湖南省衡阳市第六中学2022-2023学年高二数学学业水平考试阶段性检测习题(四)（含答案）

湖南省衡阳市第六中学2022—2023学年高二数学学业水平考试阶段性检测习题(四)
(时间:80分钟　满分:100分)
一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1.已知集合P={x|0≤x<1},Q={x|2≤x≤3},记M=P∪Q,则(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{0,1,2} M B.{0,1,3} M C.{0,2,3} M D.{1,2,3} M
2.在△ABC中,若A=105°,C=30°,b=2,则c=(　　)
A.2 B. C. D.1
3.若向量a=(3,m),b=(2,-1),且a⊥b,则实数m的值为(　　)
A.- B.
C.2 D.6
4.函数f(x)=的定义域是(　　)
A.{x|x>0} B.{x|x≥0}
C.{x|x≠0} D.R
5.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a+b|=,则a·b=(　　)
A. B.1 C. D.2
6.如图,矩形LMNK,LM=6,sin ∠MLN=,☉E半径为1,且E为线段NK的中点,P为圆E上的动点,设=λ+μ,则λ+μ的最小值是(　　)
A.1 B. C. D.5
7.设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值为(　　)
A.- B.- C. D.
8.已知函数f(x)=log2(3+x)+log2(3-x),则f(1)=(　　)
A.1 B.log26
C.3 D.log29
9.不等式|2x-1|-|x+1|<1的解集是(　　)
A.{x|-3C.{x|x<-3或x>} D.{x|x<-或x>3}
10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=,b=3,a=,则c=(　　)
A. B.2 C.3- D.3
11.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a的夹角为(　　)
A. B. C. D.
12.若在函数定义域的某一个区间上定义运算:a b=则函数f(x)=(-2x+1) (x2-3x+1),x∈[0,2]的值域是(　　)
A.[-,-1] B.[-,0]
C.[-1,1] D.[-,1]
13.已知函数f(x)=若f(x)=4,则x的值为(　　)
A.2或-2 B.2或3
C.3 D.5
14.若函数y=f(x)的式为f(x)=,则f(-2 021)+f(-2 020)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 021)=(　　)
A.4 041 B.2 021 C.2 022 D.4 043
15.不等式2|x-1|<4的解集是(　　)
A.(-1,3) B.(-3,1)
C.(-∞,-1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
16.已知函数f(x)=则函数y=f[f(x)+1]的零点个数是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
17.某简谐运动的图象如图所示,若A,B两点经过x秒后分别运动到图象上E,F两点,则下列结论不一定成立的是(　　)
A.
B.
C.
D.
18.已知,|OB1|=|OB2|=1,,||<,则||的取值范围是(　　)
A.(） B.（]
C.(] D.(]
二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分)
19.已知|a|=2,|b|=4,a与b的夹角为120°,则a·b=　　　　,|a+b|=　　　　.
20.已知向量a,b满足a⊥b,且|a|=2,|a-2b|=4,则|b|=　　　　.
21.已知O为原点,点P为函数y=-2x+2上的任意一点.非零向量a=(m,n).若·a恒为定值,则=　　　　.
22.已知关于x的方程|x+a2|+|x-a2|=-x2+2x-1+2a2有解,则实数a的取值范围是　　　　.
三、解答题(本大题共3小题,共31分)
23.(本小题满分10分)如图,O是坐标原点,圆O的半径为1,点A(-1,0),B(1,0),点P,Q分别从点A,B同时出发,在圆O上按逆时针方向运动.若点P的速度大小是点Q的两倍,则在点P运动一周的过程中,求的最大值.
24.(本小题满分10分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2=a2+c2-ac.
(1)求角B的大小;
(2)若a=c=2,求△ABC的面积;
(3)求sin A+sin C的取值范围.
25.(本小题满分11分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2a,5csin B=7asin C.
(1)求cos B的值;
(2)设f(x)=sin(x+B),解不等式f(x)≥.
答案及部分
1.C
2.A　 因为A=105°,C=30°,所以B=45°,
则,即,解得c=2,故选A.
3.D　 因为a=(3,m),b=(2,-1),a⊥b,
所以a·b=6-m=0,解得m=6,故选D.
4.A
5.A　 由|a+b|=,(a+b)2=6,即a2+2a·b+b2=6,又|a|=1,|b|=2,则a·b=.
6.B
7.A　 ∵c=(1+k,2+k),又b·c=0,
∴1+k+2+k=0,
∴k=-.
8.C
9.B
10.B　 在△ABC中,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=3+c2-c=9,
即c2-c-6=0,解得c=2或c=-(舍),
∴c=2.
11.B　 因为|a+b|=|a-b|=2|a|,所以a⊥b且|b|=|a|,所以cos=,所以夹角为.
12.D　 由题可得,f(x)=(-2x+1) (x2-3x+1)=当0≤x≤1时,f(x)=-2x+1∈[-1,1];当1≤x≤2时,f(x)=x2-3x+1∈[-,-1].综上可知,函数的值域为[-,1].故选D.
13.C
14.D　 因为f(x)=,
所以f(-x)+f(x)==2,
则f(-2 021)+f(-2 020)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 021)
=[f(-2 021)+f(2 021)]+[f(-2 020)+f(-2 020)]+…+[f(-1)+f(1)]+f(0)=2 021×2+1=4 043.故选D.
15.A　16.D
17.B　 设f(x)=sin ωx(ω>0),由图可知T=4=,所以ω=,所以f(x)=sinx(ω>0),设E(x0,sinx0),F(x0+1,cosx0),
选项A:=1,=1,故A成立;
选项B:=1,cos(x0+),
所以最大值为,不一定成立;
选项C:=x0,=x0,故,C成立;
选项D:=1+cosx0-sinx0,
=cosx0-1,
所以=1+cosx0-sinx0-cosx0+1=2-sinx0>0,
所以,D成立.
18.B　 由题设,四边形B1AB2P为矩形,构建以A为原点的直角坐标系,如图,
若B1(0,n),B2(m,0),则P(m,n),
设O(x,y),
∴x2+(y-n)2=1,(x-m)2+y2=1且0≤(x-m)2+(y-n)2<,
又||2=x2+y2=2-[(x-m)2+(y-n)2],
∴<||2≤2,即<||≤.故选B.
19.-4　2　 由题得a·b=2×4×cos 120°=-4;
|a+b|==2.
20.　 ∵a⊥b,∴a·b=0,∵|a-2b|=4,∴(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=|a|2+4|b|2=16,∵|a|=2,
∴4+4|b|2=16,|b|=.
21.2　 由题意可设P(x,2-2x),则=(x,2-2x),a=(m,n),所以mx+2(1-x)n,即(m-2n)x+2n为定值,所以m-2n=0,解得=2.
22.(-∞,-1]∪[1,+∞)　 由题知,|x+a2|+|x-a2|=-x2+2x-1+2a2有解.
①当x<-a2时,即-x-a2-x+a2=-x2+2x-1+2a2,
化简得x2-4x=2a2-1有解,
即2a2-1>(-a2)2-4×(-a2),
整理得a4+2a2+1<0无解.
②当-a2≤x≤a2时,即x+a2-x+a2=-x2+2x-1+2a2,
化简得x2-2x+1=0,解得x=1,
即-a2≤1≤a2,
解得a≥1或者a≤-1.
③当x>a2时,即x+a2+x-a2=-x2+2x-1+2a2,
化简得2a2=x2+1有解,
即2a2>(a2)2+1,
化简得(a2-1)2<0无解.
综上,a≥1或a≤-1.
23.解 设∠BOQ=α,根据题意得,∠AOP=2α,且α∈[0,π],
依题意得Q(cos α,sin α),P(-cos 2α,-sin 2α),
∴=(-cos 2α+1,-sin 2α)·(cos α+1,sin α)=(-cos 2α+1)(cos α+1)-sin 2αsin α=2sin2α≤2,当且仅当α=时,等号成立.即的最大值为2.
24.解 (1)在△ABC中,cos B=,得cos B=,所以B=.
(2)由(1)得S△ABC=acsin.
(3)由题意得sin A+sin C=sin A+sin(-A)=sin A+cos A=sin(A+).
因为0所以sin(A+)≤.
故所求的取值范围是9】.
25.解 (1)因为5csin B=7asin C,所以5cb=7ac 5b=7a.
又b+c=2a,所以b=a,c=2a-b=a.
所以cos B==-.
(2)因为0所以f(x)=sin（x+）≥ 2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,
解得x∈[2kπ-,2kπ+],k∈Z.