21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
一、教学目标
【知识与技能】
了解配方的概念，能够熟练地利用配方法解一元二次方程及解决有关问题。
【过程与方法】
理解通过变形运用开平方法解一元二次方程的方法，进一步体会降次的数学思想方法.
【情感态度与价值观】
在学生合作交流过程中，进一步增强合作交流意识，培养探究精神，增强数学学习的乐趣.
二、课型
新授课
三、课时
第2课时，共2课时。
四、教学重难点
【教学重点】
用配方法解一元二次方程.
【教学难点】
用配方法解一元二次方程的方法和技巧.
五、课前准备
课件
六、教学过程
（一）导入新课
要使一块矩形场地的长比宽多6米，并且面积为16平方米，求场地的长和宽应各是多少？（出示课件2）
教师展示以下问题，学生思考。
如果设这个长方形场地的宽为xm，则长为 ，由题意可列出的方程为 ，化为一般式，得 ，怎样解这个方程？能不能用直接开平方法？
（二）探索新知
让学生阅读第6~7页探究内容，思考并回答如下问题：（出示课件4）
1.用直接开平方法解下列方程:
(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗
(1)x2+6x+9=5；
(2)x2+6x+4=0.
教师总结：把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)的形式，再利用开平方来解.
出示课件5：填一填下列完全平方公式.
(1)a2+2ab+b2=( )2；
(2)a2-2ab+b2=( )2.
出示课件6：填一填
教师问：你发现了什么规律？
学生答：
⑴二次项系数都为1.
⑵配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
出示课件7：怎样解方程: x2+6x+4=0（1）
（1）方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？
学生思考后，共同解答如下：
教师强调：
二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.
（2）为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？（出示课件8）
学生思考后，教师加以提示：不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.
归纳总结：（出示课件9）
像上面那样，通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法叫做配方法.
配方是为了降次 ，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.
例1 解方程：（出示课件10）
师生共同讨论解答如下：
解：移项，得x2-8x＝-1
配方，得x2-8x+4 =-1+4 ，
整理，得(x-4)2=15，
由此可得
出示课件11：解方程：x2+8x-4=0.
学生自主思考并解答.
解：移项，得 x2+8x＝4
配方，得 x2+8x+4 =4+4 ，
整理，得 (x+4)2=20，
由此可得 x+4=，
x1＝，x2＝.
例2 解方程（1）（出示课件12）
师生共同讨论解答如下：
解：移项，得2x2－3x=－1,
二次项系数化为1，得
配方，得
由此可得
（2）（出示课件13）
师生共同讨论解答如下：
解：移项，得
二次项系数化为1，得
配方，得
即
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
教师问：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？（出示课件14）
学生答：移项时需注意改变符号.
教师问：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
学生答：①移项，二次项系数化为1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
根据解方程的过程及学生的回答，教师总结如下：（出示课件15）
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成（x+n）2=p.
⑴当p>0时，则 ,方程的两个根为
x1=-n- , x2=-n+;
(2)当p=0时，则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n;
(3)当p<0时，则方程(x+n)2=p无实数根.
出示课件16-19，选4名学生板演，师生共同完成后，老师仍要向学生强调方程无实数根的情况.
例3试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零.（出示课件20）
师生共同讨论解答如下：
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
教师强调：证明代数式的值恒为正数,需要利用配方法将代数式化成几个非负数的和,利用非负数的性质说明代数式的值恒为正数.
例4若a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. （出示课件21）
师生共同讨论解答如下：
解：对原式配方，得
根据非负数的性质得
由此可得
即
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC为直角三角形.
出示课件22，进行及时巩固.
教师问：配方法的应用有哪些？（出示课件23）
配方法的应用
类 别 解题策略
1.求最值或证明代数式的值恒为正（或负） 对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，由于x无论取任何实数都有(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时， 可知其有最小值；当a＜0时，可知其有最大值.
2.完全平方式中的配方 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
3.利用配方构成非负数和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是通过配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.
（三）课堂练习（出示课件24-29）
1. 一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（ ）
A.(y+)2=1 B.(y-)2=1
C.(y+)2= D.(y-)2=
2.解方程：4x2-8x-4=0.
3.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.
4.若 ，求(xy)z 的值.
5.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？
6.已知a,b,c为△ABC的三边长，且试判断△ABC的形状.
参考答案：
1.B
2.解：移项，得4x2-8x=4，
二次项系数化为1，得x2-2x=1，
配方，得x2-2x+1=1+1,
整理，得（x-1）2=2,
3.：
原式=
=
=
4.解：对原式配方，得
由非负数的性质可知
5.解：设道路的宽为xm, 根据题意得
（35-x)(26-x)=850，
整理得
x2-61x+60=0.
解得x1=60（不合题意，舍去）, x2=1.
答：道路的宽为1m.
6.解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为等边三角形
（四）课堂小结
(1)你学会怎样解一元二次方程了吗？有哪些步骤？
(2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法？与同伴交流.
（五）课前预习
预习下节课（21.2.2）公式法的相关内容。
七、课后作业
配套练习册内容
八、板书设计：
特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
九、教学反思：
1.本节课，重在学生的自主参与，进而获得成功的体验，在数学方法上，仍要突出数学研究中转化的思想，激发学生产生合理的认识冲突，激发兴趣，建立自信心.
2.在练习内容上，有所改进，加强了核心知识的理解与巩固，提高自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，提高教学效果.
3.用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法，后面的求根公式是在配方法的基础上推出的，配方法在使用时与原来学习的完全平方式联系密切，用配方法解一元二次方程既是对原来知识的巩固，又是对后面学习内容的铺垫.在二次函数顶点坐标的求解中也同样使用的是配方法，因此配方法是一种基本的数学解题方法.21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
一、教学目标
【知识与技能】
1.会利用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程；
2.初步了解形如（x+n）2=p（p≥0）方程的解法.
3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.
【过程与方法】
通过对实例的探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法.
【情感态度与价值观】
在成功解决实际问题过程中，体验成功的快乐，增强数学学习的信心和乐趣.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时，共2课时
四、教学重难点
【教学重点】
解形如x2=p(p≥0)的方程.
【教学难点】
把一个方程化成x2=p(p≥0)的形式.
五、课前准备
课件
六、教学过程
（一）导入新课
1.什么是平方根？一个数的平方根怎么样表示？（出示课件2）
一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根..
a(a≥0)的平方根记作：±.
x2=a(a≥0),则根据平方根的定义知，x=±.
2. 求出下列各式中x的值，并说说你的理由.（出示课件3）
⑴x2=9； ⑵x2=5.
解：⑴x=±=±3 ；⑵ x=±.
思考：如果方程转化为x2=p,该如何解呢？
（二）探索新知
探究 直接开平方法
一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？（出示课件5）
教师问：设一个盒子的棱长为xdm，则它的外表面面积为6x2dm2，10个这种盒子的外表面面积的和为10×6x2，由此你可得到方程为10×6x2=1500，你能求出它的解吗？
学生思考后，共同解答如下：.
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，
可列出方程:
10×6x2=1500，
由此可得x2=25.
开平方得x=±5，即x1=5，x2=－5.
因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．
教师问：解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.（出示课件6）
(1) x2=4；(2) x2=0；(3) x2+1=0.
学生回答：⑴根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2.
⑵根据平方根的意义，得x1=x2=0.
⑶根据平方根的意义，得x2=-1,
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
教师归纳：（出示课件7）
一般地，对于可化为方程 x2 = p, (I)
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根，；
(2)当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根x1 = x2 =0；
(3)当p<0时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根.
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
例1 利用直接开平方法解下列方程:（出示课件8）
(1) x2=6；(2) x2－900=0.
师生共同讨论解答如下：
解：(1)直接开平方，得
（2）移项，得x2=900.
直接开平方，得
x=±30，
∴x1=30, x2=－30.
出示课件9：解下列方程：
(1) (2)
学生自主思考并解答.
解：(1)移项，得
系数化为1，得
即
（2）移项，得
系数化为1，得
教师问：对照前面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5①？（出示课件10）
学生自主讨论后回答：
解：把x+3看做一个整体，
两边开平方得
于是，方程（x+3）2=5的两个根为
教师总结：由方程①得到②，实质是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了.
例2 解下列方程：（1）（x＋1）2= 2；（出示课件11）
教师分析：本题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.
师生共同解答如下：
解：（1）∵x+1是2的平方根，
∴x+1=
即x1=-1+，x2=-1- .
（2）（x－1）2－4 = 0；（出示课件12）
教师分析：本题先将-4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.
师生共同解答如下：
解：（2）移项，得（x-1）2=4.
∵x-1是4的平方根，
∴x-1=±2.
即x1=3，x2=-1.
(3) 12（3－2x）2－3 = 0.（出示课件13）
教师分析：本题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.
师生共同解答如下：
解：（3）移项，得12（3-2x）2=3，
两边都除以12，得（3-2x） =0.25.
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5.
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5，
∴ x1= x2=.
出示课件14，学生自主思考并解答.
例3 解下列方程：（出示课件15）
（1）；
（2）.
师生共同解答如下：
解：（1）
方程的两根为
（2）
方程的两根为
出示课件16，学生自主思考并解答.
（三）课堂练习（出示课件17-21）
1. 一元二次方程x2﹣9=0的解是______________．
2.下列解方程的过程中，正确的是（ ）
A. x2=-2,解方程，得x=±
B. (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
C.4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=，x2=
D.(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
3. 填空:
(1)方程x2=0.25的根是______________ .
(2)方程2x2=18的根是______________.
(3)方程(2x-1)2=9的根是______________ .
4.下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗 如果有错，指出具体位置并帮他改正.
解：
①
②
③
④
5.解方程
参考答案：
1.x1=3，x2=﹣3解析：∵x2﹣9=0，∴x2=9，
解得：x1=3，x2=﹣3．
故答案为：x1=3，x2=﹣3.
2.D
3.⑴x1=0.5,x2=-0.5 ⑵x1＝3,x2＝-3 ⑶x1＝2,x2＝－1
4.解：不对，从②开始错，应改为
5.解：
方程的两根为
（四）课堂小结
(1)你学会怎样解一元二次方程了吗？有哪些步骤？
(2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法？与同伴交流.
（五）课前预习
预习下节课（21.2.1）第2课时的相关内容。
七、课后作业
配套练习册内容
八、板书设计：
九、教学反思：
1.本课时通过创设问题情景，激发学生探索新知的欲望.
2.本课时还通过回忆旧知识为新知学习作好铺垫.
3.教师引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解析问题的能力.
