人教版（2019）数学必修第二册6.2平面向量的概念及线性运算课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
6.2平面向量的概念及线性运算
考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示． 2.通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义． 3.掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义． 4.了解向量的线性运算性质及其几何意义． 1.平面向量的有关概念． 2.平面向量的线性运算． 3.共线向量定理的应用． 1.数学抽象．
2.直观想象．
3.数学运算．
课前自测
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)
×
(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　)
×
(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)
×
√
2．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是(　　)
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若ma＝na，则m＝n
×
m＝0时不成立
a＝0时不成立
×
√
√
AB
3．如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若＝a， ＝b，用a，b表示为(　　)
A． a＋ b B．a－b
C．－a－ b D．－a＋ b
－a＋ b
D
(2) ＋ ＋ － ＝________．
4．化简：
(1) (＋ )＋ ＋ ＝________．
原式＝ ＋ ＋＋
＝ ＋
＝
原式＝(＋ )＋(－ )
＝ ＋
＝
5．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________．
＋＝， －＝
|＋|＝|－|
||＝||
四边形ABCD是矩形
对角线长相等的平行四边形是矩形
矩形
考点梳理
1．向量的有关概念
既有大小又有_____的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_____．
向量的有关概念
①向量
方向
模
长度为_____的向量，其方向是任意的．
0
③单位向量
长度等于___________的向量．
1个单位
④平行向量
方向相同或____的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
相反
⑤相等向量
长度相等且方向_______的向量．
相同
⑥相反向量
长度相等且方向_______的向量．
相反
②零向量
(1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．
注意　
(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝_______；
结合律：(a＋b)＋c＝__________
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝______， 当λ>0时，λa与a的方向_____； 当λ<0时，λ a与 a的方向____； 当λ＝0时，λa＝____ λ(μ a)＝(λμ) a；
(λ＋μ) a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
a＋(b＋c)
b＋a
|λ||a|
相同
相反
0
3. 向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得___________．
b＝λa
常用结论
若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝ (＋)．
1．三点共线的等价转化



A，P，B三点共线
＝λ(λ≠0)
＝(1－t)· ＋t
(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)
＝x＋y
(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)
2．向量的中线公式
常见误区
1．若两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等；但两个相等向量不一定有相同的起点和终点．
3．注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系．
2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．
!
典例剖析
考点
1
平面向量的有关概念
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　　)
A．a与－λa的方向相反　 　 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
C
2．(多选)下列命题中不正确的是(　　)
A．两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同
B．若非零向量与共线，则A，B，C，D四点共线
C．若非零向量a与b共线，则a＝b
D．四边形ABCD是平行四边形，则必有| |＝| |
ABC
3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
C
向量a与向量b方向相同
方法总结
(4) 非零向量与的关系： 是与同方向的单位向量．　
(1) 相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2) 共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3) 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
平面向量有关概念的四个关注点
[例1] (1) (2020·西安五校联考)如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则＝(　　)
A. － B．2－2
C. － D．2－2
考点
2
平面向量的线性运算
D
C，D是半圆弧的两个三等分点
CD∥AB
且AB＝2CD
＝2 ＝2(－)＝ 2－2
(2) (2020·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＝________，μ＝________．
所以λ＝，μ＝.
A
B
C
D
E
F
取AB的中点F，连接CF，
则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD.
＝ ＋
因为
＝＋
＝ ＋
＝＋(－)
＝ ＋
方法总结
(1) 向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．　
(2) 找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
向量线性运算的解题策略
跟踪训练
(2020·吉林梅河口五中4月模拟)在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A. B． C．－ D．－
A
所以λ＝－，μ＝，则λ＋μ＝ .
＝ ＝(＋)＝ ＋×
＝ ＋(－)＝－＋
A
B
C
M
N
考点
3
平面向量共线定理的应用
[例2] 设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[例2] 设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
所以A，B，D三点共线．
证明：
因为＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3(a－b)，
所以＝ ＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，
所以，共线，
又它们有公共点B，
[例2] 设两个非零向量a与b不共线．
(2) 试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，
因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
所以k＝±1.
1．(变条件)若将本例(1)中“＝2a＋8b”改为“＝a＋mb”，若A，B，D三点共线，则m＝________．
变式探究
所以，解得m＝7.
7
＋＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，
[例2] 设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b， ＝2a＋8b， ＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
即＝4a＋(m－3)b.
若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使＝λ ，
即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，
故当m＝7时，A，B，D三点共线．
变式探究
2．(变结论)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k＝________．
故当k＝－1时两向量反向共线．
[例2] 设两个非零向量a与b不共线．
(2) 试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
因为ka＋b与a＋kb反向共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb) (λ<0)，
所以所以k＝±1.
又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.
－1
方法总结
易错提醒　
证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．　
跟踪训练
即
由＝a＋mb， ＝na＋b(m，n∈R)共线，
得a＋mb＝λ(na＋b)，
1．已知向量a与b不共线，＝a＋mb， ＝na＋b(m，n∈R)，则与共线的条件是(　　)
A．m＋n＝0 B．m－n＝0
C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0
所以mn－1＝0.
D
2．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)
A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上
所以C，P，A三点共线，即点P在直线AC上．
由＝λ＋得－＝λ，＝λ.
则，为共线向量，
又，有一个公共点P，
B
随堂检测
1．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　)
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a， ＝b
a＝e，b＝－e，此时能使a，b共线
√
由共线定理知，非零向量a，b是共线向量
√
如果x＝y＝0，则不能保证a，b共线
×
AB，CD不一定是梯形的上、下底
×
AB
2．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________．
所以|＋|＝2.
因为||＝||＝|－| ＝||＝2，
所以△ABC是边长为2的正三角形，
所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，
2
3．已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，＝2e1－3e2， ＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________．
可得，解得λ＝－4.
因为M，N，P三点共线，
所以存在实数k使得＝k，
所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，
又e1，e2为平面内两个不共线的向量，
－4
4．已知 ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a， ＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)
＝－＝－－＝－a－b.
＝＝ － ＝b－a，
b－a
－a－b
5．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a， ＝b，试用a，b表示，.
＝ ＋＝＋
＝＋ (＋ )
＝ ＋ (－)
＝ ＋
＝ a＋ b.
＝ (＋ )＝ a＋ b；
本课小结
本节知识主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目.