人教版（2019）数学必修第二册6.3平面向量基本定理及坐标表示课件(共44张PPT)

(共44张PPT)
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1．了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 1．平面向量基本定理及其应用． 2．平面向量的坐标运算． 3．平面向量共线的坐标表示． 1．数学运算．
2．逻辑推理．
课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)
(2)在△ABC中，向量， 的夹角为∠ABC.(　　)
(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成.(　　)
(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.(　　)
×
×
×
×
√
2．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
A
从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．
法一
设C(x，y)，
则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以
2．已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
A
＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
法二
＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
3．(易错题)(多选)已知向量a，b是同一平面α内的两个向量，则下列结论正确的是( 　　)
A．若存在实数λ，使得b＝λa，则a与b共线
B．若a与b共线，则存在实数λ，使得b＝λa
C．若a与b不共线，则对平面α内的任一向量c，均存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb
D．若对平面α内的任一向量c，均存在实数λ，μ，使得c＝λa＋μb，则a与b不共线
ACD
如b＝(1，0)，a＝(0，0)时不满足
×
√
√
√
4．已知 ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．
即
设D(x，y)，
则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，
解得
(1, 5)
5．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________．
所以＝－.
由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，
得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb与a－2b共线，
得，
－
考点梳理
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝____________．
_______的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1
定理
不共线
λ1e1＋λ2e2
2
基底
不共线
2．平面向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝____________________，
a－b＝____________________，
λa＝_________________，
|a|＝_________________．
1
向量加法、减法、数乘向量及向量的模
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
2．平面向量的坐标运算
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝_________________，
| |＝_______________________．
2
向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
(x2－x1，y2－y1)
当且仅当x2y2≠0时，a∥b与等价．
即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b ________________．
x1y2－x2y1＝0
提醒　
常用结论
1．向量共线的充要条件的两种形式
(1)a∥b b＝λa(a≠0，λ∈R)；
(2)a∥b x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
3．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
常见误区
1．平面向量的基底中一定不含零向量．
2．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的坐标是指向量的终点坐标减去起点坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．
!
典例剖析
考点
1
平面向量基本定理的应用
[例1] (1)(多选)已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则＝(　　)
A. 　 B．
C. D．
如图所示，设BC的中点为E，则＝ ＋ ＝＋＝ ＋ (＋ )＝ － ＋ × ＝ ＋ .
AC
(2) 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________．
所以λ＝ ，μ＝x，所以＝ .
由题图可设＝x(x＞0)，
则＝x(＋ )＝x＝ ＋x.
因为＝λ＋μ， 与不共线，
方法总结
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．　
运算遵法则　基底定分解
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
1．(一题多解)如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设＝a， ＝b，则＝(　　)
A. a＋ b B． a＋ b
C. a＋ b D． a＋ b
跟踪训练
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(－ )＝ ＋ ＝ a＋ b.
F
法一
如图所示，取BC的中点F，连接AF，
因为BC＝2AD，所以AD＝CF，
又AD∥CF，所以四边形ADCF为平行四边形，则AF∥CD，
所以＝.
因为DE＝EC，所以＝＝ ，
D
1．(一题多解)如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设＝a， ＝b，则＝(　　)
A. a＋ b B． a＋ b
C. a＋ b D． a＋ b
跟踪训练
D
法二
所以＝(＋)＝(＋＋)＝(＋＋)
＝ ＋ ＝ a＋ b.
因为DE＝EC.
2．已知在△ABC中，点O满足＋ ＋ ＝0，点P是OC上异于端点的任意一点，且＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
由平面向量基本定理可知，
m＋n＝－2λ，所以m＋n∈(－2，0)．
依题意，设＝λ (0<λ<1)，
由＋ ＋ ＝0，知＝－(＋ )，
所以＝－λ－λ，
(－2，0)
考点
2
平面向量的坐标运算
1．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，
故x＝－23，y＝－12.
A
2．已知＝(1，－1)，C(0，1)，若＝2，则点D的坐标为(　　)
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
即解得.
设D(x，y)，
则＝(x，y－1)，2＝(2，－2)，
根据＝2，得(x，y－1)＝(2，－2)，
D
3．(一题多解)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
3．(一题多解)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
所以, 解得, 所以λ＋μ＝ .
法一
以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
设正方形的边长为1，
则＝， ＝， ＝(1，1)．
因为＝λ＋μ＝ ，
3．(一题多解)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
法二
所以，解得，所以λ＋μ＝ .
由＝＋， ＝－＋，
得＝λ＋μ＝ ＋，
又＝＋，
(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
方法总结
(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．　
向量坐标运算问题的一般思路
考点
3
平面向量共线的坐标表示
[例2] (1)(多选)已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中不正确的是( 　　)
A．存在实数x，使a∥b
B．存在实数x，使(a＋b)∥a
C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
由a∥b，得x2＝－9，无实数解
×
因为a＋b＝(x－3，3＋x)，又(a＋b)∥a，所以3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9，无实数解
×
ma＋b＝(mx－3，3m＋x)．又(ma＋b)∥a，所以x(3m＋x)－3(mx－3)＝0，即x2＝－9，无实数解
×
由(ma＋b)∥b，得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R
√
ABC
(2)已知向量＝(k，12)， ＝(4，5)， ＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)
A．－ B． C. D．
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
＝ － ＝(4－k，－7)，
＝ － ＝(－2k，－2)．
因为A，B，C三点共线，所以，共线，
A
方法总结
(1)向量共线的两种表示形式
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b a＝λb(b≠0)；②a∥b x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.
(2)两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．
跟踪训练
1．(多选)已知a＝(1，2)，b＝(4，k)，若(a＋2b)∥(3a－b)，则下列说法正确的是( 　　)
A．k＝8 B．|b|＝4 C．a·b＝12 D．a∥b
因为a＝(1，2)，b＝(4，k)，
所以a＋2b＝(1，2)＋(8，2k)＝(9，2＋2k)，
3a－b＝(3，6)－(4，k)＝(－1，6－k)，
因为(a＋2b)∥(3a－b)，所以9(6－k)＝(－1)×(2＋2k)，则k＝8，A正确；
|b|＝＝4，B正确； a·b＝1×4＋2×8＝20，C错误；
由于1×8＝2×4，a∥b，故D正确.
ABD
跟踪训练
2．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
设点D的坐标为(x，y)，则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)， ＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝2 (1，－1)，
即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以，解得，
故点D的坐标为(2，4)．
因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以＝2.
(2，4)
跟踪训练
3．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b， ＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
跟踪训练
3．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
跟踪训练
3．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(2)若＝2a＋3b， ＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
法一
所以，解得m＝.
因为A，B，C三点共线，
所以＝λ ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
跟踪训练
3．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(2)若＝2a＋3b， ＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
法二
即2m－3＝0，所以m＝ .
＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．
因为A，B，C三点共线，所以∥.
所以8m－3(2m＋1)＝0，
随堂检测
1．在正六边形ABCDEF中，对角线BD，CF相交于点P.若＝x＋y，则x＋y＝(　　)
A．2 B． C．3 D．
B
因为＝x＋y，所以x＝ ，y＝1，故x＋y＝ .
如图，记正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OB，OD，
易证四边形OBCD为菱形，且P恰为其中心，
于是＝ ＝ ，
因此＝＋＝ ＋ ，
2．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，λ)，若(a＋2b)∥(2a－b)，则实数λ＝________．
所以4(－2－λ)＝3(2λ－1)，解得λ＝－ .
a＋2b＝(4，2λ－1)，2a－b＝(3，－2－λ)，
因为(a＋2b)∥(2a－b)，
－
3．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝______a＋_____b.
由平面向量基本定理，得，所以.
由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.
因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
4．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若＝ ＋λ (λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为________．
故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.
设P(x，y)，
则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，
所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.
又点P在直线x－2y＝0上，
－
5．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a， ＝b， ＝c，且＝3c， ＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
5．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a， ＝b， ＝c，且＝3c， ＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)
＝(6，－42)．
由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
5．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a， ＝b， ＝c，且＝3c， ＝－2b.
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
所以
因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
解得
5．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a， ＝b， ＝c，且＝3c， ＝－2b.
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
所以N(9，2)．所以＝(9，－18)．
设O为坐标原点，
因为＝ － ＝3c，
所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．
所以M(0，20)．又因为＝ － ＝－2b，
所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
平面向量基本定理及其应用，平面向量的坐标运算，向量共线的坐标表示及其应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题.
本课小结