人教版（2019）数学必修第二册6.1平面向量的概念课件(共42张PPT)

(共42张PPT)
6.1 平面向量的概念
高一
必修二
本节目标
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．
2．理解共线向量、相等向量的概念．
3．正确区分向量平行与直线平行．
课前预习
预习课本P2～4，思考并完成以下问题
(1)向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？
(2)怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？
(3)两个向量(向量的模)能否比较大小？
(4)如何判断相等向量或共线向量？向量与向量是相等向量吗？　
(5)零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别？　
课前小测
1．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量(　　)
A．都相等 B．都共线
C．都不共线 D．模都相等
D
边长相等
2．有下列物理量：
①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．
其中可以看成是向量的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
×
×
×
√
√
B
3．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________.
A
B
C
1
2
||＝
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________(填序号)．
(1) 与； (2) 与；
(3) 与； (4) 与.
√
×
×
√
(1)
(4)
新知探究
1．向量与数量
向量
数量
既有______又有______的量．
大小
方向
只有______没有______的量．
大小
方向
2．向量的几何表示
(1)_________的线段叫做有向线段．它包含三个要素：_______、_______、_______．
具有方向
起点
方向
长度
A(起点)
B(终点)
以A为起点，B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作.
2．向量的几何表示
(2)向量可以用_________ 来表示．向量的大小称为向量的______(或称模)，记作_____.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如： ， .
有向线段
长度
||
注意：用字母a表示向量时，印刷用黑体a，书写用.
(1)向量可以比较大小吗？
有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．
思考

(2)有向线段就是向量吗？
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
3．向量的有关概念
零向量 长度为0的向量，记作0
单位向量 长度等于____个单位长度的向量
平行向量 (共线向量) 方向___________的非零向量
向量a，b平行，记作________
规定：零向量与任意向量_______
相等向量 长度______且方向______的向量
向量a与b相等，记作__________
1
相同或相反
a∥b
平行
相等
相同
a＝b
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　向量的有关概念
[例1]　判断下列命题是否正确，请说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．
[例1]　判断下列命题是否正确，请说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
×
由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．
×
因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.
√
依据规定：0与任意向量平行．
×
因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．
×
反思感悟
(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
1．理解零向量和单位向量应注意的问题
(2)单位向量不一定相等，不要忽略其方向．
反思感悟
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；
(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
2．共线向量与平行向量
解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．
要点提醒
跟踪训练
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上．
×
若b＝0，则①不成立
×
起点相同的单位向量，终点未必相同
√
对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的
×
1．给出下列命题：
其中正确命题的序号是________．
③
题型二　向量的表示及应用
[例2]　(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．
12
[例2]　
(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
③ ，使||＝6，点C在点B北偏东30°.
A
① ，使||＝4，点A在点O北偏东45°；
② ，使||＝4，点B在点A正东；
B
B
C
30°
6
3
C
反思感悟
1．向量的两种表示方法
(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等．
(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．
2．两种向量表示方法的作用
(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．
(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．
反思感悟
跟踪训练
2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求的模．
2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量，，；
东
南
西
北
A
B
C
D
2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(2)求的模．
东
南
西
北
A
B
C
D
5
10
10
10
(米)
在RT△ABD中
米
题型三　相等向量和共线向量
1．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？
不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．
探究问题

探究问题

2．若∥，则从直线AB与直线CD的关系和与的方向关系两个方面考虑有哪些情况？
分四种情况
(1)直线AB和直线CD重合， 与同向；
(2)直线AB和直线CD重合， 与反向；
(3)直线AB∥直线CD， 与同向；
(4)直线AB∥直线CD， 与反向．
[例3]　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a， ＝b， ＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．
[例3]　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a， ＝b， ＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
[例3]　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a， ＝b， ＝c.
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．
与a相等的向量：
与b相等的向量：
与c相等的向量：
多维探究
变式1 本例条件不变，写出与向量相等的向量．
变式2 本例条件不变，写出与向量长度相等的共线向量．
变式3 在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？
由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形，
所以△FOA为等边三角形，
所以边长AF＝|a|＝1.
反思感悟
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线．
与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．
易错提醒
随堂检测
1．判断正误
(1)长度为0的向量都是零向量．(　　)
(2)零向量的方向都是相同的．(　　)
(3)单位向量的长度都相等．(　　)
(4)单位向量都是同方向. (　　)
(5)任意向量与零向量都共线．(　　)
√
×
√
×
√
2．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是(　　)
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小．
C
3．在下列命题中：
①平行向量一定相等；
②不相等的向量一定不平行；
③共线向量一定相等；
④相等向量一定共线；
⑤长度相等的向量是相等向量；
⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．
正确的命题是________．
×
×
×
√
×
√
④
⑥
4．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中，
(1)写出与平行的向量；
(2)写出与模相等的向量．
本课小结
1．向量是近代数学重要的和基本的数学概念之一，有深刻的几何和物理背景，它是沟通代数、几何的一种工具，注意向量与数量的区别与联系．
2．从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．
本课小结
3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．
4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.
通过本节课，你学会了什么？