人教版数学九年级上册 22.1二次函数的图象和性质 第5课时 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
九年级上册 RJ
初中数学
22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质
二次函数的图象和性质
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
向上
向下
(h ,k)
x=h
当 xh 时，y 随x的增大而增大.
当 xh 时，y 随 x 的增大而减小.
x=h 时，y最小值=k
x=h 时，y最大值=k
抛物线 y=a(x-h)2+k 可以看作是由抛物线 y=ax2 经过平移得到的.
知识回顾
1.会用配方法将二次函数的一般式 y＝ax2＋bx＋c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k，并能由此确定二次函数的图象，顶点、开口方向、对称轴.
2.会运用公式法求出二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的顶点、对称轴.
学习目标
顶点坐标 对称轴 最值
y=-2x2
y=-2x2-5
y=-2(x+2)2
y=-2(x+2)2-4
y=(x-4)2+3
(0,0)
y 轴
0
(0,-5)
y 轴
-5
(-2,0)
直线 x=-2
0
(-2,-4)
直线 x=-2
-4
(4,3)
直线 x=4
3

课堂导入


思考：我们已经知道 y=a(x-h)2+k 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？
思考：怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？
知识点1
新知探究
配方
提出二次项系数，常数项放括号外
配方，加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方
去括号，不要漏乘了括号前的系数
你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？
对称轴是直线 x=6，顶点坐标是(6，3).
二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？
平移方法 1：
先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 6 个单位长度；
平移方法 2：
先向右平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度.
如何画二次函数 的图象呢？
1.平移法
①用配方法把二次函数 化成 的形式，
确定顶点 (6，3)；
②作出抛物线 ；
③将抛物线 平移，使其顶点平移到 (6，3) 处.
2.列表法
先利用图象的对称性列表：
如何画二次函数 的图象呢？
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
… …
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
5
10
x
y
5
10
然后描点画图，得到图象如图.
O
画出二次函数 的图象.
结合二次函数 的图象，说出其性质.
5
10
x
y
5
10
x=6
开口向上;
对称轴为x=6;
顶点坐标(6，3)；
当 x<6 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x>6 时，y 随 x 的增大而增大；
当x=6时，有最小值3.
O
请讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质.
解：配方得：
开口向下;
对称轴为x=-1;
顶点坐标(-1，3)；
当 x<-1 时，y 随 x 的增大而增大；
当 x>-1 时，y 随 x 的增大而减小；
当x=-1时，有最大值3.
1.描点法
思考：如何画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象？
2.平移法
①用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化成 y=a(x-h)2+k 的形式，明确顶点 (h，k)；
②作出抛物线 y=ax2；
③将抛物线 y=ax2 平移，使其顶点平移到 (h，k) 处.
如何用配方法将二次函数的一般式 y=ax2+bx+c 化成顶点式 y=a(x-h)2+k？
知识点2
新知探究




一提
二配
三去
四写
二次函数 y=ax2+bx+c 可以通过配方法化成 y=a(x-h)2+k 的形式，即
因此，抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：



x
y
O
如果 a>0，
当 x< 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x> 时，y 随 x 的增大而增大.
x
y
O
如果 a<0，
当 x< 时，y 随 x 的增大而增大；
当 x> 时，y 随 x 的增大而减小.



跟踪训练
新知探究
开口向上，对称轴是x=-1，顶点是（-1，1）
开口向上，对称轴是x=4，顶点是（4，-5）
知识点3
新知探究
二次函数 y=ax2+bx+c的图象与各项系数a，b，c符号的关系.
(1)a决定抛物线的开口方向
当a >0时，
当a <0时，
开口向上；
开口向下．
x
y
O
x
y
O
知识点3
新知探究
二次函数 y=ax2+bx+c的图象与各项系数a，b，c符号的关系.
b与a同号
对称轴在y轴左侧；
(2)b联合a决定对称轴的位置
对称轴在y轴右侧；
当b=0 ，即 时，
对称轴是y轴．
当b与a异号，即 时，
当b与a同号，即 时，
记忆口诀：左同右异
x
二次函数 y=ax2+bx+c的图象与各项系数a，b，c符号的关系.
(3) c决定抛物线与y轴的交点位置
c＝0
c＞0
c＜0
x
y
O
x
y
O
x
y
O
字母符号 图象的特征
a＞0 开口__________
a＜0 开口__________
b=0 对称轴为_____轴
a，b同号 对称轴在y轴的____侧
a，b异号 对称轴在y轴的____侧
c=0 经过原点
c＞0 与y轴交于_____半轴
c＜0 与y轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象特征与系数 a，b，c 的符号之间的关系是互逆的，即由字母的符号能确定图象的特征，反之，根据图象的特征，也可以确定其解析式 y=ax2+bx+c 中系数 a，b，c的符号.
1.如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象为( )．　　
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A.
B.
C.
D.
C
跟踪训练
新知探究
交y轴负半轴
开口向下
O
A.1 B.2 C.3 D.4
2.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，给出下列结论：①b<0；②c>0；③a+b+c>0；④4a+2b+c<0.其中正确的个数是( )
C
由图象知，a＞0，c＞0,根据“左同右异”知，b＜0，故①②正确；
根据图象知，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，故③正确；
根据图象知，当x=2时，y < 0，即4a+2b+c<0，故④正确.
1.若A(-4，y1)，B(-3，y2)，C(3，y3)为二次函数 y=x2+2x-6 的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
B
A. y1解：因为A(-4，y1)，B(-3，y2)，C(3，y3)为二次函数y=x2+2x-6的图象上的三点，
因为-3＜2＜9，所以y2＜y1＜y3．
所以 y1=16-8-6=2，y2=9-6-6=-3，y3=9+6-6=9.
随堂练习
比较二次函数值大小的方法：
(1)代入比较法.
(2)增减性比较法.
(3)根据点到对称轴的距离比较法.
(4)图象比较法.
2.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移 3 个单位长度，再作关于 x 轴对称的图象，得到抛物线 y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式为( )

解：因为抛物线的解析式为 y=x2+5x+6，
设原抛物线上有点(x，y)，关于x轴对称后，
变为(x，-y)，点(x，-y)在抛物线 y=x2+5x+6上，
将(x，-y)代入 y=x2+5x+6得-y=x2+5x+6，
2.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移 3 个单位长度，再作关于 x 轴对称的图象，得到抛物线 y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式为( )
B


3.分别在下列范围内求函数 y=x2-2x-3 的最大值和最小值.
(1) -1≤x≤2; (2) 2≤x≤3.
解：因为 y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
所以当 x<1 时，y 随 x 的增大而减小，
当 x>1 时，y 随 x 的增大而增大.
(1)由 -1≤x≤2 知，当 x=1时，y 有最小值 -4，
因为当 x=-1 时，y=0，当 x=2 时，y=-3，
所以当 x=-1 时，y 有最大值 0.
(2)当 2≤x≤3时，y 随 x 的增大而增大，
所以当 x=2 时，y 有最小值 -3，当 x=3 时，y 有最大值 0.
求二次函数的最值时，要先确定函数在自变量取值范围内的增减性，如果所给范围包含顶点的横坐标，则在顶点处取得最大(小)值；如果所给范围不包含顶点的横坐标，则利用函数的增减性确定最值.


y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
公式法
课堂小结

a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
向上
向下




二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质


A.图象与 y 轴的交点坐标为(0，1)
B.图象的对称轴在 y 轴的右侧
C.当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小
D. y 的最小值为 -3
1.关于二次函数 y=2x2+4x-1，下列说法正确的是( )
D
对接中考
A. y3>y2>y1 B. y3>y1=y2 C. y1>y2>y3 D. y1=y2>y3
2.点P1(-1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数 y=-x2+2x+c 的图象上，则y1，y2，y3 的大小关系是( )
D
解：因为 y=-x2+2x+c=-(x-1)2+1+c，
所以图象的开口向下，对称轴是直线x=1，
而P1(-1，y1)和P2(3，y2)到直线x=1的距离都为2，
P3(5，y3)到直线x=1的距离为4，
所以y1=y2＞y3．故选D．
3.(2020.山东中考改编)对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a,b,c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②4a+2b+c＞0，③3a+c＞0，④a+b≤
m（am+b）（m为任意实数），⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：①由图象可知，a＞0，c＜0，b＜0，
∴abc＜0，故①错误；
-1
x
y
O
x=1
②当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故②错误；
③∵ 对称轴为 ，∴b＝﹣2a.
当x＝﹣1时，y＝a-b+c＞0，∴3a+c＞0，故③正确；
x=1
3.(2020.山东中考改编)对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a,b,c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②4a+2b+c＞0，③3a+c＞0，④a+b≤
m（am+b）（m为任意实数），⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
A
-1
x
y
O
x=1
④当x＝1时，y的值最小，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，∴a+b+c≤am2+bm+c，故a+b≤am2+bm，
即a+b≤m（am+b），故④正确；
⑤当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑤错误，故选A.