十堰市县区普通高中联合体 2022-2023 学年11月期中联考
高三数学试卷
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
5
1．设集合 A { 2, 1,0,1, 2},B x∣0 x ，则 A B （ ）
2
A．{0,1} B．{1,2} C． 0,1,2 D．{ 2, 1,0}
2 i
2．若复数 z 的实部与虚部相等，则实数 a的值为（ ）
a i
A．-3 B．-1 C．1 D．3
3．在 ABC中，点 D在边 AB上，BD 2DA．记CA m ，CD n ，则CB （ ）
A 3m ． 2n B． 2m 3n C．3m 2n D． 2m 3n
4．下列说法正确的是（ ）
A．命题“ x 2， ln x x 1”的否定是“ x0 2， ln x0 x0 1”
B．命题 p： x0 R ， ax 20 ax 1 0，若命题 p0 是假命题，则0 a 4
C．“a b 0 ”是“ a，b的夹角为钝角”的充分不必要条件
D． ABC中， A B是 sin A sinB的充要条件
5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天
池盆盆口直径为 2 尺 8 寸，盆底直径为 l 尺 2 寸，盆深 1 尺 8 寸.若盆中积水深 9 寸，则平均降雨量是（ ）（注：①平
均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1 尺等于 10 寸）
A．3 寸 B．4 寸 C．5 寸 D．6 寸
6．有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种
7．已知三棱锥 A BCD的所有顶点都在球O的球面上，且 AB 平面 BCD, AB 2 3， AC AD 4,CD 2，则球O的表
面积为（ ）
13 52
A．3 B． C 13 13 ． D．
3 3 3
8．若 a ln sin
1
，b ln 9， c ln( ln 0.9) ， 则（ ）
9
A．a b c B． c b a C．c a b D． a c b
高三数学试卷 第 1 页 共 4 页
二、多选题(每题 5 分,共 20 分。全部选对给 5 分，部分选对给 2 分，有错选或不选,0 分)
9．下列命题中正确的是（ ）
A．已知一组数据 7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为 8
B 2．若随机变量 服从正态分布 N 1, ， P( 4) 0.79，则 P( 2) 0.21；
C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 y 0.3x m，若样本中心
点为 m, 2.8 ，则m 4
D．若随机变量 X B 100, p ，且 E X 20，则D X 12
10．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度 128
米，转盘直径为 120 米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转 t分钟，当 t 15时，
游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为 4 米
B．若旋转 t分钟后，游客距离地面的高度为 h米，则 h 60cos
t
68
15
C．若在 t1 ， t2 时刻，游客距离地面的高度相等，则 t1 t2的最小值为 30
D． t1， t2 0, 20 ，使得游客在该时刻距离地面的高度均为 90 米
11 x2
1
．已知抛物线 y的焦点为 F ，M x1, y1 ，N x2 , y2 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）2
1
A．点 F 的坐标为 ,0
8
1
B．若直线MN过点 F，则 x1x2 16
1
C．若MF NF，则 MN 的最小值为 2
D．若 MF
3 5
NF ，则线段MN的中点 P到 x轴的距离为
2 8
12．已知函数 f x 及其导函数 f x 5 的定义域均为 R，若 f 2 x ， f 2x 均为奇函数，则（ ）
2
A． f 2 0 B． f 1 f 0 C． f 3 f 2 D． f 2022 f 1
三、填空题(每题 5分，共 20 分)
13． (x2
1
)9 展开式中，常数项的值为__________.
x
14．写出一个数列 an 的通项公式，使得该数列的前 n项和在 n 5时取最大值， an ___.
高三数学试卷 第 2 页 共 4 页
2 2 2
15．已知双曲线 M x2 y x y： 1的渐近线是边长为 1 的菱形OABC的边OA，OC所在直线.若椭圆 N：
3 a2
2 1（ a b 0）b
经过 A，C两点，且点 B是椭圆 N的一个焦点，则a ______.
sin x,x 0,2
16．对于函数 f x 1 现有下列结论:
f x 2 ,x 2, 2
①任取 x1, x2 [2, ) ，都有 f x1 f x2 1； ②函数 y f x 在 4,5 上单调递增；
③函数 y f x ln x 1 有3个零点； ④若关于 x的方程 f x m m 0 恰有3个不同的实根 x1, x2 , x3 ，则
x1 x2 x
13
3 .2
其中正确结论的序号为________________．(写出所有正确命题的序号)
四、解答题(共 70 分)
a
17．已知数列 n 是等差数列， an 2
20， a5 80 .
(1)求数列 an 的通项公式；
2
(2)设bn a 4 ，求数列 bn 的前 n项和 Sn .n
18．在 ABC中，已知 a,b,c分别为角 A,B,C的对边．若向量m (a, cos A) ，向量 n (cosC ,c) ，且m n 3b cosB ．
（1）求 cosB的值； （2）若 a,b,c
1 1
成等比数列，求 的值．
tan A tanC
19．如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧面 BCC1B1为正方形，平面 BCC1B1 平面 ABB1A1，AB BC 2，M，N分别为 A1B1 ，
AC的中点．
(1)求证：MN∥平面 BCC1B1；
(2)若 AB MN，求直线 AB与平面 BMN所成角的正弦值．
高三数学试卷 第 3 页 共 4 页
20．为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部 A B进行体育运动和文化项目比赛，由 A部 B部
争夺最后的综合冠军.决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束.若 A部
B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天 A部 B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛
的获胜方为最终冠军.设每局比赛 A部获胜的概率为 p(0 p 1)，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立.
(1)记第一天需要进行的比赛局数为 X ，求 E X ，并求当 E X 取最大值时 p的值；
1
(2)当 p 时，记一共进行的比赛局数为Y ，求 P(Y 5) .
2
2 2
21 x y．设椭圆 C： 2 2 1（ a b 0）的左 右顶点分别为 A，B，上顶点为 D，点 P是椭圆 C上异于顶点的动点，已知a b
椭圆的离心率 e 3 ，短轴长为 2.
2
(1)求椭圆 C的方程；
(2)若直线 AD与直线 BP交于点 M，直线 DP与 x轴交于点 N，求证：直线 MN恒过某定点，并求出该定点.
22 x．设函数 f x e ax 1 ln ax 1 a 1 x .（ e为自然常数）
(1)当 a 1时，求 F x ex f x 的单调区间；
f x 1 (2)若 在区间 ,1 上单调递增，求实数 a的取值范围. e
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高三数学参考答案
1．C
【详解】因为 A 5 2, 1,0,1,2 ，B x∣0 x ，所以 A B 0,1, 2 ．
2
故选：C.
2．A
2 i 2 i a i 2a 1 a 2 i
【详解】解： z a i a i a i a2 1
z 2 i因为复数 的实部与虚部相等，
a i
所以 2a 1 a 2，解得 a 3
故实数 a的值为a 3 .
故选：A
3．B
【详解】因为点 D在边 AB上，BD 2DA，所以 BD 2DA，即CD CB 2 CA CD ，
所以CB 3CD 2CA 3n 2m 2m 3n．
故选：B．
4．D
【详解】对于 A，由含量词的命题的否定知，命题“ x 2， ln x x 1”的否定是“ x0 2，
ln x0 x0 1”，故不正确；
对于 B，因为命题 p是假命题，所以 p： x R ， ax2 ax 1 0为真命题，
当a=0时，不等式为1 0恒成立；
a>0
当 a 0时，需满足 2 ，解得0 a 4
Δ=a
，
4a<0
综上所述， a的取值范围为 a 0 a<4 ，故不正确；
答案第 1页，共 11页
对于 C，“ a ,b 的夹角为钝角”的充要条件是“ a b 0 且 a不平行于b ”，所以“ a b 0”是“ a，
b的夹角为钝角”的必要不充分条件，故不正确；
对于 D，若 A B，由三角形中“大边对大角”可知， a b，由正弦定理可知，sin A sin B；
若sin A sin B，由正弦定理可知， a b，从而 A B，
故“ A B ”是“ sin A sin B ”的充要条件，故正确，
故选：D
5．A
【详解】作出圆台的轴截面如图所示：
由题意知，BF 14 寸，OC 6寸，OF 18寸，OG 9寸
即G是OF 的中点 GE为梯形OCBF的中位
GE 14 6线 10寸
2
即积水的上底面半径为10寸
1盆中积水的体积为 100 36 10 6 9 588 （立方寸）
3
又盆口的面积为142 196 （平方寸）
588 平均降雨量是 3寸，即平均降雨量是3寸
196
本题正确选项：A
6．B
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,
有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位
置插入，有 2 种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有 2 种排列方式，故安排这 5
名同学共有：3! 2 2 24种不同的排列方式，
故选：B
7．D
【详解】如图所示，因为 AB 平面 BCD，且 BC,BD 平面 BCD，
所以 AB BC, AB BD，
答案第 2页，共 11页
又因为 AB 2 3, AC AD 4 ，可得 BC BD 42 (2 3)2 2，
由CD 2，所以△BCD为边长为 2 的等边三角形，
设 A BCD外接球的球心为O，半径为 R，△BCD外接圆的圆心为O1 ，连接OO1, BO1, BO，
则OO1
1
平面 BCD，则OO1 AB 3，2
2 3
在正△BCD，可得 BO1 ，3
2
在直角 BOO 中，可得 R2 BO2 OO2
2 3 23 131 1 1 ，
3 3
所以外接球的表面积为 S 4 R2 4
13 52
.
3 3
故选：D.
8．C
1 10
【详解】由对数的运算法则得b ln 9 ln ， c ln( ln 0.9) ln ln .
9 9
令函数 f x sin x x，则 f x cos x 1 0 ，即函数 f x 在 R是单调递减.
sin 1 1
9 9
令函数 g x sin x ln x 1 , x 0, ，则 g x cos x
1
，
6 x 1
令函数 h x cos x 1 ,x 0,
，则 h x sin x
1
2 ，
x 1 6 x 1
h 0 1 0,h
1 1 0 h x 在 0, 上单调递减，且 6 2 2 ，
6 1
6
x 0 0,
,h x0 0 ， 所以 h x 在 0, x
6 0
上单调递增，在 x0 , 单调递减.
6
h 0 0,h 3 1 3 6 0又 6 2 2 6 h x
0 在 0,
恒成立
1 6
6
g x 0 1，即 g x 在 0, 上单调递增 g x g 0 =0，则sin x ln x 1 当 x
6 9
sin 1 1 10时， ln
1 ln .9 9 9
10
又 y ln x在 0, 上单调递增 ln 1
9
答案第 3页，共 11页
ln ln 10 1 1 ln sin ln c a b
9 9 9
故选：C
9．BC
【详解】对于选项 A，5，6，7，7，8，8，8，9 中位数为 7.5，所以 A 不正确；
对于选项 B 2，因为随机变量 服从正态分布 N 1, ，所以正态曲线关于 x 1对称，
所以 P( 2) P( 4) 1 0.79 0.21，所以 B 正确；
对于选项 C，因为回归直线一定经过样本中心点，所以 2.8 0.3m m 0.7m，
即m 4 ，所以 C 正确；
对于选项 D，因为 X B 100, p ，且 E X 20，所以100 p 20，即 p 0.2，
所以D X 100 0.2 0.8 16，所以 D 不正确.
故选：BC.
10．BC
【详解】解：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为128 120 8米，故 A 不正确；
t 分钟后，转过的角度为 t，则 h 60 60cos
t 8 60cos t 68，B 正确；
15 15 15
h 60cos
2
30
t 68周期为 ，由余弦型函数的性质可知，若 t t 取最小值，
15 1 215
则 t1, t2 0,30 t t，又高度相等，则 t , t 1 21 2 关于 t 15对称，则 15 ，则 t t 30；2 1 2
0 令 t
，解得0 t 15，令 t 2 ，解得15 t 30 ，
15 15
则 h在 t 0,15 上单调递增，在 t 15,20 上单调递减，当 t 15时， hmax 128，
当 t 20时， h 60cos
20 68 98 90 ，所以 h 90 在 t 0,20 只有一个解；
15
故选:BC.
11．BCD
1
【详解】易知点F 的坐标为 0, ，选项 A 错误；
8
答案第 4页，共 11页
2 1
根据抛物线的性质知，MN过焦点 F 时， x1x2 p ，选项 B 正确；16
若MF NF，则MN过点 F ，则 MN 的最小值即抛物线通径的长，
为 2 p
1
，即 ，选项 C 正确，
2
x2 1
1
抛物线 y
1
的焦点为 0, ，准线方程为 y ，2 8 8
过点M ，N， P分别作准线的垂线MM ，NN ， PP 垂足分别为M ， N ， P ，
所以 MM MF ， NN NF ．
所以 MM NN MF
3
NF ，
2
MM NN 3
所以线段 PP ，
2 4
MN 1 3 1 5所以线段 的中点 P到 x轴的距离为 PP ，选项 D 正确．
8 4 8 8
故选：BCD
12．ACD
【详解】解：因为若 f 2 x ， f 5 2x
为奇函数，
2
所以 f 2 x f 2 x f 5 5， 2x f 2x 2 2
x 0 f 2 5 f 2 f f 5 5 令 得 ， ，即 f 2 0， f 0 ，A 选项正确；
2 2 2
所以， f 2 x f 2 x ，即 f 2 x f 2 x ，
5
所以，函数 f (x)关于 x 2对称， ,0 对称，
2
所以， f
5 x f 5 3 5 3 x
f x
2 2 2
，即 f x f x
2 2
所以， f x 1 f x ，
答案第 5页，共 11页
所以， f x 2 f x 1 f x ，即函数 f (x)为周期函数，周期为 2 ，
所以， f 2022 f 0 f 1 ， f 1 f 0 ，故 D 选项正确，B 选项错误；
5 5
对于 C 选项，由 f 2x f 2x
1 f 5 可得 2x
C 1 f 5 2x C ，其中
2 2 2 2 1 2 2 2
C1,C2 为常数，
5 5
所以 f 2C f
1 2C2 ，所以C1 C ，
2 2 2
故令 x
1
得 f 2 2C1 f 3 2C2，即 f 2 f 3 ，故 C 选项正确.4
故选：ACD.
k
9 k
13 1 ．【详解】解：T C k x2 C k 18 3kk 1 9 x 9 x
9
令 18﹣3k＝0 ，k＝6，故 x2 1
的展开式中的常数项为 T下标 7＝C96＝84
x
故答案为 84
n a a n 4 5 n n 9 n
14 ．【详解】对于等差数列 an 5 n，其前 n项和 S 1 nn ，2 2 2
由二次函数的性质可知，数列前 n项和在 n 5或n 4时取到最大值，
故答案为： 5 n（答案不唯一）
2
15 OA x2 y．【详解】因为 为双曲线 1的渐近线，所以 k 3 ，则 AOB 60
3 OA
1 1 3
所以 AD AO sin 60 3 ，OD AO cos 60 ，则 A ,2 2 2 2
因为OB 2OD 1，所以椭圆 N的半焦距 c 1
设椭圆N的左焦点为F1，则 F1( 1,0)，连接 AF1
由椭圆的定义可得 AF1 AB 2a
2 2 2
1 1
3 2
即
0
1
1 3
2 2 2
0 2a，
2
答案第 6页，共 11页
3 1
解得 a
2
3 1
故答案为：
2
16．【详解】由题意，作出函数
sin x,x 0,2
f x 1
f x 2 ,x 2, 2 的图象，如图所示，
1 1
①中，当 x [2, ) 时，函数 f x 的最大值为 2 ，最小值为 ，2
所以任取 x1, x2 [2, ) ，都有 f x1 f x2 1恒成立，所以是正确的；
②中，函数在区间 4,5 上的单调性和在[0,1]上的单调性相同，
则函数 y f x 在区间 4,5 不单调，所以不正确；
③中，如图所示，函数 y f x 与函数 y ln x 1 的图象有 3 个不同的交点，
可得函数 y f x ln x 1 有3个零点，所以是正确的；
④中，若关于 x的方程 f x m m 0 恰有3个不同的实根 x1, x2 , x3，
不妨设 x1 x2 x3，则 x1 x2 3, x
7 13
3 ，所以 x1 x2 x3 ，所以是正确的.2 2
an 17．解：(1)设数列 n
的公差为 d，
a a
依题意可得： 5 2 6 3d ，
5 2
解得 d 2，
a
故有 n
a
2 (n 2) 2 2n 6 ，
n 2
故 an 2n
2 6n .
答案第 7页，共 11页
b 2 1 1 1n
(2)由（1）中所求可得： an 4 (n 1)(n 2) n 1 n 2 ，
故 S
1 1 1 1 1 1 1 1 nn 2 3 3 4 n 1 n 2 2 n . 2 2(n 2)
n
即数列 bn 的前 n项和 S n 2 n 2
18．解：（1）因为m n 3b cosB ，所以 acosC ccos A 3bcosB．
由正弦定理，得sin AcosC sinC cos A 3sin BcosB，
所以 sin(A C) 3sin B cos B，所以 sin B 3sin BcosB．
1
因为 0 B ，所以 sinB 0，所以 cosB ．
3
（2）因为 a,b,c成等比数列，所以b2 ac．
由正弦定理，得 sin2 B sin AsinC．
1 2 2
因为 cos B ，0 B ，所以 sin B ．
3 3
1 1 cosA cosC cosA sinC cosC sinA sin(C A )
又
tan A tanC sin A sinC sin AsinC sin AsinC
sin B sin B 1 3 2
.
sin AsinC sin 2B sin B 4
1 1 3 2
故 .
tan A tanC 4
19．（1）证明：取 AB的中点为K，连接MK ,NK，
由三棱柱 ABC - A1B1C1 可得四边形 ABB1A1为平行四边形，
而B1M MA1, BK KA，则MK //BB1，
而MK 平面 BCC1B1，BB1 平面 BCC1B1，故MK // 平面 BCC1B1 ，
而CN NA,BK KA，则 NK //BC，同理可得NK //平面 BCC1B1，
而NK MK K ,NK ,MK 平面MKN，
故平面MKN // 平面 BCC1B1，而MN 平面MKN，故MN // 平面 BCC1B1，
答案第 8页，共 11页
2 BCC1B1 CB BB（ ）解：因为侧面 为正方形，故 1，
而CB 平面 BCC1B1 ，平面CBB1C1 平面 ABB1A1，
平面CBB1C1 平面 ABB1A1 BB1，故CB 平面 ABB1A1，
因为 NK //BC，故 NK 平面 ABB1A1，
因为 AB 平面 ABB1A1，故 NK AB，
又 AB MN，而 NK AB， NK MN N ，
故 AB 平面MNK，而MK 平面MNK，故 AB MK，
所以 AB BB1，而CB BB1，CB AB B，故 BB1 平面 ABC，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则B 0,0,0 , A 0,2,0 ,N 1,1,0 ,M 0,1,2 ，
故BA 0,2,0 ,BN 1,1,0 ,BM 0,1,2 ，
设平面BNM 的法向量为 n x, y, z ，
n BN 0 x y 0
则 ，从而
n BM 0 y 2z 0
，取 z 1，则
n 2,2, 1 ，
设直线 AB与平面 BNM 所成的角为 ，则
sin cos n, AB 4 2 .
2 3 3
20．解：（1）X 可能取值为 2，3．
P(X 2) p2 (1 p)2 2p2 2p 1；
P(X 3) 2p(1 p) 2p2 2p．
故 E(X ) 2(2p2 2p 1) 3( 2p2 2p) 2p2 2p 2，
1
即 E(X ) 2( p
1)2 5
2 2 ，则当
p 时， E(X ) 取得最大值．
2
答案第 9页，共 11页
p 1 1 1 1
（2）当 2 时，双方前两天的比分为 2 : 0或 0 : 2的概率均为 2 2 4 ；
比分为2:1或1:2 的概率均为 2 1 1 1 1 2 2 2 4 ．
P(Y 5)则Y 4或Y=5．
Y 4即获胜方两天均为 2 : 0获胜，
P(Y 4) 2 1 1 1故 ；
4 4 8
Y=5即获胜方前两天的比分为 2 : 0和 2:1或者 2 : 0和 0 : 2再加附加赛，
P(Y 5) 2 (1 1 2 1 1 2 1) 3故 4 4 4 4 2 8 ．
所以 P(Y 5) P(Y 4) P(Y 5)
1 3 1
．
8 8 2
2b 2
a 2
21．解：(1)由已知可得 2 2 ，解得 ，
e
a b 3
b 1
a 2
x2
故椭圆 C的方程为 y2 1；
4
k 1
(2)设直线 BP的方程为 y k1(x 2)
1
（ k1 0且 2 ），
1
直线DP的方程为 y k2 x 1（ k2 0且 k2 ），2
N 1
则直线DP与 x轴的交点为 , 0k
，
2
1 4k 2 4k
直线 AD的方程为 y x 1，则直线 BP与直线 AD的交点为M 1 , 1 ，2 2k1 1 2k1 1
2
将 y k
x
2 x 1代入方程 y2 1，得 4k 2 2
4 2
1 x 8k2x 0 ，
8k 8k 1 4k 22
则点 P的横坐标为 xP 2 ，点 P的纵坐标为 yP k 22 2 1
2
4k ，2 1 4k 22 1 4k2 1
将点 P的坐标代入直线 BP的方程 y k1(x 2)，
2
整理得 1 2k2 1 2k2 2k1 1 2k2 ，
∵1 2k2 0，∴ 2k1 4k1k2 2k2 1，
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由M ,N点坐标可得直线MN的方程为：
y 4k1k2
1 2k
x 1k2x 2k1 2k 1k2x 2k2 1 4k1k2 ，
4k1k2 2k 2k 1
k 2 1 2 2k2 1 2k2 1
y 2k1k即 2 ( x 2) 12k2 1
，
则直线MN过定点 (2,1) .
22．解：(1)当 a 1时， F(x) ex f (x) (x 1) ln(x 1) 2x，定义域为 (1, )，
F (x) ln(x 1) 1，令 F (x) 0，解得： x e 1，令 F (x) 0 ，解得：1 x e 1，故此时
F (x)的单调递增区间为 (e 1, )，单调递减区间为 (1,e 1) .
1 ,1 1 ,1
(2) f (x)
在区间 e
上有意义，故 ax 1 0在 e 上恒成立，可得a e，
1
依题意可得： f (x) ex a ln(ax 1)
1 0在 ,1 e
上恒成立，
设 g(x) f (x) ex a ln(ax 1) 1，
2 1 2
g (x) ex a ，易知 g (x)
,1 在 a
ax 1 e
上单调递增，故 g (x) g (1) e 0，
a 1
1
故 g(x) f (x) ex a ln(ax 1) 1
在 ,1
上单调递减，最小值为 g(1)， e
故只需 g(1) e a ln(a 1) 1 0，设 h(a) e a ln(a 1) 1，其中 a e，
由 h (a)
a
0 可得： h(a) e a ln(a 1) 1在 (e, )上为减函数，
a 1
又h(e 1) 0，故 a e 1 .
综上所述：a的取值范围为 e,e 1 .
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