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专题28 圆中将军饮马
1．如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．如图，AB是O的直径，AB=8，点M在☉O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=2，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，在扇形中，，点是的中点，点、分别为半径，上的动点．若，则周长的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．如图，动点在边长为2的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是半圆的直径，，点，在半圆上，，，点是上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD＝6时，AP+BP的最小值为_____．
7．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为______．
8．如图，⊙O的直径，半径，E为的中点， ，交⊙O于点D，过点D作于点F．若 P为直径AB上一动点，则的最小值为 ________ ．
9．如图，AB是⊙O的直径，已知AB=2，C，D是⊙O的上的两点，且 ,M是AB上一点，则MC+MD的最小值是__________.
10．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均落在格点上，以点为圆心长为半径的圆交于点．
（Ⅰ）线段的长等于______；
（Ⅱ）若切于点，为上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）______．
11．如图，是O的直径，，点M在O上，，N是弧的中点，P是直径上的一动点．若，则周长的最小值为__________．
12．如图，已知圆的面积为，为圆的直径，，，点为直线AB上任意一点，则的最小值是________________．
13．如图，MN是⊙O的直径，MN=2a，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则 PA+PB的最小值为_____．（用含a的代数式表示）
14．如图，平面直角坐标系中，分别以点，为圆心，以1，3为半径作，，M，N分别是，上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值等于______．
三、解答题
15．如图，是圆的直径， ，是半圆上的一点，是弧的中点．
（1）若，求的长和由弦 、和弧CD围成的图形面积；
（2）若弧的度数是120度，在半径上是否存在点，使得的值最小，如果存在，请在备用图中面出的位置，并求 的最小值，如果不存在，请说明理由．
16．问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 ．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 ．
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专题28 圆中将军饮马
1．如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】作点D关于AB的对称点为D′，连接OC，OD，OD′，CD′，交AB于点E，则CE+DE的最小值就是CD′的长度，根据已知易证∠COD′=90°，然后利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解：作点D关于AB的对称点为D′，连接OC，OD，OD′，CD′，交AB于点E，
∴DE=D′E，
∴CE+DE=CE+D′E=CD′，
∵∠CAB=30°，
∴∠COB=2∠CAB=60°，
∵D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，
∴∠COD′=90°，
∵AB=2，
∴OC=OD′=1，
∴CD′=，
∴CE+DE最小值为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，轴对称-最短路线问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
2．如图，AB是O的直径，AB=8，点M在☉O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=2，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】依题意作出图形，作关于的对称点，连接，则△PMN周长的最小值为，由，N是弧MB的中点，可知,，进而可得是等边三角形，进而可得，结合已知,即可求得△PMN周长的最小值．
【详解】作关于的对称点，连接，，
△PMN周长=，
△PMN周长的最小值为，
，N是弧MB的中点，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧的中点的性质，等边三角形性质，轴对称求最短距离，正确的作出图形是解题的关键．
3．如图，在扇形中，，点是的中点，点、分别为半径，上的动点．若，则周长的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】连接，分别作点关于、的对称点、，连接、，，交于，交于，交于，如图，利用，得到的周长，根据两点之间线段最短可判断此时的周长最小，接着证明，，然后计算出即可．
【详解】解：连接，分别作点关于、的对称点、，连接、，，交于，交于，交于，
如图，
，，
的周长，
此时的周长最小，
点是的中点，
，
点与点关于对称，
，，
同理得，，
，，
而，
，，
，
在中，，
，
，
周长的最小值为．
故选：．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系和最短路径问题．
4．如图，动点在边长为2的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作点E关于DC的对称点E，设AB的中点为点O，连接OE，交DC于点P，连接PE，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE＋PM的最小值为OE的值减去以AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．
【详解】解答：解：作点E关于DC的对称点E，设AB的中点为点O，连接OE，交DC于点P，连接PE，如图：
∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，
∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AD＝×2＝1，
∵点E与点E关于DC对称，
∴DE＝DE＝1，PE＝PE，
∴AE＝AD＋DE＝2＋1＝3，
在Rt△AOE中，OE＝＝＝，
∴线段PE＋PM的最小值为：
PE＋PM
＝PE＋PM
＝ME
＝OE OM
＝ 1．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
5．如图，是半圆的直径，，点，在半圆上，，，点是上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接AD与OC相交于点P，连接BD，OD，则由垂直平分线的性质，得到AP=BP，则的最小值为AD的长度，由圆周角定理得到∠BOD=60°，即可求出的长度．
【详解】解：连接AD与OC相交于点P，连接BD，OD，如图：
∵，点O是AB的中点，
∴OC垂直平分AB，
∴AP=BP，
∴的最小值为AD的长度；
∵AB为直径，则∠ADB=90°，
∵∠BOC=90°，，
∴∠BOD=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD=OB=，
∴；
∴的最小值为；
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂直平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出BD的长度．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
6．如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD＝6时，AP+BP的最小值为_____．
【答案】3．
【分析】如图，设A′是A关于CD的对称点，连接A′B，与CD的交点即为点P．此时PA+PB＝A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．
【详解】解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，则PA+PB最小，
连接OA′，AA′．
∵点A与A′关于CD对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′OD＝∠AOD＝60°，PA＝PA′，
∵点B是弧AD的中点，
∴∠BOD＝30°，
∴∠A′OB＝∠A′OD+∠BOD＝90°，
又∵OA＝OA′＝3，
∴A′B＝．
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝3．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短线段问题以及垂径定理和勾股定理等知识，由轴对称的性质正确确定P点的位置是解题的关键．
7．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为______．
【答案】7
【分析】连接OA、OB、OC，作CH⊥AB，用勾股定理算得EF=OE+OF=7，CH=7，在直角三角形CHB中求出BC即可得到答案．
【详解】解：如图，
连接OA、OB、OC，作CH⊥AB于H．
根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，
∴OE===3，OF=，
∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，
则PA+PC的最小值为7．
故答案为：7．
【点睛】此题考查了圆的垂径定理，圆中最短路径问题以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
8．如图，⊙O的直径，半径，E为的中点， ，交⊙O于点D，过点D作于点F．若 P为直径AB上一动点，则的最小值为 ________ ．
【答案】
【分析】延长CO交⊙O于G，连接GD交AB于P，根据两点之间线段最短可知PC+PD的最小值为GD，由勾股定理分别求得DE、DG即可解答．
【详解】解：延长CO交⊙O于G，连接GD交AB于P，则PC+PD的最小值为GD，
连接OD，
则OD=OG=OC= AB=8，
∵E为OC的中点，
∴OE=OC=4，
∴EG=4+8=12，
∵，
∴在Rt△OED中，DE=，
在Rt△GED中，DG=，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、最短路径问题、圆的有关概念与性质，熟练掌握勾股定理和圆的性质是解答的关键．
9．如图，AB是⊙O的直径，已知AB=2，C，D是⊙O的上的两点，且 ,M是AB上一点，则MC+MD的最小值是__________.
【答案】
【分析】过D作DD′⊥AB于H交⊙O于D′，根据垂径定理得到，于是得到∠COD′=120°，连接CD′交AB于M，则CD′=MC+MD的最小值，过O作ON⊥CD′于N，得到CD′=2NC，∠C=30°，解直角三角形得到CN=，即可得到结论．
【详解】解：过D作DD′⊥AB于H交⊙O于D′，
∴，
∵，
∴，
∴∠COD′=120°，
连接CD′交AB于M，
则CD′=MC+MD的最小值，
过O作ON⊥CD′于N，
∵OC=OD′，
∴CD′=2NC，∠C=30°，
∵OC=AB=1，
∴CN=，
∴CD′=，
∴MC+MD的最小值是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及轴对称——最短线路问题，熟练掌握定理是解本题的关键．
10．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均落在格点上，以点为圆心长为半径的圆交于点．
（Ⅰ）线段的长等于______；
（Ⅱ）若切于点，为上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）______．
【答案】 连接A点和B点上一格再左两格的格点，交⊙O于D，找到B点关于OA的对称点B'，连接B'D交OA于P，
【分析】（Ⅰ）利用网格根据勾股定理求出的长，再用即可求出线段的长；
（Ⅱ）如图，连接A点和B点上一格再左两格的格点E，交⊙O于D，找到B点关于OA的对称点B'，连接B'D交OA于P，则点D，P即为所求．证明和全等，得出是的切线，通过垂径定理可得点、关于的对称，有最短路径，可得当、、三点共线时，取得最小值．
【详解】解：（Ⅰ）∵，，，
∴，
∴
∴线段的长等于．
（Ⅱ）如图，连接A点和B点上一格再左两格的格点E，交⊙O于D，找到B点关于OA的对称点B'，连接B'D交OA于P，则点D，P即为所求．连接交于，点、即为所求，
根据格点的特点，AE⊥OB，
∵OA=OD,
∴∠DOB=∠AOB,
在和中
,
∴≌，
∴，，
∴是的切线，
是关于的对称点，
∴,
当、、三点共线时，取得最小值．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图、勾股定理、圆周角定理、轴对称﹣最短路径问题以及垂径定理等知识，解决本题的关键是掌握轴对称性质．
11．如图，是O的直径，，点M在O上，，N是弧的中点，P是直径上的一动点．若，则周长的最小值为__________．
【答案】5
【分析】作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，根据轴对称确定最短路线问题可得MN′与AB的交点即为PM+PN最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠MOB=40°，然后求出∠BON=20°，再根据对称性可得∠BON′=∠BON=20°，然后求出∠MON′=60°，从而判断出△MON′是等边三角形，根据等边三角形的性质求出MN″，即为PM+PN的最小值，从而求得△PMN周长的最小值．
【详解】解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，
则MN′与AB的交点即为PM+PN的最小时的点，PM+PN的最小值=MN′，
∵∠MAB=20°，
∴∠MOB=2∠MAB=2×20°=40°，
∵N是弧MB的中点，
∴∠BON=∠MOB=×40°=20°，
由对称性，∠N′OB=∠BON=20°，
∴∠MON′=∠MOB+∠N′OB=40°+20°=60°，
∴△MON′是等边三角形，
∴MN′=OM=OB=AB=×8=4，
∴△PMN周长的最小值=1+4=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△MON′是等边三角形是解题的关键．
12．如图，已知圆的面积为，为圆的直径，，，点为直线AB上任意一点，则的最小值是________________．
【答案】3
【分析】先设圆O的半径为r，由圆O的面积为3π求出r的值，再作点C关于AB的对称点C′，连接OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，由轴对称的性质得出∠AOC′的度数，故可得出∠BOC′的度数，再由锐角三角函数的定义即可得出DC′的长．
【详解】解：设圆O的半径为r，
∵⊙O的面积为3π，
∴3π=πr2，即r=，
作点C关于AB的对称点C′，连接OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，
∵∠AOC=80°，
∴∠AOC=∠AOC′=80°，
∴∠BOC′=100°，
∵∠BOD=20°，
∴∠DOC′=∠BOC′+∠BOD=100°+20°=120°，
∵OC′=OD，
∴∠ODC′=30°
∴DC′=2OD cos30°==3，即PC+PD的最小值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是圆周角定理及轴对称-最短路线问题，根据题意作出点C关于直线AB的对称点是解答此题的关键．
13．如图，MN是⊙O的直径，MN=2a，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则 PA+PB的最小值为_____．（用含a的代数式表示）
【答案】a
【详解】作B点关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于P，如图，
则PB=PB′，
∴PA+PB=PA+PB′=AB′，
∴此时PA+PB的值最小，
∵∠AMN=40°，
∴∠AON=80°，
∵点B为弧AN的中点，
∴∠BON=∠AON=40°，
∵B点关于MN的对称点B′，
∴∠B′ON=40°，
∴∠AOB′=120°，
作OH⊥AB′于H，如图，则AH=B′H，
在Rt△AOH中，∠A=30°，
∴OH=OA=a，
∴AH=OH=a，
∴AB′=2AH=a，
即 PA+PB的最小值为a．
故答案为a．
点睛：本题考查的是轴对称-最短路线问题，圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解.
14．如图，平面直角坐标系中，分别以点，为圆心，以1，3为半径作，，M，N分别是，上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值等于______．
【答案】
【分析】在平面直角坐标系中作出关于x轴对称的圆，并作出点N关于x轴的对称点点Q，并连接PQ，AM，QC，AC．根据轴对称的性质确定PQ=PN，再根据图示应用两点之间，线段最短可得，通过等价代换和变形可得，再根据轴对称的性质和勾股定理求出AC，AM，QC的长度即可求出的最小值
【详解】解：如下图所示：在平面直角坐标系中作出关于x轴对称的圆，并作出点N关于x轴的对称点点Q，并连接PQ，AM，QC，AC．
∵是半径为3的关于x轴对称的圆，且，
∴，QC=3．
∵点Q是点N关于x轴的对称点，
∴PQ=PN．
∴PM+PN=PM+PQ．
根据图示可以看出．
∴，即．
∵，的半径是1，
∴，AM=1．
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的综合问题，圆的性质，两点之间，线段最短，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键．
三、解答题
15．如图，是圆的直径， ，是半圆上的一点，是弧的中点．
（1）若，求的长和由弦 、和弧CD围成的图形面积；
（2）若弧的度数是120度，在半径上是否存在点，使得的值最小，如果存在，请在备用图中面出的位置，并求 的最小值，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，画图见解析，
【分析】（1）先根据题意得出平行于，然后把要求的面积通过平行线夹的三角形面积相等转化为扇形的面积，即可得到答案，利用等边三角形的性质即可求出；
（2）首先根据轴对称性得出的位置，然后利用已知120度和等弧所对的圆心角相等得出角度，最后构造直角三角形求解．
【详解】解：（1）如图1，
连接，，，
，
，
，
是弧的中点，
，
，，
，，
，
，
，
所求面积．
（2）如图2．点即为所求；
连接，，
，
，
为弧的中点，
，
过点作，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
的最小值为′．
【点睛】本题考查了圆的综合知识和轴对称的相关知识（将军驿马问题），充分利用转化思想和熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键．
16．问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 ．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 ．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）﹣1；（4）7.
【分析】（1）根据题意可知在△POC中，根据“三角形两边之差小于第三边”可求证；
（2）由题意先连接OA交⊙O于点P，然后根据勾股定理求得OA，进而求得AP；
（3）由题意可知A′的轨迹是以M为圆心，半径是1的圆，故连接BM，求得BM，进而求得A′B的最小值；
（4）根据题意作点A关于x轴的对称点C，连接CB交x轴于点P，求出BC的长，进而求得PM+PN得最小值．
【详解】解：（1）证明：如图1，
∵PO﹣OC＜PC，
∴（AP+OA）﹣OC＜PC，
∵OA＝OC，
∴AP＜PC；
（2）如图2，
连接OA角半⊙O于P，则AP最小，
在Rt△AOC中，
OA＝
＝
＝，
∴AP＝OA﹣OP＝，
故答案为：；
（3）如图3，
连接BM，交⊙M（半径是1）于A1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAM＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵M是AD的中点，
∴∠AMB＝90°，
∴BM＝AB sin60°＝，
∴A1B＝-1；
故答案为：﹣1；
（4）如图4，
作点A关于x轴的对称点C，连接BC，交⊙B于点N，交x轴于点P，
连接PA交⊙A于M，
∴PA＝PC，
∴PA+PB＝PC+PB＝BC，
∵C（﹣2，﹣3），B（4，5），
∴BC＝＝10，
∴PM+PN＝PA+PB﹣AM﹣BN＝10﹣1﹣2＝7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查轴对称性质和圆的定义以及勾股定理和三角形三边关系等知识，解决问题的关键是熟悉“将军饮马”模型．
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