高中数学必修第一册人教A版（2019）《5.4正切函数的性质与图象》名师课件(共42张PPT)

(共42张PPT)
1.正切函数

y
x
O
-1
A(1,0)
T

类比正、余弦函数性质来学习正切函数的图像和性质
复习引入
人教A版同步教材名师课件
正切函数的性质与图象
学习目标
学 习 目 标 核心素养
掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性及值域等相关性质 数学抽象
会作正切函数的图象 直观想象
会利用正切函数的图象研究函数相关的性质 逻辑推理
课程目标
1、掌握利用单位圆中正切函数定义得到图象的方法;
2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用.
数学学科素养
1.数学抽象：借助单位圆理解正切函数的图像；
2.逻辑推理： 求正切函数的单调区间；
3.数学运算：利用性质求周期、比较大小及判断奇偶性.
4.直观想象：正切函数的图像；
5.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正切函数的性质
学习目标
1、正切函数的周期性
正切函数是周期函数，周期是.

探究新知

探究新知
2、正切函数的奇偶性
正切函数是奇函数，
图像关于原点对称
探究新知
如何画出函数, ∈[0, 的图象的图象？
如图设∈[0, ,在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点B(, )过点B作轴的垂线,垂足为M;过点A(1,0)作轴的垂线与角的终边交于点T,则===
3、正切函数的图象
由此可见,当 ∈[0,时,线段AT的长度就是相应角的正切值.我们可以利用线段AT画出函数 ∈[0,的图象．
探究新知
o
o1
1
-1
探究新知
当∈[0, 时,随着的增大,线段AT的长度也在增大，而且当趋向于时,AT的长度趋向于无大.相应地,函数 ∈[0,的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线＝.
根据正切函数是奇函数,只要画, ∈[0, 的图象关于原点的对称图形,就可得到, ∈(-,0]的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数, ∈(-, 的图象向左、右平移,每次平移π个单位,就可得到正切函数∈R,且≠+， ∈Z的图象,我们把它叫做正切曲线(tangentcurve) .
探究新知
0
x
y
三点两线法
探究新知
如何画正切函数, ∈,的简图？
结合正切函数的周期性, 我们可以画出正切函数在整个定义域内的图象.
y
O
x
探究新知
y
x






0
定义域
值域
周期性
奇偶性
单调性
R
T=
奇函数
函数
y=tanx
增区间
对称中心


探究新知
正切函数的性质
例1、求函数的定义域、周期及单调区间．
自变量的取值应满足 ≠+即 ≠+2.
所以,函数的定义域是.
解析
设z=，又，所以=
即 =.
因为,都有=,所以,函数的周期为2.
由 解得
因此，函数在区间(, ), , 上单调递增．
典例讲解
典例讲解
例2、作出函数 在一个周期内的简图.
列表:
解析
函数 的图象与 轴的一个交点坐标是 ，在这个交点左、右两侧，相邻的两条渐近线方程分别是 作出渐近线并描点，再用光滑的曲线连接起来，从而得到函数 在一个周明 内的简图.
方法归纳
第二步，画出渐近线(虚线)，描出对应的点；
第一步，列表：
第三步，用光滑的曲线将各点连接起来.
作正切型函数 的图象的步骤
变式训练
1.作出函数 在一个周期内的简图.
解析
由题可得， ， 列表:
作出两条渐近线 和 然后描点、连线，如图所示.
典例讲解
例3、 (1) 若，求 的取值范围；
(2)求函数的定义域.
解析
令，得 ，
在中满足不等式
的 取值范围为.由正切函数的周期性,
可知原不等式的解集为.
(1)作出函数 的图象，如图所示.
典例讲解
(2)由题意可得 即,作出正切函数 在一个周期内的图象，如图，
例3、 (1) 若，求 的取值范围；
(2)求函数的定义域.
解析
由图象可知，当时，；当时， ，所以在 内，当 ，由于正切函数的周期为，所以对于 ，当时， ，
所以原函数的定义域为.
方法归纳
(1)作出正切函数 在
(2)求出在内使 成立的的值；
(3)利用图象确定 在内的解集；
(4)把此解集扩展到整个定义域内.
同理，我们也可以求解形如 等不等式问题.
利用正切函数的图象解不等式 的解题步骤
变式训练
2.
解析
不等式，即 ，在同一平面直角坐标系中作出正切函数在上的图象和直线 y = ，如图所示，显然在上，满足上，使不等式成立的的取值范围是故使不等式成立的的集合为
变式训练
3.
解析
由题意可得 ≥0，解得≥
作出正切函数 在一个周期内的图象，如图，
由图象可知，当
所以在内，当 时，，由于正切函数的周期为，所以原函数的定义域为
例4、
由，
解析
典例讲解
先用诱导公式将的系数化为正数，再把看作一个整体，代入相应的区间，解出的范围.
思路分析
方法归纳
正切函数 在开区间
的单调区间的求解思路：
当>0时，只需由解出的取值范围即可；
当<0时，一般先利用诱导公式将自变量的系数化为正值，再求解的取值范围.另外，要注意A的正负对函数单调性的影响.
4.
变式训练
解析
.
典例讲解
例5、比较下列四个数的大小：.
由正切函数的周期性可知，
.
解析
方法归纳
比较两个正切值的大小时，若已知角在 的同一单调区间内，则直接利用 的单调性解决问题；若已知角不在 的同一单调区间内，则先利用诱导公式将它们的正切值化为同单调区间内的角的正切值，再利用正切函数 的单调性解决问题.
利用单调性比较大小
变式训练
5.比较
解析
例6、.
解析
典例讲解
令
思路分析
令
，
方法归纳
(1)已知角的范围，求正切函数值的范围时，如果角的范围在一个单调区间内，可直接运用单调性得到正切函数值的范围；如果角的范围不在一个单调区间内，则要结合正切函数的图象求正切函数值的范围.
(2)对于形如的函数，可以通过换元法将问题转化为给定区间上的元二次函数求最值或值域的问题，需要注意的是换元后新元的范围，一般可结合图象和单调性确定.
与正切函数相关的最值或值域问题的求解思路
变式训练
6.
解析
原函数可化为函数图象的对称轴为直线
，则当时，，
则二次函数在[-1，1]上单调递增，
.
则二次函数在[-1，1]上单调递减，
.
综上， 的值为-7或7.
例7、关于的函数有以下几种说法：
①对任意的，都是非奇非偶函数；② 的图象关于点对称；③ 的图象关于点对称； ④ 是以为最小正周期的周期函数.
其中正确说法的序号是________.
①若取，则，此时，为奇函数，所以①错；观察正切函数的图象，可知的图象关于点对称，令得，
分别令，可得，故②、③正确；④显然正确.
答案②③④
解析
典例讲解
方法归纳
(1)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断与的关系.
(2)求解正切型函数图象的对称中心时，注意对称中心并不一定是函数图象上的点，如正切函数的图象关于点 对称，但点 不在的图象上.
变式训练
7.
.
解析
(1)由题意得函数的定义域为关于原点对称，
，
是奇函数.
变式训练
7.
.
(2)由题意得函数的定义域为，显然定义域关于原点对称，
偶函数.
解析
变式训练
8.
解析
∵正切曲线 的对称中心为点
1．对函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)周期的两点说明
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)的最小正周期T＝.
(2)当ω>0时，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k具有周期性，最小正周期是.
2．“三点两线法”作正切曲线的简图
(1)“三点”分别为(kπ，0)，(kπ) ， (kπ) ，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ和直线x＝kπ，其中k∈Z(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)．
(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可．
素养提炼
当堂练习
1.函数的单调递增区间为( )
C
当堂练习
2.与函数的图象不相交的一条直线是( )
3.下列关于函数的说法正确的是( )
A.在区间上单调递增
B.最小正周期是
C.图象关于点成中心对称
D.图象关于直线= 成轴对称
D
B
当堂练习
4.当x在区间内时，使不等式成立的x的集合是
___________________________.
5.函数的最大值为_____.
2
归纳小结
正切函数的性质
周期性
奇偶性
单调性
值域
图象及应用
作 业
P214:9、14