第15章 分式 单元综合测试卷（含解析）

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第15章分式单元综合测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列式子中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x≠4 D．x≠﹣4
3．下列各式，从左到右变形正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．下列分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
5．已知m＝（）﹣2，n＝（﹣2）3，p＝﹣（﹣）0，则m，n，p的大小关系是（　　）
A．m＜p＜n B．n＜m＜p C．p＜n＜m D．n＜p＜m
6．计算（x2﹣xy）÷的结果是（　　）
A．x2 B．x2﹣y C．（x﹣y）2 D．x
7．若关于x的分式方程有增根，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
8．“五一劳动节”期间，某校开展了以“劳动光荣”为主题的教育活动，该校组织全校教师和部分学生去郊区植树，已知老师平均每小时比学生多植5棵，且老师植树60棵所需的时间与学生植树45棵所需的时间相同，老师平均每小时植树（　　）
A．10棵 B．15棵 C．20棵 D．25棵
9．已知非零实数x满足x2﹣3x﹣1＝0，则x2+的值为（　　）
A．11 B．9 C．7 D．5
10．已知a、b为实数且满足a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝+，N＝+，则下列两个结论（　　）
①ab＝1时，M＝N；ab＞1时，M＜N．②若a+b＝0，则M N≤0．
A．①②都对 B．①对②错 C．①错②对 D．①②都错
二．填空题（共6小题）
11．若代数式的值为整数，则所有满足条件的整数x的和是　 　．
12．用科学记数法表示0.002 18＝　 　．
13．约分：＝　 　．
14．不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则＝　 　．
15．用换元法解方程+＝时，若设＝y，则原方程可化为关于y的整式方程为　 　．
16．为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际每天施工多少平方米？设原计划平均每天施工x平方米，则可列出方程为 　 　．
三．解答题（共8小题）
17．解分式方程：．
18．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝2021．
19．李庄村原来用10hm2耕地种植粮食作物，用80hm2耕地种植经济作物，为了增加粮食作物的种植面积，该村计划将部分种植经济作物的耕地改为种植粮食作物，使得粮食作物的种植面积与经济作物的种植面积之比为5：7，设有xhm2种植经济作物的耕地改为种植粮食作物，那么x满足怎样的分式方程？
20．已知关于x的方程．
（1）m取何值时，方程的解为x＝4；
（2）m取何值时，方程有增根．
21．一只小船从A港口顺流航行到B港口需6h，而由B港口返回A港口需8h，某日，小船在早6点钟出发由A港口返回B港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，于1小时后找到救生圈．
（1）若小船按水流速度由A港口漂流到B港口需要多长时间？
（2）救生圈何时掉入水中？
22．观察发现：…根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）利用你发现的规律计算：．
（2）灵活利用规律解方程：．
23．某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．
（1）这两次各购进这种衬衫多少件？
（2）若第一批衬衫的售价是200元/件．老板想让这两批衬衫售完后的总利润为1950元，则第二批衬衫每件售价多少元？
24．阅读理解
材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数，例如：＝1+＝1．
类似的，我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和．
例如：＝1+．
＝＝1+．
材料2：为了研究字母x和分式值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
… ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 …
请根据上述材料完成下列问题：
（1）把下面的分式写成一个整数与一个新分式的和的形式：＝　 　；＝　 　；
（2）当x＞0时，随着x的增大，分式的值 　 　（增大或减小）；
（3）当x＞﹣1时，随着x的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列式子中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
解：A．分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B．分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C．分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
D．分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x≠4 D．x≠﹣4
解：∵2x+4≠0，
∴x≠﹣2，
故选：B．
3．下列各式，从左到右变形正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：A、2前面是加号不是乘号，不可以约分，原变形错误，故本选项不符合题意；
B、原式＝﹣，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、原式＝＝，原变形正确，故本选项符合题意；
D、从左边到右边不正确，原变形错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．下列分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、是最简分式，符合题意；
B、＝，不是最简分式，不合题意；
C、＝，不是最简分式，不合题意；
D、＝＝a﹣b，不是最简分式，不合题意；
故选：A．
5．已知m＝（）﹣2，n＝（﹣2）3，p＝﹣（﹣）0，则m，n，p的大小关系是（　　）
A．m＜p＜n B．n＜m＜p C．p＜n＜m D．n＜p＜m
解：m＝（）﹣2＝4，n＝（﹣2）3＝﹣8，p＝﹣（﹣）0＝﹣1，
∵4＞﹣1＞﹣8，
∴m＞p＞n，
故选：D．
6．计算（x2﹣xy）÷的结果是（　　）
A．x2 B．x2﹣y C．（x﹣y）2 D．x
解：原式＝x（x﹣y）
＝x2．
故选：A．
7．若关于x的分式方程有增根，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
解：去分母，得：a+1＝2（x﹣3），
由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程，可得：a＝﹣1．
故选：B．
8．“五一劳动节”期间，某校开展了以“劳动光荣”为主题的教育活动，该校组织全校教师和部分学生去郊区植树，已知老师平均每小时比学生多植5棵，且老师植树60棵所需的时间与学生植树45棵所需的时间相同，老师平均每小时植树（　　）
A．10棵 B．15棵 C．20棵 D．25棵
解：设老师平均每小时植树x棵，
根据题意，得，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的根，且符合题意，
∴老师平均每小时植树20棵，
故选：C．
9．已知非零实数x满足x2﹣3x﹣1＝0，则x2+的值为（　　）
A．11 B．9 C．7 D．5
解：∵x2﹣3x﹣1＝0，
∴x﹣＝3，
∵（x﹣）2＝x2+﹣2，
∴x2+﹣2＝9，
∴x2+＝11，
故选：A．
10．已知a、b为实数且满足a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝+，N＝+，则下列两个结论（　　）
①ab＝1时，M＝N；ab＞1时，M＜N．②若a+b＝0，则M N≤0．
A．①②都对 B．①对②错 C．①错②对 D．①②都错
解：∵M＝，N＝，
∴M﹣N＝﹣（）
＝，
①当ab＝1时，M﹣N＝0，
∴M＝N，
当ab＞1时，2ab＞2，
∴2ab﹣2＞0，
当a＜0时，b＜0，（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，
∴M﹣N＞0或M﹣N＜0，
∴M＞N或M＜N；
当ab＜1时，ab可能同号，也可能异号，
∴（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，②2ab﹣a＜0，
∴M＞N或M＜N，
故①错误；
②M N＝（﹣） （）
＝，
∵a+b＝0，
∴原式＝
＝，
∵a≠﹣1，b≠﹣1，
∴（a+1）2（b+1）2＞0，
∵a+b＝0，
∴ab≤0，M N≤0，
故②对．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．若代数式的值为整数，则所有满足条件的整数x的和是　2　．
解：＝＝4+，
∵代数式的值为整数，x为整数，
∴x﹣1＝±1，
解得x＝2或x＝0，
则所有满足条件的整数x的和是2．
故答案为：2．
12．用科学记数法表示0.002 18＝　2.18×10﹣3　．
解：用科学记数法表示0.002 18＝2.18×10﹣3．
故答案为：2.18×10﹣3．
13．约分：＝　﹣　．
解：＝﹣．
故答案为：﹣．
14．不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则＝　　．
解：＝＝，
故答案为：．
15．用换元法解方程+＝时，若设＝y，则原方程可化为关于y的整式方程为　6y2+2＝5y　．
解：用换元法解方程+＝时，若设＝y，则原方程可化为关于y的整式方程为3y+＝，
去分母得：6y2+2＝5y，
故答案为：6y2+2＝5y
16．为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际每天施工多少平方米？设原计划平均每天施工x平方米，则可列出方程为 　﹣＝11　．
解：设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，
根据题意得：﹣＝11．
故答案为：﹣＝11．
三．解答题（共8小题）
17．解分式方程：．
解：两边同时乘以2（x﹣2），去分母得：
2x﹣3＝x﹣2，
解得x＝1，
检验：把x＝1代入2（x﹣2），得﹣2≠0，
分式方程的解为x＝1．
18．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝2021．
解：（﹣1）÷
＝
＝
＝﹣，
当x＝2021时，原式＝﹣＝﹣．
19．李庄村原来用10hm2耕地种植粮食作物，用80hm2耕地种植经济作物，为了增加粮食作物的种植面积，该村计划将部分种植经济作物的耕地改为种植粮食作物，使得粮食作物的种植面积与经济作物的种植面积之比为5：7，设有xhm2种植经济作物的耕地改为种植粮食作物，那么x满足怎样的分式方程？
解：设有xhm2种植经济作物的耕地改为种植粮食作物，根据题意得
＝．
20．已知关于x的方程．
（1）m取何值时，方程的解为x＝4；
（2）m取何值时，方程有增根．
解：（1）方程两边同乘以（x﹣3）
得：x＝2x﹣6﹣m
m＝x﹣6
把x＝4代入，得m＝﹣2．
答：m取﹣2时，方程的解为x＝4；
（2）∵x＝3是方程的增根，
∴把x＝3代入m＝x﹣6
得m＝﹣3．
答：m取﹣3时，方程有增根．
21．一只小船从A港口顺流航行到B港口需6h，而由B港口返回A港口需8h，某日，小船在早6点钟出发由A港口返回B港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，于1小时后找到救生圈．
（1）若小船按水流速度由A港口漂流到B港口需要多长时间？
（2）救生圈何时掉入水中？
解：（1）设小船在静水中的速度为a，水流速度为b，AB的路程为s，
根据题意得，解得，
所以小船按水流速度由A港口漂流到B港口的时间＝＝＝48（小时），
答：小船按水流速度由A港口漂流到B港口需要48小时；
（2）设救生圈在出发t小时掉入水中，则救生圈从掉于水中到被找到共在水中漂流了（6﹣t+1）小时，
根据题意得st+（6﹣t+1）s+s＝s，解得t＝5，
而6+5＝11，
即救生圈在11点掉于水中的，
答：救生圈11点掉入水中．
22．观察发现：…根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）利用你发现的规律计算：．
（2）灵活利用规律解方程：．
解：（1）原式＝1﹣+﹣+﹣+ +﹣
＝1﹣
＝；
（2），
（﹣+﹣+ +﹣）＝，
（﹣）＝，
方程两边都乘2x（x+100），得x+100﹣x＝4x，
解得：x＝25，
经检验x＝25是原分式方程的解，
即原分式方程的解是x＝25．
23．某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．
（1）这两次各购进这种衬衫多少件？
（2）若第一批衬衫的售价是200元/件．老板想让这两批衬衫售完后的总利润为1950元，则第二批衬衫每件售价多少元？
解：（1）设第二次购进衬衫x件，则第一次购进衬衫2x件，
依题意，得：﹣＝10，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是所列分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝30．
答：第一次购进衬衫30件，第二次购进衬衫15件．
（2）由（1）可知，第一次购进衬衫的单价为150元/件，第二次购进衬衫的单价为140元/件，
设第二批衬衫每件售价为y元/件，
依题意，得：（200﹣150）×30+（y﹣140）×15＝1950，
解得：y＝170，
答：第二批衬衫每件售价为170元．
24．阅读理解
材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数，例如：＝1+＝1．
类似的，我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和．
例如：＝1+．
＝＝1+．
材料2：为了研究字母x和分式值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
… ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 …
请根据上述材料完成下列问题：
（1）把下面的分式写成一个整数与一个新分式的和的形式：＝　1+　；＝　1+　；
（2）当x＞0时，随着x的增大，分式的值 　减小　（增大或减小）；
（3）当x＞﹣1时，随着x的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由．
解：（1）＝1+，＝＝1+，
故答案为：1+，1+；
（2）当x＝2时，＝＝2，
当x＝3时，＝＝，
当x＝4时，＝，
…，
∵2＞＞，
∴当x增大时，的值越来越小，
故答案为：减小；
（3）2，
理由如下：
∵，
随着x的值的增大，的值逐渐减小，
∴随着x的值的增大，的值无限趋近于2．