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专题24 定点定长构造辅助圆
1．如图，已知，，，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，，
点、、在以点为圆心，
以的长为半径的圆上；
，
，，
，而，
，
故选：．
2．如图，在四边形中，，则的大小是
A． B． C． D．
【解答】解：由，，则可添加辅助圆，
有，
故选：．
3．如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为
A．2 B． C．3 D．
【解答】解：连接，
点和关于对称，
，
在以圆心，3为半径的圆上，
当，，三点共线时，最短，
，，
，
故选：．
4．如图，正方形中，为中点，，，交于，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接、．
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
点是的外接圆的圆心，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
．
解法二：连接．易知，
故选：．
5．如图，已知等边的边长为8，以为直径的圆交于点．以为圆心，长为半径作图，是上一动点，为的中点，当最大时，的长为
A． B． C． D．12
【解答】解：点在上运动时，点在以为圆心的圆上运动，要使最大，则过，连接，
是等边三角形，是直径，
，
是的中点，
为的中点，
为的中位线，
，
，
，，
故，
故选：．
二．填空题（共6小题）
6．如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，的最大值为 ．
【解答】解：为坐标平面内一点，，
点的运动轨迹是在半径为2的上，
如图，取，连接，
点为线段的中点，
是的中位线，
，
最大值时，取最大值，此时、、三点共线，
此时在中，，
，
的最大值是．
故答案为：．
7．如图，四边形中，，且，若，则 ， ．
【解答】解：，
点，，在以为圆心的圆上，
，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
8．如图所示，，，则 ．
【解答】解：，
、、三点在以点为圆心，以为半径的圆上．
，
．
故答案为：．
9．如图，四边形中，、分别是，的中垂线，，，则 ， ．
【解答】解：连接，
、分别是、的中垂线，
，
、、在以为圆心，为半径的圆上，
，
，
，，
，
，
又，
．
故答案为：，．
10．如图，，如果是的倍，那么是的 倍．
【解答】解：，
点、、在以为圆心的圆上，
，，
，
，
故答案为：
11．如图，矩形中，，，是直线上的一个动点，，沿翻折形成，连接、，则的最小值是 ，点到线段的最短距离是 ．
【解答】解：连接，作于，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
在中，由勾股定理得，
，
的最小值为，
，
四边形是矩形，
，
点到线段的最短距离是2，
故答案为：，2．
三．解答题（共9小题）
12．如图，在中，，过点作，，连接交于点．是的中点，连接交于．
（1）若，求的度数；
（2）若，且，求四边形的面积．
【解答】解：（1）如图1中，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
、、三点在上，
．
（2）如图2中，连接．
，，
，，
垂直平分，
，设，则，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
13．如图，，，，求的度数．
【解答】解：，
，，在以为圆心，为半径的圆上，
，，
，，
．
14．圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．
（1）已知：如图1，，请利用圆规画出过、．三点的圆．若，则 ．
如图，中，，，．
（2）已知，如图2．点为边的中点，将沿方向平移2个单位长度，点、、的对应点分别为点、、，求四边形的面积和的大小．
（3）如图3，将边沿方向平移个单位至，是否存在这样的，使得直线上有一点，满足且此时四边形的面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值及平移距离，若不存在，说明理由．
【解答】（1）以为圆心，为半径作辅助圆，如图，
，
，
，
故答案为．
（2）连接，，如图，
，
中，，，．
，，．
为斜边中点，
，
线段平移到之后，，，
四边形为菱形，
，
，
，且，
四边形为直角梯形，
，
（3）如图所示，
当边沿方向平移2个单位至时，
满足且此时四边形的面积最大，
此时直角梯形的最大面积为，
．
15．在中，，，、分别平分和，求证：．
【解答】解：连接，取中点，连接，，
，
，
、分别平分和，
，
，
在和中，，分别是斜边的中线，
，，
，
、、、四点在以为圆心，为半径的圆上，
，
是等腰直角三角形，
．
16．如图，在中，，垂直平分，且，连接
（1）求证：；
（2）设交于点，若是等腰三角形，求的度数．
【解答】解：（1）证明：作的外接圆，延长交圆于点，连接、，如图所示，
则有．
垂直平分，
，
，
，
是等边三角形，
．
，
，
点为所作圆的圆心，
．
（2）①若，
则．
，
．
，
，
．
，
，
解得：
②若，
同理可得：．
③，
此时与重合，
则与重合，
不符合题意，故舍去．
综上所述：当是等腰三角形时，的度数为或．
17．【阅读】
辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁．在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽．
性质：如图①，若，则点在经过，，三点的圆上．
【问题解决】
运用上述材料中的信息解决以下问题：
（1）如图②，已知．
求证：．
（2）如图③，点，位于直线两侧．用尺规在直线上作出点，使得．（要求：要有画图痕迹，不用写画法）
（3）如图④，在四边形中，，，点在的延长线上，连接，．
求证：是外接圆的切线．
【解答】解：（1）如图②，由，可知
点，，在以为圆心，为半径的圆上．
所以，．
（2）如图③，点，就是所要求作的点．
（3）如图④，取的中点为圆心，为直径作圆，则是的外接圆；
由，可得点在的外接圆上．
．
，
．
，
．
．
即．
是外接圆的切线．
18．在中，，，，分别是边，的中点，若等腰绕点逆时针旋转，得到等腰△，设旋转角为，记直线与的交点为．
（1）如图1，当时，线段的长等于 ，线段的长等于 ；（直接填写结果）
（2）如图2，当时，求证：，且；
（3）求点到所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）
【解答】（1）解：，，，分别是边，的中点，
，
等腰绕点逆时针旋转，得到等腰△，设旋转角为，
当时，，，
，；
故答案为：，；
（2）证明：当时，如图2，
△是由绕点逆时针旋转得到，
，，
在△和△中
，
△△，
，且，
记直线与交于点，
，
，
；
（3）解：如图3，作，交所在直线于点，
，在以为圆心，为半径的圆上，
当所在直线与相切时，直线与的交点到直线的距离最大，
此时四边形是正方形，，则，
故，
则，
故点到所在直线的距离的最大值为：．
19．如图，在 中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，求点到边距离的最小值．
【解答】解：如图，延长交于，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当时，点到的距离最小，
，，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
点到边距离的最小值为1.2．
20．如图，中，，，过点任作一条直线，将线段沿直线翻折得线段，直线交直线于点．
（1）小智同学通过思考推得当点在上方时，的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：
，
、、三点在以为圆心以为半径的圆上．
．
（2）若，求的长．
（3）线段最大值为 ；若取的中点，则线段的最小值为 ．
【解答】解：（1），
、、三点在以为圆心以为半径的圆上，
，
故答案为：，45；
（2）由折叠可知，垂直平分，
，
设、交于点，则，
，
，
，
在中，
由勾股定理得，，
；
（3），，，三点在以为圆心，以为半径的圆上，
当经过圆心时，线段的最大值为，
在中，，，
，
，，
连接，取的中点，连接，如图，
垂直平分，，
，
，
，
，
，
点在以点为圆心，为直径的圆上，
，
点在上，
当经过点时，最短，此时，
，
，
即线段的最小值为，
故答案为：8；．
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专题24 定点定长构造辅助圆
1．如图，已知，，，则的度数为
A． B． C． D．
2．如图，在四边形中，，则的大小是
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为
A．2 B． C．3 D．
4．如图，正方形中，为中点，，，交于，则的度数为
A． B． C． D．
5．如图，已知等边的边长为8，以为直径的圆交于点．以为圆心，长为半径作图，是上一动点，为的中点，当最大时，的长为
A． B． C． D．12
6．如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，的最大值为 ．
7．如图，四边形中，，且，若，则 ， ．
8．如图所示，，，则 ．
9．如图，四边形中，、分别是，的中垂线，，，则 ， ．
10．如图，，如果是的倍，那么是的 倍．
11．如图，矩形中，，，是直线上的一个动点，，沿翻折形成，连接、，则的最小值是 ，点到线段的最短距离是 ．
12．如图，在中，，过点作，，连接交于点．是的中点，连接交于．
（1）若，求的度数；
（2）若，且，求四边形的面积．
13．如图，，，，求的度数．
14．圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．
（1）已知：如图1，，请利用圆规画出过、．三点的圆．若，则 ．
如图，中，，，．
（2）已知，如图2．点为边的中点，将沿方向平移2个单位长度，点、、的对应点分别为点、、，求四边形的面积和的大小．
（3）如图3，将边沿方向平移个单位至，是否存在这样的，使得直线上有一点，满足且此时四边形的面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值及平移距离，若不存在，说明理由．
15．在中，，，、分别平分和，求证：．
16．如图，在中，，垂直平分，且，连接
（1）求证：；
（2）设交于点，若是等腰三角形，求的度数．
17．【阅读】
辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁．在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽．
性质：如图①，若，则点在经过，，三点的圆上．
【问题解决】
运用上述材料中的信息解决以下问题：
（1）如图②，已知．
求证：．
（2）如图③，点，位于直线两侧．用尺规在直线上作出点，使得．（要求：要有画图痕迹，不用写画法）
（3）如图④，在四边形中，，，点在的延长线上，连接，．
求证：是外接圆的切线．
18．在中，，，，分别是边，的中点，若等腰绕点逆时针旋转，得到等腰△，设旋转角为，记直线与的交点为．
（1）如图1，当时，线段的长等于 ，线段的长等于 ；（直接填写结果）
（2）如图2，当时，求证：，且；
（3）求点到所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）
19．如图，在 中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，求点到边距离的最小值．
20．如图，中，，，过点任作一条直线，将线段沿直线翻折得线段，直线交直线于点．
（1）小智同学通过思考推得当点在上方时，的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：
，
、、三点在以为圆心以为半径的圆上．
．
（2）若，求的长．
（3）线段最大值为 ；若取的中点，则线段的最小值为 ．
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