2022——2023年上学期期中考试卷
高三数学考号：___________
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为，故，故
故选：C.
2．已知命题 在△中，若， 则；命题向量与向量相等的充要条件是且.下列四个命题是真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据条件分别判断命题和命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可.
【详解】命题：在△中，若，由于余弦函数在上单调递减，则，故命题为真命题；
命题向量与向量相等的充要条件是向量与向量大小相等，方向相同，则命题是假命题，
则为真命题，
故选：.
3．下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性求得正确答案.
【详解】、、在上递增，ABC选项错误，
在上递减，符合题意，D选项正确.
故选：D
4．在中，，，，此三角形解的情况为（ ）
A．一个解 B．二个解 C．无解 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据正弦定理，以及三角形中的边角关系，可得答案.
【详解】由正弦定理，可得，则，
因为，则，所以有两个解，
故选：B.
5．有下列四个命题：
①“若，则互为倒数”的逆命题;
②“面积相等的三角形全等”的否命题;
③“若，则有实数解”的逆否命题;
④“若，则”的逆否命题．
其中真命题为（ ）
A．①② B．②③ C．④ D．①②③
【答案】D
【分析】写出命题①的逆命题，再判断真假；
写出命题②的否命题，再判断真假；
判断出命题③是真命题，得到③的逆否命题也是真命题；
判断出命题④是假命题，得到④的逆否命题也是假命题.
【详解】①的逆命题为：“若x，y互为倒数，则”,显然是真命题；
②的否命题为：“面积不相等的三角形不是全等三角形”，为是真命题；
命题③：当时，，则有实数解，
故③是真命题，所以它的逆否命题也是真命题；
命题④：若，则，故④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．
故选：D．
6．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性分别求出a，b，c的取值范围，即可求解.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：B.
7．已知非零向量，，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据数量积的定义理解判断.
【详解】因为向量，，是非零向量，
则一定可以推出，
若成立，只表示在上的投影（或投影向量）相等，不能推出，
故是的充分不必要条件，
故选：A．
8．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦函数值域求集合A，根据一元二次不等式求集合B，再求补集.
【详解】∵，
∴.
故选：D.
9．已知角、、为的三个内角，若，则一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】C
【分析】根据诱导公式以及内角和定理得出，从而判断三角形的形状.
【详解】由可得，，，即，故该三角形一定为等腰三角形.
故选：C
10．设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】利用为奇函数求得的值，由此求得的值.
【详解】依题意，由于是奇函数，所以，解得，所以，所以.
故选：D
【点睛】本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题.
11．已知，设：函数在R上单调递减；：函数的值域为R，如果“且”为假命题，“或”为真命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出，为真命题时，的取值范围，由“且”为假命题，“或”为真命题，得到一真一假，分别求出真假，假真时，的取值范围，再求并集即可.
【详解】为真命题时，，
为真命题时，的值域为R，
则能取到所有正数，
因为，所以要想取到所有正数，
需要满足，解得：，
因为“且”为假命题，“或”为真命题，
所以一真一假，
若真假，与或取交集，得；
若假真，或与取交集，得，
综上：的取值范围是.
故选：A
12．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若对满足，有恒成立，且在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】可得，根据题意可求出最小正周期，得出，求出的单调递减区间，根据包含关系可求出.
【详解】由题可得，
若满足，则和必然一个极大值点，一个极小值点，
又，则，即，所以，
令，可得，
即的单调递减区间为，
因为在区间上单调递减，所以，
则，解得，
因为，所以可得.
故选：D.
二、填空题
13．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且，，则________.
【答案】2
【分析】由向量加减法的几何意义，求得，由为线段的中点，得到，即可求解.
【详解】以为临边作平行四边形，如图所示，
由向量加减法的几何意义，可知，
因为，所以，
又由，且为线段的中点，
所以.
故答案为：.
14．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
【答案】
【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.
【详解】由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
15．若函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用导数研究单调性，根据函数有极值求出实数a的取值范围.
【详解】函数定义域为R，.
令，则.
当时，有，，即恒成立，所以在R上单增，无极值；
当时，有，有两个根（不妨设），令解得：；令解得：，所以在上单增，在上单减，所以在处取得极大值，在处取得极小值.
故实数a的取值范围是.
故答案为：
16．已知函数，若正实数满足，则的最小值为______________.
【答案】1
【分析】由知为奇函数,求导分析为增函数,故利用
可以算得的关系,再利用基本不等式的方法求的最小值即可.
【详解】,故为奇函数,又,所以为增函数.又,
故,所以
,当且仅当时取得最小值1.
故答案为1
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的运用以及基本不等式的用法,属于中等题型.
三、解答题
17．设向量，，.
(1)求；
(2)若，，求的值；
(3)若，，，求证：A，，三点共线.
【答案】(1)1
(2)2
(3)证明见解析
【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.
（1）
，；
（2）
，所以，解得：，所以；
（3）
因为，所以，所以A，，三点共线.
18．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
【答案】（1）；（2）最小值是-3，最大值是.
【分析】（1）先将函数化简整理，得到，从而可得出最小正周期；
（2）由得到，根据余弦函数的单调性，即可得出结果.
【详解】（1）
，
所以函数的最小正周期为.
（2）因为，所以，
于是，
所以，
所以在区间上的最小值是-3，最大值是.
【点睛】本题主要考查余弦型函数的周期，以及余弦型函数在给定区间的最值问题，熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.
19．已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）.
（1）求复数；
（2）在复平面中，若复数对应向量，且向量，，求向量的坐标.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）设,由已知条件化简计算求得即可求复数；
（2）由（1）得，得出，设向量，根据已知列出方程组求解即可.
【详解】（1）设（），
由为实数，可得，即.
∵为纯虚数，
∴，，即，
∴
（2），则
设向量，因为且，所以
解得所以或
20．已知sinα，且α为第二象限角．
（1）求sin2α的值；
（2）求tan（α）的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意以及同角基本关系可知，再利用二倍角正弦公式即可求出结果；
（2）根据（1）的结果求出tan，利用两角和正切公式，即可求出结果.
【详解】（1）∵sinα，且α为第二象限角，∴cos，
∴sin2α＝2sinαcosα；
（2）由（1）知tan，
∴tan（α）．
【点睛】本题主要考查了三角函数同角基本关系式、正弦倍角公式和两角和的正切公式，属于基础题目.
21．在锐角中，已知，，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量平行，结合二倍角正弦公式、降幂公式，化简整理，结合角B的范围，可求得答案；
（2）根据（1）得角B，代入余弦定理，结合基本不等式，可得最大值，代入面积公式，即可得答案.
(1)
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
因为锐角三角形，，
所以，
所以，.
(2)
设角A、B、C所对的边为a,b,c，则，
由余弦定理得，
所以，即，
又，
所以，解得，
当且仅当时等号成立，
所以面积的最大值.
22．已知函数f(x)=x-mlnx-m.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在上恒成立.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调区间.
（2）根据（1）的结论可得函数的最小值，再利用导数可证不等式.
(1)
函数的定义域为，且，
当时，在上恒成立，所以此时在上为增函数，
当时，由，解得，
由，解得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
综上：当时，在上为增函数，
当时，在上为减函数，在上为增函数；
(2)
由（1）知:当时，在上为增函数，无最小值.
当时，在上上为减函数，在上为增函数，
所以，即，
则，
由，解得，
由，解得，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以，
即在上恒成立.东煌高级中学校2022-2023学年高三上学期期中考试
数学
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题 在△中，若， 则；命题向量与向量相等的充要条件是且.下列四个命题是真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，，，此三角形解的情况为（ ）
A．一个解 B．二个解 C．无解 D．无法确定
5．有下列四个命题：
①“若，则互为倒数”的逆命题;
②“面积相等的三角形全等”的否命题;
③“若，则有实数解”的逆否命题;
④“若，则”的逆否命题．
其中真命题为（ ）
A．①② B．②③ C．④ D．①②③
6．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知非零向量，，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
8．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知角、、为的三个内角，若，则一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
10．设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
11．已知，设：函数在R上单调递减；：函数的值域为R，如果“且”为假命题，“或”为真命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若对满足，有恒成立，且在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且，，则________.
14．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
15．若函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是______．
16．已知函数，若正实数满足，则的最小值为______________.
三、解答题
17．设向量，，.
(1)求；
(2)若，，求的值；
(3)若，，，求证：A，，三点共线.
18．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
19．已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）.
（1）求复数；
（2）在复平面中，若复数对应向量，且向量，，求向量的坐标.
20．已知sinα，且α为第二象限角．
（1）求sin2α的值；
（2）求tan（α）的值．
21．在锐角中，已知，，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的最大值．
22．已知函数f(x)=x-mlnx-m.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在上恒成立.
答案第1页，共2页
