北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组与不等式解答题练习 （含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
二元一次方程组与不等式解答题练习
1．已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）．
（1）若该方程组的解x、y满足3x﹣y＞4，求k的取值范围；
（2）若该方程组的解x、y均为正整数，且k≤12，直接写出该方程组的解．
2．已知，不等式组的解集是x＞2．
（1）求m的取值范围；
（2）若是方程2x+3y＝a的一组解，化简：|a﹣m|﹣|m﹣2a|．
3．一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“对称数”．
（1）最大的“对称数”为 　 　，最小的“对称数”为 　 　．
（2）若上述定义中的x满足不等式|x+1|＜4，则这样的对称数有 　 　个．
（3）一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为10，且个位数字b能使得不等式组有3个整数解，求出所有满足条件的“对称数”M的值．
4．（1）解不等式5x+2≥7x﹣4，并把它的解集表示在数轴上．
（2）解不等式组并求该不等式组的整数解的和．
（3）若不等式4x﹣3a＞﹣1与不等式2（x﹣1）+3＞5的解集相同，求a的值．
5．若关于x的不等式组恰有2个整数解，且关于x，y的方程组也有整数解，求出所有符合条件的整数m的值．
6．定义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b＝2a﹣b．
例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．
（1）填空；（﹣3）※2＝　 　；（2x2+2x+2）※（x2﹣4）＝　 　；
（2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），则x的取值范围为 　 　．
（3）已知（2x﹣6）※（9﹣3x）＜7，求x的取值范围．
7．我们知道x的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；即数轴上数x1，x2对应两点之间的距离为|x1﹣x2|；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：
例1：解方程|x|＝2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x＝±2；
例2：解方程|x﹣1|＝2．容易得出，在数轴上与1距离为2的点对应的数为3和﹣1，即该方程的x＝3或x＝﹣1；
例3：解不等式|x﹣1|＞2．如图，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|＞2的解为x＜﹣1或x＞3；
例4：解方程|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x对应点在1的右边，如图可以看出x＝2：同理，若x对应点在﹣2的左边可得x＝﹣3．故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2与5两点之间的距离为 　 　；
（2）方程|x﹣3|＝4的解为 　 　；|x+4|＝7的解为 　 　；
（3）不等式|x﹣3|＞4的解集为 　 　；
（4）方程|x﹣3|+|x+4|＝9的解为 　 　；
（5）不等式|x﹣3|+|x+4|≥9的解集为 　 　．
8．阅读下列材料：
[数学问题]已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
[问题解决]∵x﹣y＝2，∴x＝y+2．
又∵x＞1，
∴y+2＞1，∴y＞﹣1．
又∵y＜0，
∴﹣1＜y＜0．①
同理得：1＜x＜2．②
由①+②得：﹣1+1＜x+y＜0+2．
即：0＜x+y＜2．
[类比探究]
（1）在数学问题中的条件下，x+2y的取值范围是 　 　．
（2）已知x﹣y＝5，且x＞2，y＜0，
①求y的取值范围．
②求x+2y的取值范围．
（3）已知y≥1，x＜﹣1，若x+y＝a（a＞0），直接写出x﹣2y的取值范围（用含a的代数式表示）．
9．阅读材料：对实数a、b，定义T（a，b）的含义为，当a＜b时T（a，b）＝a+b；当a≥b时，T（a，b）＝a﹣b．例如：T（1，3）＝1+3＝4，T（2，﹣1）＝2﹣（﹣1）＝3；
根据以上材料，回答下列问题：
（1）若T（m2+1，﹣1）＝6，则m＝　 　；
（2）已知x+y＝8，且x＞y，求T（4，x）﹣T（4，y）的值．
10．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（mx+ny）（x+2y）（其中m，n均为非零常数）．例如T（1，1）＝3m+2n．
（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8．
①求m，n的值；
②若关于P的不等式组恰好有3个整数解，求a的取值范围．
（2）当x2≠y2时，T（x，y）＝T（y，x）对于任何有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式．
11．已知关于x，y的方程组：（实数m是常数）．
（1）若x+2y＝3，求实数m的值；
（2）若﹣3＜x﹣4y＜3，求m的取值范围．
12．阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，例如：＝2×5﹣3×4＝﹣2．
（1）填空：若＝0，则x＝　 　，＞0，则x的取值范围 　 　；
（2）若对于正整数m，n满足，1＜＜3，求m+n的值；
（3）若对于两个非负数x，y，＝＝k，求实数k的取值范围．
13．已知关于x、y的方程组的解x为负数，y为非正数．
（1）求a的取值范围；
（2）在a的取值范围内，当a取何整数时，不等式（2a+1）x＞2a+1的解为x＜1？
14．关于x的不等式组．
（1）当m＝1时，解该不等式组；
（2）若该不等式组有解，但无整数解，则m的取值范围是 　 　．
15．定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．
例如：不等式组M：是N：的“子集”．
（1）若不等式组：A：，B：，则其中 　 　不等式组是不等式组M：的“子集”（填A或B ）；
（2）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 　 　；
（3）已知a，b，c，d为不互相等的整数，其中a＜b，c＜d，下列三个不等式组：A：a≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，求a﹣b+c﹣d的值．
参考答案
1．已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）．
（1）若该方程组的解x、y满足3x﹣y＞4，求k的取值范围；
（2）若该方程组的解x、y均为正整数，且k≤12，直接写出该方程组的解．
解：（1），
①+②得，3x﹣y＝k+3，
∵方程组的解x、y满足3x﹣y＞4，
∴k+3＞4，
解得k＞1；
（2），
①×2+②得5x＝2k+3，
①﹣②×2得5y＝k﹣6，
解得x＝，y＝
∵方程组的解x、y均为正整数，且1＜k≤12，
∴k＝11，
∴方程组的解为．
2．已知，不等式组的解集是x＞2．
（1）求m的取值范围；
（2）若是方程2x+3y＝a的一组解，化简：|a﹣m|﹣|m﹣2a|．
解：（1）由2x+7＜5x+1，得：x＞2，
∵x＞m+3且不等式组的解集为x＞2，
∴m+3≤2，
解得m≤﹣1；
（2）根据题意，得：2+15＝a，
即a＝17，
则原式＝|17﹣m|﹣|m﹣34|
＝17﹣m+m﹣34
＝﹣17．
3．一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“对称数”．
（1）最大的“对称数”为 　9999　，最小的“对称数”为 　1010　．
（2）若上述定义中的x满足不等式|x+1|＜4，则这样的对称数有 　8　个．
（3）一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为10，且个位数字b能使得不等式组有3个整数解，求出所有满足条件的“对称数”M的值．
解：（1）由题意可得，最大的“对称数”是9999，最小的“对称数”为1010，
故答案为：9999；1010；
（2）∵|x+1|＜4，1≤x≤9，x为整数，
∴x＝1或2，
∴当x＝1时，对称数有1010，1100，
当x＝2时，对称数有1111，1201，1021，2110，2200，2020，
故定义中的x满足不等式|x+1|＜4，则这样的对称数有8个，
故答案为：8；
（3）由不等式组，得＜x≤4，
∵个位数字b使得不等式有3个整数解，
∴1≤＜2，
解得7≤b＜15，
∵b为个位数字，
∴b＝7，8，9，
∵一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为10，
∴百位数字为3a，十位数字是10﹣b，
∴a+b＝3a+（10﹣b），
∴a＝b﹣5，
∴当b＝7时，a＝2，此时对称数”M的值是2637，
当b＝8时，a＝3，此时对称数”M的值是3928，
当b＝9时，a＝4，此时百位数字3a＝12不存在，舍去，
由上可得，对称数”M的值是2637，3928．
4．（1）解不等式5x+2≥7x﹣4，并把它的解集表示在数轴上．
（2）解不等式组并求该不等式组的整数解的和．
（3）若不等式4x﹣3a＞﹣1与不等式2（x﹣1）+3＞5的解集相同，求a的值．
解：（1）移项得：5x﹣7x≥﹣4﹣2，
合并得：﹣2x≥﹣6，
系数化为1得：x≤3，
；
（2）不等式组，
由①得：x＜2，
由②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，即整数解为﹣1，0，1，
则整数解之和为﹣1+0+1＝0；
（3）不等式4x﹣3a＞﹣1，
解得：x＞，
不等式2（x﹣1）+3＞5，
解得：x＞2，
∵两不等式解集相同，
∴＝2，
解得：a＝3．
5．若关于x的不等式组恰有2个整数解，且关于x，y的方程组也有整数解，求出所有符合条件的整数m的值．
解：不等式组整理得：，
∵不等式组恰有2个整数解，
∴﹣2＜x≤，即整数解为﹣1，0，
∴0≤＜1，
解得：﹣4≤m＜1，即整数m＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，
方程组，
①+②得：（m+3）x＝4，
解得：x＝，
把x＝代入②得：y＝，
∵方程组的解为整数，
∴m＝﹣4，﹣2，﹣1．
6．定义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b＝2a﹣b．
例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．
（1）填空；（﹣3）※2＝　﹣8　；（2x2+2x+2）※（x2﹣4）＝　5x2+4x　；
（2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），则x的取值范围为 　x≥7　．
（3）已知（2x﹣6）※（9﹣3x）＜7，求x的取值范围．
解：（1）（﹣3）※2＝2×（﹣3）﹣2＝﹣8；
∵（2x2+2x+2）﹣（x2﹣4）＝x2+2x+6＝（x+1）2+5＞0，
∴（2x2+2x+2）※（x2﹣4）＝2（2x2+2x+2）+（x2﹣4）＝5x2+4x；
故答案为：﹣8，5x2+4x；
（2）∵（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），
∴3x﹣4≥2x+3，
解得：x≥7，
故答案为：x≥7．
（3）当2x﹣6≥9﹣3x时，则2（2x﹣6）+（9﹣3x）＜7，
解得3≤x＜10；
当2x﹣6＜9﹣3x时，则2（2x﹣6）﹣（9﹣3x）＜7，
解得x＜3；
综上，x的取值范围为：x＜10．
7．我们知道x的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；即数轴上数x1，x2对应两点之间的距离为|x1﹣x2|；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：
例1：解方程|x|＝2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x＝±2；
例2：解方程|x﹣1|＝2．容易得出，在数轴上与1距离为2的点对应的数为3和﹣1，即该方程的x＝3或x＝﹣1；
例3：解不等式|x﹣1|＞2．如图，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|＞2的解为x＜﹣1或x＞3；
例4：解方程|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x对应点在1的右边，如图可以看出x＝2：同理，若x对应点在﹣2的左边可得x＝﹣3．故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2与5两点之间的距离为 　7　；
（2）方程|x﹣3|＝4的解为 　x＝7或x＝﹣1　；|x+4|＝7的解为 　x＝3或x＝﹣11　；
（3）不等式|x﹣3|＞4的解集为 　x＞7或x＜﹣1　；
（4）方程|x﹣3|+|x+4|＝9的解为 　x＝4或x＝﹣5　；
（5）不等式|x﹣3|+|x+4|≥9的解集为 　x≤﹣5或x≥4　．
解：（1）数轴上表示﹣2与5两点之间的距离为|﹣2﹣5|＝7，
故答案为：7；
（2）∵|x﹣3|＝4，
∴x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4，
解得x＝7或x＝﹣1，
∵|x+4|＝7，
∴x+4＝7或x+4＝﹣7，
解得x＝3或x＝﹣11，
故答案为：x＝7或x＝﹣1；x＝3或x＝﹣11；
（3）∵|x﹣3|＞4，
∴x﹣3＞4或x﹣3＜﹣4，
解得x＞7或x＜﹣1，
故答案为：x＞7或x＜﹣1；
（4）|x﹣3|+|x+4|＝9表示求在数轴上与﹣4和3的距离之和为9的点对应的x的值，
∴﹣4和3之间的距离为7，
当表示x的点在﹣4的左边时，x＝﹣5，
当表示x的点在3的右边时，x＝4，
∴方程的解为x＝4或x＝﹣5，
故答案为：x＝4或x＝﹣5；
（5）|x﹣3|+|x+4|≥9表示求在数轴上与﹣4和3的距离之和大于等于9的点对应的x的值，
由（4）可得x≤﹣5或x≥4时，|x﹣3|+|x+4|≥9，
故答案为：x≤﹣5或x≥4．
8．阅读下列材料：
[数学问题]已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
[问题解决]∵x﹣y＝2，∴x＝y+2．
又∵x＞1，
∴y+2＞1，∴y＞﹣1．
又∵y＜0，
∴﹣1＜y＜0．①
同理得：1＜x＜2．②
由①+②得：﹣1+1＜x+y＜0+2．
即：0＜x+y＜2．
[类比探究]
（1）在数学问题中的条件下，x+2y的取值范围是 　﹣1＜x+2y＜2　．
（2）已知x﹣y＝5，且x＞2，y＜0，
①求y的取值范围．
②求x+2y的取值范围．
（3）已知y≥1，x＜﹣1，若x+y＝a（a＞0），直接写出x﹣2y的取值范围（用含a的代数式表示）．
解：（1）∵﹣1＜y＜0，
∴﹣2＜2y＜0，
∵1＜x＜2，
∴﹣1＜x+2y＜2；
故答案为：﹣1＜x+2y＜2；
（2）①∵x﹣y＝5，
∴x＝5+y，
又∵x＞2，
∴5+y＞2，
∴y＞﹣3，
又∵y＜0，
∴﹣3＜y＜0，
②∵x﹣y＝5，
∴y＝x﹣5，
又∵y＜0，
∴x﹣5＜0，
∴x＜5，
∴2＜x＜5，
∵﹣3＜y＜0，
∴﹣6＜2y＜0，
∴﹣4＜x+2y＜5．
（3）∵x+y＝a，
∴x＝a﹣y，
又∵x＜﹣1，
∴a﹣y＜﹣1，
∴y＞1+a，
又∵y≥1，a＞0，
∴y＞1+a，
∴﹣2y＜﹣2﹣2a
同理得：x＜﹣1，
∴x﹣2y＜﹣3﹣2a，
∴x﹣2y的取值范围是x﹣2y＜﹣3﹣2a．
9．阅读材料：对实数a、b，定义T（a，b）的含义为，当a＜b时T（a，b）＝a+b；当a≥b时，T（a，b）＝a﹣b．例如：T（1，3）＝1+3＝4，T（2，﹣1）＝2﹣（﹣1）＝3；
根据以上材料，回答下列问题：
（1）若T（m2+1，﹣1）＝6，则m＝　2或﹣2　；
（2）已知x+y＝8，且x＞y，求T（4，x）﹣T（4，y）的值．
解：（1）∵m2+1＞0，
∴m2+1＞﹣1，
∴T（m2+1，﹣1）＝m2+1+1＝6，
解得m＝2或m＝﹣2，
故答案为：2或﹣2；
（2）∵x＞y，
∴x＞4，y＜4，
∴T（4，x）﹣T（4，y）＝4+x﹣（4﹣y）＝x+y，
∵x+y＝8，
∴T（4，x）﹣T（4，y）＝8．
10．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（mx+ny）（x+2y）（其中m，n均为非零常数）．例如T（1，1）＝3m+2n．
（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8．
①求m，n的值；
②若关于P的不等式组恰好有3个整数解，求a的取值范围．
（2）当x2≠y2时，T（x，y）＝T（y，x）对于任何有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式．
解：（1）①由题意，得，
∴；
②由题意，得，
解不等式①，得p＞﹣1．
解不等式②，得p≤．
∴﹣1＜p≤．
∵恰好有3个整数解，
∴2≤＜3．
∴42≤a＜54．
（2）由题意得：（mx+ny）（x+2y）＝（my+nx）（y+2x），
∴mx2+（2m+n）xy+2ny2＝2nx2+（2m+n）xy+my2，
∵对任意有理数x，y都成立，
∴m＝2n．
11．已知关于x，y的方程组：（实数m是常数）．
（1）若x+2y＝3，求实数m的值；
（2）若﹣3＜x﹣4y＜3，求m的取值范围．
解：（1），
①+②，得：3x+6y＝6m+3，
∴x+2y＝2m+1，
∵x+2y＝3，
∴2m+1＝3，
解得m＝1；
（2）①﹣②，得：x﹣4y＝2m﹣3，
∵﹣3＜x﹣4y＜3，
∴﹣3＜2m﹣3＜3，
解得0＜m＜3．
12．阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，例如：＝2×5﹣3×4＝﹣2．
（1）填空：若＝0，则x＝　　，＞0，则x的取值范围 　x＞1　；
（2）若对于正整数m，n满足，1＜＜3，求m+n的值；
（3）若对于两个非负数x，y，＝＝k，求实数k的取值范围．
解：（1）由题意可得﹣x﹣0.5（2x﹣1）＝0，
整理可得﹣x﹣x+0.5＝0，
解得x＝；
由题意可得2x﹣（3﹣x）＞0，
解得x＞1，
故答案为，x＞1；
（2）由题意可得，1＜4﹣mn＜3，
∴1＜mn＜3，
∵m、n是正整数，
∴m＝1，n＝2，或m＝2，n＝1，
∴m+n＝3；
（3）由题意可得3（x﹣1）﹣2y＝﹣x+2y＝k，
∴，
①+②得：2x＝2k+3，
解得：x＝，
将x＝代入②，得：﹣+2y＝k，
解得y＝，
∵x、均为非负数，
∴，
解得k≥﹣．
13．已知关于x、y的方程组的解x为负数，y为非正数．
（1）求a的取值范围；
（2）在a的取值范围内，当a取何整数时，不等式（2a+1）x＞2a+1的解为x＜1？
解：（1）解方程组得，
由题意知，
解不等式①，得：a＜3，
解不等式②，得：a≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤a＜3；
（2）∵不等式（2a+1）x＞2a+1的解为x＜1，
∴2a+1＜0，
解得a＜﹣0.5，
又﹣2≤a＜3且a为整数，
所以a＝﹣2或﹣1．
14．关于x的不等式组．
（1）当m＝1时，解该不等式组；
（2）若该不等式组有解，但无整数解，则m的取值范围是 　2＜m＜　．
解：（1）把m＝1代入得：，
由①得：x≤1，
由②得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1；
（2）不等式组整理得：，
∵该不等式组有解，但无整数解，
∴﹣2＜x≤3﹣2m，且﹣2≤3﹣2m＜﹣1，
解得：2＜m＜．
故答案为：2＜m＜．
15．定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．
例如：不等式组M：是N：的“子集”．
（1）若不等式组：A：，B：，则其中 　A　不等式组是不等式组M：的“子集”（填A或B ）；
（2）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是 　a≥2　；
（3）已知a，b，c，d为不互相等的整数，其中a＜b，c＜d，下列三个不等式组：A：a≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，求a﹣b+c﹣d的值．
解：（1）A：的解集为3＜x＜6，B：的解集为x＞1，M：的解集为x＞2，
则不等式组A是不等式组M的子集，
故答案为：A；
（2）∵关于x的不等式组是不等式组的“子集”，
∴a≥2，
故答案为：a≥2；
（3）∵a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，
A：a≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，
∴a＝3，b＝4，c＝2，d＝5，
则a﹣b+c﹣d＝3﹣4+2﹣5＝﹣4，
故答案为﹣4；