(共13张PPT)
3.3 圆周角
第1课时
1.理解圆周角的概念，掌握圆周角定理的内容及简单
应用；
2.掌握圆周角定理的推论1及简单应用；
3.渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数
学思想方法。
圆周角：__________，并且角______________。
圆心角： ___________ 的角。
顶点在圆上
两边都和圆相交
顶点在圆心
O
B
A
C
O
B
C
A
O
C
A
B
A
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
O
圆心与同圆上的圆周角的位置关系
一边上
内部
外部
探究
A
B
C
O
A
B
C
O
A
B
O
D
C
（3）当圆心O在∠BAC的外部时，你能给出证明吗？试一试，与同学交流。
圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。
化归
化归
圆周角定理
圆周角定理
O
C
A
B
O
C
A
B
O
C
A
B
·
·
·
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角
的二倍。
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？
什么时候圆周角是直角？反过来呢？
理解定理
推论1：
3.如下图，⊙O1和⊙O2是等圆，
如果弧AB＝弧CD，那么∠E和
∠F是什么关系？
反过来呢？
O
B
A
D
E
C
1.如下左图，比较∠ACB、∠ADB、∠AEB的大小。
2.如上右图，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？
反过来呢？
D
C
E
B
F
A
O
D
C
E
O1
B
F
A
O2
想一想
·
·
·
·
例 题
A
B
C
O
m
·
A
B
C
O
m
·
1.如图，∠AOB=70°，OB⊥AC，垂足为点D，求∠OBC的度数。
A
B
C
D
o
·
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.圆周角定义及其两个特征；
2.圆周角定理的内容及其推论；
3.思想方法：一种方法和一种思想：
在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想。
分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转
化成一系列的简单问题或已证问题。
小 结
谢 谢(共13张PPT)
3.3 圆周角
第3课时
圆周角定理：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半．
推论１ ：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．
推论２ ：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
推论3 ：直径所对的圆周角是直角；９０°的圆周角所对的弦是直径．
回顾旧知
O
A
C
D
E
B
A
B
C
O
O
C
A
B
D
A
B
C
F
E
D
·
O
定义：所有顶点都在一个圆上的多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.
观察与思考
思考:
探究：观察下图，这组图中的四边形都内接于圆．
你能发现这些四边形的共同特征吗？
特殊到一般的方法!
（1 ） 任意三角形都有外接圆吗？
那么任意四边形有外接圆吗
（3）任意矩形是否有外接圆
（2）一般地,任意四边形都有外接圆吗
C
O
D
B
A
如图：圆内接四边形ABCD中，
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和为360°由圆周角定理可知，
∠A＋∠C＝ 180°
同理∠B＋∠D＝180°
结论：
圆周角定理的推论4：
圆内接四边形的对角互补．
1、如图，四边形ABCD为⊙O的
内接四边形，已知∠BOD=100°,
则∠BAD= ,∠BCD= .
练习 ：
A
B
C
D
O
2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,
则∠A= ∠B= ∠C= ∠D=
50
130
60
90
120
90
3、如图，四边形ABCD内接于⊙O， ∠DCE=75 ，则∠BOD=
150
A
B
C
D
O
E
设A=2x,则C=4x. ∵A+C=180 , ∴x=30 .
定理的应用
例4：如图3-33，四边形ABCD内接于⊙O， 已知∠BOD=140°，求∠C的度数。
精讲点拨
例5：如图3--34，△ABC内接于⊙O，D，F分别是弧AC与弧AB上的点，且弧BF=弧DA。连接AF并延长交CB的延长线与点E,连接AD，CD 求证：∠CAD=∠E
精讲点拨
课堂小结:
定义：所有顶点都在一个圆上的多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.
圆周角定理的推论4：
圆内接四边形的对角互补．
1:四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=__ ，∠B+∠ADC=_____;若∠B=800， 则∠ADC=______ ∠CDE=______(图5)
2:四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=1000 则∠B=______∠D=______(图6)
3:四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,
则∠A=_____,
图5
图6
当堂达标
4:若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立（ ）
（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4
（ B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4
（ C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4
（D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1
当堂达标
当堂达标
作业：
课本第90页习题3.3第6、8题.(共16张PPT)
3.3 圆周角
第2课时
1.掌握圆周角定理的推论2和推论3及简单应用；
2.渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数
学思想方法。
圆周角：__________，并且角______________。
圆心角： ___________ 的角。
顶点在圆上
两边都和圆相交
顶点在圆心
圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。
定理
推论1：
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
O
B
C
A
O
C
A
B
O
B
A
C
A
B
C1
O
C2
C3
在⊙O中，∠C1 ，∠C2，∠C3都是 所对的圆周角，它们的大小有什么关系？
同弧或等弧上的圆周角相等；
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
F
E
D
思考：1.“同圆或等圆”的条件能否去掉？
推论2：
O
C
B
A
O
B
A
C
D
直径所对的圆周角是90°；
90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：
O
B
A
D
E
C
解 在△ACE中，
∵ ∠CEB = ∠CAB + ∠ACD ，
∠CAB的度数= 的度数，
∠ACD的度数= 的度数，∠CEB=60°，
∴ 的度数+ 的度数=∠CAB的度数+
∠ACD的度数=∠CEB的度数= 60°。
∵ 的度数- 的度数= 20° ，
∴ 的度数=70 °。
∴ ∠CAB的度数= 的度数=
例2 如图，劣弧 与 的度数之差为20°，
弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°。求∠CAB的度数。
例 题
E
A
B
C
D
例3 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圆直径，点O为圆心。 △ADC与△ABE相似吗？说明理由。
C
A
B
E
D
O
解 △ADC∽△ABE。理由如下：
∵AE为⊙O的直径
∴∠ABE=90°
∵AD⊥BC
∴∠ADC = 90°∠ADC=∠ABE
∵ ∠ACD=∠AEB
∴△ADC∽△ABE
例 题
所有顶点都在同一个圆上的多边形叫做圆内
接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是
四边形ABCD的外接圆。
推论4：
圆内接四边形的对角互补。
例4 如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BOD=140°，求∠C的度数。
解 ∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠A+∠C=180°
∵∠BOD=140°
∴∠A= ∠BOD= ×140°=70°
∴∠C=180°-∠A=180°-70°=110°
1、如图，在⊙O 中，∠ABC=50°，
则∠AOC等于（ ）。
A.50° B.80° C.90° D.100°
A
C
B
O
D
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P
在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于（ ）。
A.30° B.60° C.90° D、45°
C
A
B
P
B
跟踪训练
·
1.如图，∠A=50°，∠ACB=60°
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ）。
A.70° B.100° C.90° D.120°
B
A
C
B
O
D
E
2. 如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，
∠ABC=30°，则AC的长是（ ）。
A．1 B． C． D．2
【解析】选D。直径所对的圆周角是直角，在直角三
角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半。
O
A
B
C
·
·
3.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O
上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是多少？
C
A
B
O
【解析】连接OA、OB
∵∠C=30°，∴∠AOB=60°
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
∴OA=OB=AB=2，即半径为2
·
∴∠ACB = ×180°=90°。
4.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这
个三角形是直角三角形。（提示：作出以这条边为直径的圆）
·
A
B
C
O
求证： △ABC 为直角三角形
证明：
CO = AB，
以AB为直径作⊙O，
∵AO =BO，
∴AO =BO =CO
∴点C在⊙O上。
又∵AB为直径，
已知：如图△ABC中，CO为AB边上的中线，
且CO= AB
∴△ABC 为直角三角形
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.圆周角定义及其两个特征；
2.圆周角定理的内容及其推论；
3.思想方法：一种方法和一种思想；
在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想。
分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转
化成一系列的简单问题或已证问题。
小 结
谢 谢
