从数的角度探究:
出示课件19:从形的角度探究:
观察图象可以发现,把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度,就得到抛物线_____;把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度,就得到抛物线y=2x2-1.
学生观察图象并解答:上;y=2x2+1;下
师生共同归纳:二次函数y=ax2与y=ax2+k(a≠0)的图象的关系(出示课件20)
二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到:
当k>0时,向上平移个单位长度得到.
当k<0时,向下平移个单位长度得到.
教师强调:上下平移规律:平方项不变,常数项上加下减.
出示课件21:二次函数y=-3x2+1的图象是将 ( )
A.抛物线y=-3x2向左平移3个单位得到
B.抛物线y=-3x2向左平移1个单位得到
C.抛物线y=3x2向上平移1个单位得到
D.抛物线y=-3x2向上平移1个单位得到
学生独立思考并口答:D
出示课件22:想一想:
教师问1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步?
学生答:第一种方法:平移法,分两步,即第一步画y=ax2的图象;第二步把y=ax2的图象向上(或向下)平移︱k︱单位.
第二种方法:描点法,分三步即列表、描点和连线.
教师问2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么?怎样决定的?k决定什么?它的对称轴是什么?顶点坐标怎样表示?
学生答:a决定开口方向和大小;k决定顶点的纵坐标.
(三)课堂练习(出示课件23-27)
1.将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是 .
2.抛物线y=2x2向下平移4个单位,就得到抛物线 .
3.填表:
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高(低)点
y=3x2
y=3x2+1
y=-4x2-5
4.已知点(m,n)在y=ax2+a(a不为0)的图象上,点(-m,n)___(填“在”或“不在”)y=ax2+a(a不为0)的图象上.
5.若y=x2+(k-2)的顶点是原点,则k____;若顶点位于x轴上方,则k____;若顶点位于x轴下方,则k____.
6.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题:
⑴抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
(2)函数y=-x2+1,当x_____时,y随x的增大而减小;当x_____时,函数y有最大值,最大值y是_____,其图象与y轴的交点坐标是_____,与x轴的交点坐标是_____.
(3)试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
7.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大,则m=____.
8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为(0,2), 则a=____.
9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A(-2,0)﹑B两点,与y轴交于点C(0,-4),则三角形ABC的面积是_______.
参考答案:
1.y=x2+2
2.y=2x2-4
3.
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高(低)点
y=3x2 向上 (0,0) y轴 有最低点
y=3x2+1 向上 (0,1) y轴 有最低点
y=-4x2-5 向下 (0,-5) y轴 有最高点
4.在
5.=2;>2;<2
6.⑴向下平移1个单位.
⑵>0;=0;1;(0,1);(-1,0),(1,0)
⑶开口方向向上,对称轴是y轴,顶点坐标(0,-3).
7.2
8.-2
9.8
(四)课堂小结
通过这节课的学习,你有哪些收获和体会 说说看.
(五)课前预习
预习下节课(22.1.3第2课时)的相关内容.
七、课后作业
配套练习册内容
八、板书设计:
九、教学反思:
本课时教学重点在于培养学生的比较能力,旨在希望学生通过对比发现函数图象的性质,从而进一步增强学生的数形结合意识,体会通过探究获得知识的乐趣.
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