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专题30 圆与二次函数结合
1．一动点在二次函数的图像上自由滑动，若以点为圆心，1为半径的圆与坐标轴相切，则点的坐标为______．
【答案】或或
【分析】根据题意可分两种情况讨论：①当与x轴相切时，则点P的纵坐标为1，则得一元二次方程，解方程即可；②当与y轴相切时，点P的横坐标为1或-1，则可得点P的坐标，综上即可求解．
【详解】解：如图所示：
则可分两种情况：
①当与x轴相切时，则点P的纵坐标为1，令，
解得，，
此时点P的坐标为：或，
②当与y轴相切时，点P的横坐标为1或-1，则此时点P的坐标为：或，
综上所述：点P的坐标为：或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质和圆的切线的应用，掌握切线的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
2．如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式为 ____________．
【答案】y=x2-4x+3
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，然后利用垂径定理求出CH、AH和BH的长度，进而得到点A和点B的坐标，再将A、B的坐标代入函数解析式求得b与c，最后求得二次函数的解析式．
【详解】解：过点C作CH⊥AB于点H，则AH=BH，
∵C（2，），
∴CH=，
∵半径为2，
∴AH=BH=＝1，
∵A（1，0），B（3，0），
∴二次函数的解析式为y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，
故答案为：y=x2-4x+3．
【点睛】本题考查了圆的垂径定理、二次函数的解析式，解题的关键是过点C作CH⊥AB于点H，利用垂径定理求出点A和点B的坐标．
3．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半径是1，点P是直线AC上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长PQ的最小值是__．
【答案】
【分析】先根据解析式求出点A、B、C的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P的坐标，根据过点P作⊙B的切线，切点是Q得到PQ的函数关系式，求出最小值即可.
【详解】令中y=0，得x1=-，x2=5，
∴直线AC的解析式为，
设P（x，），
∵过点P作⊙B的切线，切点是Q，BQ=1
∴PQ2=PB2-BQ2，
=(x-5)2+（）2-1，
=，
∵，
∴PQ2有最小值，
∴PQ的最小值是，
故答案为：，
【点睛】此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ、BQ、PB之间的关系式是解题的关键.
二、解答题
4．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的圆与轴相切于点，与轴相交于、两点，且．
(1)求经过、、三点的抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为，证明直线与相切；
(3)在轴下方的抛物线上，是否存在一点，使面积最大，最大值是多少，并求出点坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在．当时，最大，最大值为，此时．
【分析】（1）连接，由轴是的切线，可得轴，过点作于点，根据垂径定理可得，连接，在中可求出，即圆的半径，然后利用矩形的判定证明四边形是矩形，得到，，，从而得到、、三点的坐标，再利用待定系数法即可确定经过点、、三点的抛物线的解析式；
（2）因为点为圆心，点在圆周上，，利用勾股定理的逆定理证明即可；
（3）设存在点，过点作轴，交于点，求出直线的解析式，设点的坐标，则可得点的坐标为，从而根据，表示出的面积，利用配方法可确定最大值，继而可得出点的坐标．
(1)
解：如图，连接，，过点作于点，
∴，
∵以为圆心的圆与轴相切于点，且，，
∴轴，，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，，，
设经过点、、三点的抛物线解析式为：，
将点、、三点的坐标代入可得：
，
解得：，
∴经过、、三点的抛物线的解析式为：．
(2)
证明：∵点为圆心，点在圆周上，
由（1）知，，
抛物线解析式为：，且顶点的坐标为，
又∵，
∴，，
∵，
∴，
∴直线与相切．
(3)
解：存在点，使面积最大，
如图，过点作轴，交于点，
∵，，
设直线的解析式为：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点的坐标为，
∵轴，交于点，
∴点的坐标为，
∴，
∴
，
当时，最大，最大值为，此时．
【点睛】本题考查了二次函数及圆的综合应用，涉及垂径定理，矩形的判定和性质，切线的判定与性质，勾股定理及勾股定理逆定理，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识．由得到与的函数关系是解题的关键．
5．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．
(1)已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；
(2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；
(3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．
【答案】(1)⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，理由见解析
(2)△POA周长的最小值为6
(3)
【分析】（1）先求出二次函数y=x2-4x+3图像与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，为半径的圆上，即可作出判断．
（2）由题意可得，二次函数y=x2-4x+4图像的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长=PO+PA+OA=PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．
（3）连接CD，PA，设二次函数y=ax2-4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE=m，由∠CPD=120°，可得PA=PC=2m，CE=m，PF=4-m，表示出AB、AF=BF，在Rt△PAF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值．
（1）
对于二次函数y＝x2﹣4x+3，
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，
∴二次函数图像与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），
∵点P（2，2），
∴PA＝PB＝PC＝，
∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．
（2）
如图1，连接PH，
∵二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，
∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），
∴△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，
∴△POA周长的最小值为6．
（3）
如图2，连接CD，PA，
设二次函数y＝ax2﹣4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，
由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，
∵AB＝，
∴AF＝BF＝，
∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），
∴∠PCD＝∠PDC＝30°，
设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，
∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图像的对称轴l为，
∴，即，
在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2，
∴，
即，
化简，得，解得，
∴．
【点睛】此题是二次函数与圆的综合题，主要考查了二次函数的性质、圆的基本性质、解直角三角形、勾股定理等知识以及方程的思想，添加辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
6．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标．
【答案】（1）；（2）存在，点P坐标（，）或（，）；（3）面积的最小值为，E点坐标（，）
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据抛物线的解析式求出点D的坐标，取点E（1，0），作EP∥AB交抛物线于点P，得到直线EP为y＝x﹣1，联立方程组求解即可；
（3）作BD⊥OA于D，得到OA＝OC＝3，AD＝BD＝1，证明EF是△AEO的外接圆的直径，得到△EOF是等腰直角三角形，当OE最小时，△EOF的面积最小，计算即可；
【详解】（1）将点A（3，0），B（4，1）代入可得：
，解得：，
故函数解析式为；
（2）∵抛物线与x轴的交点的纵坐标为0，
∴，解得：x1＝3，x2＝2，
∴点D的坐标为（2，0），取点E（1，0），作EP∥AB交抛物线于点P，
∵ED＝AD＝1，∴此时△PAB的面积是△DAB的面积的两倍，
∵直线AB解析式为y＝x﹣3，
∴直线EP为y＝x﹣1，
由解得或，
∴点P坐标（，）或（，）．
（3）如图2中，作BD⊥OA于D．
∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），
∴OA＝OC＝3，AD＝BD＝1，
∴∠OAC＝∠BAD＝45°，
∵∠OAF＝∠BAD＝45°，
∴∠EAF＝90°，
∴EF是△AEO的外接圆的直径，
∴∠EOF＝90°，
∴∠EFO＝∠EAO＝45°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴当OE最小时，△EOF的面积最小，
∵OE⊥AC时，OE最小，OC＝OA，
∴CE＝AE，OE＝AC＝，
∴E（，），S△EOF＝．
∴当△OEF的面积取得最小值时，面积的最小值为，E点坐标（，）．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合、一次函数的性质、圆的综合应用，准确计算是解题的关键．
7．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于点A(－3,0)、B(1,0)，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）在抛物线上是否存在点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积的倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）存在，理由见解析；D(－4, )或（2，）；（3）最大值； 最小值
【分析】（1）将点A、B的坐标代入函数解析式计算即可得到；
（2）点D应在x轴的上方或下方，在下方时通过计算得△ABD的面积是△ABC面积的倍，判断点D应在x轴的上方，设设D(m,n)，根据面积关系求出m、n的值即可得到点D的坐标；
（3）设E(x,y)，由点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点,用两点间的距离公式得到点E的坐标为E,再根据点F是AE中点表示出点F的坐标，再设设F(m,n),再利用m、n、与x的关系得到n=，通过计算整理得出，由此得出F点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，再计算最大值与最小值即可.
【详解】解：（1）将点A(－3,0)、B(1,0)代入y＝ax2＋bx－2中，得
，解得，
∴
（2）若D在x轴的下方，当D为抛物线顶点（－1，）时，，
△ABD的面积是△ABC面积的倍，
，所以D点一定在x轴上方．
设D(m,n), △ABD的面积是△ABC面积的倍，
n＝
＝m＝－4或m＝2
D(－4, )或（2，）
（3）设E(x,y),
∵点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，
∴,
∴y=,
∴E,
∵F是AE的中点,
∴F的坐标,
设F(m,n),
∴m=,n=,
∴x=2m+3,
∴n=,
∴2n+2=,
∴(2n+2)2=1-(2m+3)2,
∴4(n+1)2+4()2=1,
∴,
∴F点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
∴最大值：，
最小值：
最大值； 最小值
【点睛】此题是二次函数的综合题，考察待定系数法解函数关系式，图像中利用三角形面积求点的坐标，注意应分x轴上下两种情况，（3）还考查了两点间的中点坐标的求法，两点间的距离的确定方法：两点间的距离的平方=横坐标差的平方+纵坐标差的平方.
8．如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y＝x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．
(1)求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A、B、C，开口方向、顶点和对称轴相对准确）
(2)点Q（8，m）在抛物线y＝x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；
(3)CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．
【答案】（1）C（0，2），图象见解析；（2）PQ+PB的最小值 ；（3）OE的解析式为y=．
【详解】试题分析：（1）根据题意可知点A，B的坐标分别为（2，0），（6，0），代入函数解析式即可求得抛物线的解析式，即可得点C的坐标；
（2）根据图象可得PQ+PB的最小值即是AQ的长，所以抛物线对称轴l是x=4．所以Q（8，m）抛物线上，∴m=2．过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK=2，AK=6，求的AQ的值即可；
（3）此题首先要证得OE∥CM，利用待定系数法求得CM的解析式，即可求得OE的解析式．
试题解析：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），
∵抛物线y=x2+bx+c过点A和B，
则
解得
则抛物线的解析式为y=x2-x+2．
故C（0，2）．
（说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）
（2）如图①，
抛物线对称轴l是x=4．
∵Q（8，m）在抛物线上，
∴m=2．过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK=2，AK=6，
∴AQ=．
又∵B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称，
∴PQ+PB的最小值=AQ=2．
（3）如图②，连接EM和CM．
由已知，得EM=OC=2．
∵CE是⊙M的切线，
∴∠DEM=90°，
则∠DEM=∠DOC．
又∵∠ODC=∠EDM．
故△DEM≌△DOC．
∴OD=DE，CD=MD．
又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC．
则OE∥CM．
设CM所在直线的解析式为y=kx+b，CM过点C（0，2），M（4，0），
∴
解得
直线CM的解析式为y＝ x+2．
又∵直线OE过原点O，且OE∥CM，
∴OE的解析式为y= x或y=0.5x．
9．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3），点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线AB于点D，设P（x，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当0＜x＜3时，求线段CD的最大值；
（3）在△PDB和△CDB中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应x的值；
（4）过点B，C，P的外接圆恰好经过点A时，x的值为 ．（直接写出答案）
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）当x=时，CD最大=；（3）x=±或x=±2；（4）1．
【详解】分析：（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）先确定出直线AB解析式，进而得出点D，C的坐标，即可得出CD的函数关系式，即可得出结论；（3）先确定出CD=|-x2+3x|，DP=|-x+3|，再分两种情况解绝对值方程即可；
（4）利用四个点在同一个圆上，得出过点B，C，P的外接圆的圆心既是线段AB的垂直平分线上，也在线段PC的垂直平分线上，建立方程即可．
本题解析：
（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3），∴﹣9+3b+c=0，c=3，∴b=2，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）∵A（3，0），B（0，3），∴直线AB解析式为y=﹣x+3，
∵P（x，0）．∴D（x，﹣x+3），C（x，﹣x2+2x+3），
∵0＜x＜3，∴CD=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，当x=时，CD最大=；
（3）由（2）知，CD=|﹣x2+3x|，DP=|﹣x+3|
①当S△PDB=2S△CDB时，∴PD=2CD，即：2|﹣x2+3x|=|﹣x+3|，∴x=±或x=3（舍），
②当2S△PDB=S△CDB时，∴2PD=CD，即：|﹣x2+3x|=2|﹣x+3|，∴x=±2或x=3（舍），
即：综上所述，x=±或x=±2；
（4）直线AB解析式为y=﹣x+3，∴线段AB的垂直平分线l的解析式为y=x，
∵过点B，C，P的外接圆恰好经过点A，
∴过点B，C，P的外接圆的圆心既是线段AB的垂直平分线上，也在线段PC的垂直平分线上，
∴，∴x=±，故答案为
10．如图，已知抛物线的对称轴为直线：且与轴交于点与轴交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小？若存在，求的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）以为直径作⊙,过点作直线与⊙相切于点，交轴于点，求直线的解析式．
【答案】解：（1）如图，由题意，设抛物线的解析式为：
∵抛物线经过、.
∴
解得：a=，.
∴，
即：.
（2）存在.
令， 得
即，
抛物线与轴的另－交点.
如本题图2，连接交于点，则点即是使的值最小的点.
因为关于对称，则,,即的最小值为.
∵,
的最小值为；
（3）如图3，连接，∵是⊙的切线,
∴,
由题意，得
∵在中,
，
∴，
,
设，则,
则在△中，又，
∴,解得，
∴（，0）
设直线的解析式为，∵直线过（0，2）、（，0）两点，
，解方程组得：.
∴直线的解析式为.
【详解】试题分析：（1）根据题意设抛物线的解析式为，将、代入解析式，即可求出a，k的值，得出抛物线的解析式，令，即可求出抛物线与轴另－交点；（2）连接交于点，则点即是使的值最小的点. 则的最小值为，在Rt△OBC中，根据勾股定理即可求出BC的值；（3）连接，根据已知条件可得，根据全等三角形的对应边相等可得，在△中，根据勾股定理求出OD，即可得出D点坐标，设直线的解析式为，代入C，D两点坐标，即可解得直线的解析式.
考点：二次函数的综合题.
点评：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，也考查了二次函数与圆的综合，本题综合性强，有一定难度.
11．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）、B（，0），与y轴的正半轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，为半径的圆与直线BC相切，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点D坐标为（-2，0）或（-1，0）
(3)存在，点P坐标为(-1，4)或(-2，3)或()或()
【分析】（1）将A、B坐标代入二次函数解析式求解即可；
（2）求得C点坐标，从而得到BC解析式，由此可知∠CEF=45°，因此可分∠CFE=90°、∠ECF=90°两种情况讨论；
（3）过点P作PG⊥BC，过点P作PH∥BC，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，交x轴于点M，求出PH的解析式，联立直线PH和二次函数解析式，求解即可．
（1）
解：将点代入，得：
，
解得：，
∴二次函数解析式为．
（2）
解：∵二次函数解析式为
∴点C的坐标为（0，3），
∴直线BC的解析式为．
① 当∠CFE=90°时，CF∥OB
∴点C，F关于抛物线对称轴直线对称，
∴点F（-2，3），
此时点D坐标为（-2，0）
②当∠ECF=90°时，作FG⊥y轴于G，
由OB=OC，∠BOC=90°，可知∠BCO=45°
∵CF⊥CB，
∴∠FCG=45°，
∴△CFG是等腰直角三角形，
设CG=a，则点F坐标为(-a,a+3)，
代入得：
解得，（舍去）
点F（-1，4），
此时点D坐标为（-1，0）．
综上所述：存在这样的点D，点D坐标为（-2，0）或（-1，0）
（3）
解：① 当点P在BC上方时，过点P作PG⊥BC于点G，作PM⊥x轴，交BC于点N ，过点P 作直线PH∥BC．
则是等腰直角三角形，
∵PG=，
∴PN=2，
∵PM⊥x轴，
∴直线PH由直线BC向上平移两个单位长度得到，
∴直线PH的解析式为．
联立直线PH和抛物线的解析式，得：
，
解得：或．
∴点P坐标为(-1，4)或(-2，3) ．
② 当点P在BC下方时，同理可得直线PH由直线BC向下平移两个单位长度得到，
∴直线PH的解析式为．
，
解得： 或 ．
∴点P坐标为()或()．
综上所述：点P坐标为(-1，4)或(-2，3)或()或()．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，圆的切线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解，难度适中．
12．已知二次函数的图象交x轴于点A（3，0），B（－1，0），交y轴于点C（0，－3），P这抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式：
(2)当△PAC是以AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标：
(3)抛物线上是否存在点P，使得以点P为圆心，2为半径的圆既与x轴相切，又与抛物线的对称轴相交？若存在，求出点P的坐标，并求出抛物线的对称轴所截的弦MN的长度；若不存在，请说明理由．（写出过程）
【答案】(1)
(2)点P的坐标为（-2，5）或（1，-4）；
(3)点P的坐标为或，抛物线的对称轴所截的弦MN的长度为
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分当∠PAC=90°时，当∠PCA=90°时，两种情况讨论求解即可；
（3）由圆P的半径为2，且圆P与抛物线对称轴有交点，且与x轴相切，可得点P的纵坐标为-2，由此求出点P的坐标即可；过点P作PE⊥MN于E，由垂径定理可得MN=2ME，利用勾股定理求出ME即可得到答案．
(1)
解：设抛物线解析式为，把点C（0，-3）代入得，
，
∴，
∴抛物线解析式为；
(2)
解：如图所示，当∠PAC=90°时，设PA与y轴交点为D，
∵点A坐标为（3，0），点C坐标为（0，-3），
∴OA=OC=3，
∵∠AOC=90°，
∴∠CAO=45°，
∴∠DAO=45°，
∴OA=OD=3，
∴点D的坐标为（0，3），
设直线AD的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AD的解析式为，
联立，
解得或（舍去），
∴点P的坐标为（-2，5）；
当∠PCA=90°，设直线PC与x轴的交点为E，
同理可证∠ECO=45°，即OE=OC，
∴点E的坐标为（-3，0），
同理可以求出直线PC的解析式为，
联立，
解得或（舍去），
∴点P的坐标为（1，-4），
综上所述，点P的坐标为（-2，5）或（1，-4）；
(3)
解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴点A和点B到抛物线的对称轴的距离都为2，
∵圆P的半径为2，且圆P与抛物线对称轴有交点，且与x轴相切，
∴点P的纵坐标为-2，
当时，，
解得，
∴点P的坐标为或，
过点P作PE⊥ME交抛物线对称轴于E，
∴或，，
∴，
∴，
∴点P的坐标为或，抛物线的对称轴所截的弦MN的长度为
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，圆与函数综合，待定系数法求函数解析式等等，正确理解题意，利用分类讨论和数学结合的思想求解是解题的关键．
13．如图，二次函数的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OA=OC
(1)求二次函数的解析式；
(2)若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点D的坐标为
(3)存在，点的坐标为，点的坐标为
【分析】（1）由题意可知C坐标，根据题意得到三角形AOC为等腰直角三角形，确定出A坐标，代入二次函数解析式求出a的值，即可确定出解析式；
（2）由题意连接OD，作DE∥y轴，交x轴于点E，DF∥x轴，交y轴于点F，如图1所示，由圆O与直线AC相切于点D，得到OD垂直于AC，由OA=OC，利用三线合一得到D为AC中点，进而求出DE与DF的长，确定出D坐标即可；
（3）根据题意分两种情况考虑：经过点A且与直线OD平行的直线的解析式为y=-x-4，与抛物线解析式联立求出P坐标；经过点O且与直线AC平行的直线的解析式为y=x，与抛物线解析式联立求出P坐标即可．
(1)
解：∵二次函数的图象与y轴交于点C，
∴点C的坐标为，
∵二次函数的图象与x轴交于点A，tan∠OAC＝1，
∴∠CAO＝45°，
∴OA＝OC＝4，
∴点A的坐标为，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为；
(2)
连接OD，作轴，交x轴于点E，轴，交y轴于点F，如图1所示，
∵⊙O与直线AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∵OA＝OC＝4，
∴点D是AC的中点，
∴，，
∴点D的坐标为；
(3)
直线OD的解析式为y＝－x，如图2所示，
则经过点A且与直线OD平行的直线的解析式为y＝－x－4，
解方程组，消去y，得，即，
∴，（舍去），
∴y＝－12，
∴点的坐标为；直线AC的解析式为y＝x＋4，
则经过点O且与直线AC平行的直线的解析式为y＝x，
解方程组，
消去y，得，即，
∴，（舍去），
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定二次函数解析式，坐标与图形性质，直线与抛物线的交点，直线与圆相切的性质，锐角三角函数定义，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
14．如图，已知二次函数 的图像与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC；
(1)求顶点D的坐标；
(2)求直线BC的解析式；
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE，CE，求△BCE面积的最大值；
(4)以AB为直径，M为圆心作圆M，试判断直线CD与圆M的位置关系，并说明理由
【答案】(1)
(2)
(3)16
(4)直线与圆M相交，理由见解析
【分析】（1）利用配方法将一般式解析式转化为顶点式解析式；
（2）先解得，再利用待定系数法，代入点B、C的坐标即可解答；
（3）根据中点公式解得点M的坐标，再利用两点间的距离公式解得CM，MD的长，比较MD(1)
解：
即顶点D的坐标；
(2)
由（1）知
令得
解得
设直线BC的解析式：，代入点B、C
(3)
如图，
设（0即当x=4时，△BCE面积的最大值为16；
(4)
直线与圆M的位置是相交，理由如下，
如图，M为BC的中点，
即
直线CD与圆M有两个交点，
即直线与圆M的位置是相交．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及配方法、待定系数法求一次函数的解析式、直线与圆的位置关系、勾股定理、中点公式、两点距离公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
15．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C．
（1）二次函数的表达式为 ；
（2）点M在直线BC上，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）若点E在二次函数的图象上，以E为圆心的圆与直线BC相切于点F，且EF＝，请直接写出点E的坐标．
【答案】（1）；（2）点M为（0，3）或（8，﹣3）或（，）；（3）点E的坐标为或或或．
【分析】（1）根据A、B两点的坐标，应用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
（2）首先通过BC两点坐标，求出直线BC的解析式，再根据三角形△ABM是等腰三角形，分3种情况考虑，得到关于M点横坐标x的方程，解之即可得到x的值，进而得到M点坐标；
（3）利用面积法求出O到直线BC的距离，结合EF的长度可知P1为线段OC中点，可得P1的坐标，进而可得P2坐标，结合直线BC的表达式，可求出直线EP的表达式，联立直线EP和抛物线的函数表达式，组成方程组，即可解得点E的坐标．
【详解】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2＋bx＋3得：
，
∴a＝，b＝，
∴，
故二次函数表达式为：；
（2）当x＝0时，y＝3，
∴点C的坐标是（0，3），
设直线BC的表达式为：y＝kx＋c（k≠0），
将B（4，0），C（0，3）代入y＝kx＋c得：
，
∴，
∴直线BC的解析式为：，
使得△ABM为等腰三角形，存在如图所示的三种情况：
过点M1作M1D⊥AB，
∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴AD＝AB＝，
∴OD＝，
设M1（x，﹣x＋3），
∴M1（，），
∵△ABM为等腰三角形，
∴AB＝BM2＝5或AB＝BM3＝5，
设M2（x1，﹣x1＋3），
∴BM2＝＝5，
解得x1＝8或0，
当x1＝0时，y＝3，
当x1＝8时，y＝﹣3，
∴点M为（0，3）或（8，﹣3）或（，）；
（3）过点E作EP∥BC，交y轴于点P，这样的点有两个，分别记为P1，P2，如图所示：
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝5，
∴点O到直线BC的距离为：，
∵以E为圆心的圆与直线BC相切于点F，且EF＝，
∴点E到直线BC的距离是，
∴点P1为线段OC的中点，
∴CP1＝CP2，
∴P2（0，），
∵直线BC的函数表达式为y＝﹣x＋3，
∴直线EP的函数表达式为y＝﹣x＋或y＝﹣x＋，
联立直线EP和抛物线的表达式方程组，得：
或，
得或或或，
∴点E的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合应用．解题的关键要熟练掌握代入法求二次函数的解析式和一次函数的解析式、两点间的距离公式及勾股定理等．
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专题30 圆与二次函数结合
1．一动点在二次函数的图像上自由滑动，若以点为圆心，1为半径的圆与坐标轴相切，则点的坐标为______．
2．如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式为 ____________．
3．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半径是1，点P是直线AC上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长PQ的最小值是__．
4．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的圆与轴相切于点，与轴相交于、两点，且．
(1)求经过、、三点的抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为，证明直线与相切；
(3)在轴下方的抛物线上，是否存在一点，使面积最大，最大值是多少，并求出点坐标．
5．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．
(1)已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；
(2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；
(3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．
6．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标．
7．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于点A(－3,0)、B(1,0)，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）在抛物线上是否存在点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积的倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值．
8．如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y＝x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．
(1)求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A、B、C，开口方向、顶点和对称轴相对准确）
(2)点Q（8，m）在抛物线y＝x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；
(3)CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．
9．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3），点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线AB于点D，设P（x，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当0＜x＜3时，求线段CD的最大值；
（3）在△PDB和△CDB中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应x的值；
（4）过点B，C，P的外接圆恰好经过点A时，x的值为 ．（直接写出答案）
10．如图，已知抛物线的对称轴为直线：且与轴交于点与轴交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小？若存在，求的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）以为直径作⊙,过点作直线与⊙相切于点，交轴于点，求直线的解析式．
11．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）、B（，0），与y轴的正半轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，为半径的圆与直线BC相切，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
12．已知二次函数的图象交x轴于点A（3，0），B（－1，0），交y轴于点C（0，－3），P这抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式：
(2)当△PAC是以AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标：
(3)抛物线上是否存在点P，使得以点P为圆心，2为半径的圆既与x轴相切，又与抛物线的对称轴相交？若存在，求出点P的坐标，并求出抛物线的对称轴所截的弦MN的长度；若不存在，请说明理由．（写出过程）
13．如图，二次函数的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且且OA=OC
(1)求二次函数的解析式；
(2)若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，已知二次函数 的图像与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC；
(1)求顶点D的坐标；
(2)求直线BC的解析式；
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE，CE，求△BCE面积的最大值；
(4)以AB为直径，M为圆心作圆M，试判断直线CD与圆M的位置关系，并说明理由
15．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C．
（1）二次函数的表达式为 ；
（2）点M在直线BC上，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）若点E在二次函数的图象上，以E为圆心的圆与直线BC相切于点F，且EF＝，请直接写出点E的坐标．
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