人教版数学九年级上册 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 第4课时 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
24.2.2直线和圆的位置关系
点和圆、直线和圆的位置关系
九年级上册 RJ
初中数学
课堂小结
直线与圆的位置关系
定义
性质
判定
相离、相切、相交
公共点的个数
d与r的数量关系
定义法
性质法
相离：d>r
相切：d=r
相交：d0个：相离；1个：相切；2个：相交
d>r:相离,d=r:相切
d相离：0个
相切：1个
相交：2个
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.
3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
学习目标
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
课堂导入
知识点1
新知探究
如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？
·
A
∵ OA 为⊙O的半径,
且OA⊥l,
∴ l为⊙O的切线.
∴ d= r ,
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
OA为⊙O的半径
BC ⊥ OA于A
BC为⊙O的切线
A
B
C
切线的判定定理
数学表示
O
注意：应用该定理时，两个条件缺一不可：一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径.
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
判断下面的直线是不是圆的切线：
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径，即d=r.
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
A
l
O
l
r
d
A
O
l
A
O
切线判定常用的证明方法：
(1)有切点,连半径，证垂直.如果已知直线经过圆上的一点，那么连接这点和圆心，得到半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可．
(2)无切点,作垂直，证半径.如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径即可．
1.如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D = 30°.求证：CD是⊙O的切线.
解：如图，连接OC.
∵AC=CD，∠D=30°,
∴∠A= ∠D = 30°.
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A = 30°，∴∠COD=60°，
∴∠OCD=90°，即OC⊥CD.
∴CD是⊙O的切线.
跟踪训练
新知探究
点在圆上，连半径，证垂直
2.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.
证明：如图，作OE⊥AC于E ,连接OD.
.
O
A
D
B
C
无切点，作垂直，证半径，
E
∴∠OEC=90°.
∵ AB是⊙O的切线, ∴OD⊥AB.
∴∠ODB=90 ° =∠OEC.
∵AB=AC ,∴∠B=∠C.
∵O是BC的中点， ∴OB=OC .
∴△OBD≌△OCE(AAS), ∴OD=OE . ∴AC与⊙O相切.
如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
A
l
O
∵直线 l 是⊙O 的切线，A是切点，
∴直线 l ⊥OA.
数学表示
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
知识点2
新知探究
假设AB与CD不垂直，过点O作一条
直线垂直于CD,垂足为M.
(2) 则OM距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O相交.这与已知
条件“直线与⊙O相切”相矛盾.
C
D
B
O
A
(3) 所以AB与CD垂直.
M
反证法：
切线的性质定理的证明
切线的性质定理的推论
(1) 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
(2) 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
1.如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB =52°，那么∠NOA的度数为( )
A
A.76° B.56° C.54° D.52°
解：∵MN是⊙O的切线，
∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，
∴∠ONB=90°-∠MNB=90°-52°=38°.
∵ON=OB，
∴∠B=∠ONB=38°，
∴∠NOA=2∠B=76°．
跟踪训练
新知探究
有切线，用性质
2． 如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB＝50°，则∠BOD等于(　　)
A．40° B．50° C．60° D．80°
D
解 :∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，
∴∠A＝90°－∠ACB＝90°－50°＝40°.
由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝80°.
3.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，给出下面三个结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC.其中正确结论的个数是(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
A
1.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°，则∠ABD的度数是( )
B
A.30° B.25° C.20° D.15°
解：∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°.
∵∠C=40°，∴∠AOC=50°.
∵OB=OD，∴∠ABD=∠BDO.
∵∠ABD+∠BDO=∠AOC，
∴∠ABD=25°.
随堂练习



3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90° ，∠BAC的平分线交BC于点D.以D为圆心，DB为半径作⊙D.
求证：AC与⊙D相切.
证明：如图过点D作DE⊥AC于点E.
∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC.
又AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DE=DB，
∴AC与⊙D相切.
E
证相切，用判定
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的
性质
有1个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助添加方法：
见切线，连切点，得垂直
课堂小结
对接中考
1.（2020 长沙中考节选）如图，AB为⊙O的直径，C为
⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，
AC平分∠DAB．
求证：DC为⊙O的切线．
证明：如图，连接OC.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC.
∵AD⊥DC，∴OC⊥DC.
又OC是⊙O的半径，∴DC为⊙O的切线.
2.（2020 山西中考）如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F．求∠C和∠E的度数．
解：如图，连接OB.
∵⊙O与AB相切于点B，∴OB⊥AB.
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴AB∥OC，OA∥BC，∴OB⊥OC，∴∠BOC＝90°.
∵OB＝OC，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠C＝∠OBC＝45°.
∵AO∥BC，∴∠AOB＝∠OBC＝45°，∴∠E＝22.5°．