人教版（2019）数学必修第二册7.1.1数系的扩充和复数的概念课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
高一
必修二
本节目标
1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．
2．理解复数的概念、表示法及相关概念．
3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件．
课前预习
预习课本P68～70，思考并完成以下问题
1.实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？
2.复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？
课前小测
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)
(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．(　　)
(3)bi是纯虚数．(　　)
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　　)
×
×
×
√
2．做一做
(1)若a＋bi＝0，则实数a＝________，实数b＝________.
(2)(1＋)i的实部与虚部分别是________、__________．
(3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝________.
0
0
0
1＋
a2－1=0
a=±1
±1
新知探究
新知引入
？
问题探究
我们知道，方程x2+1=0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？
为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，引入一个新数i，使得x=i是方程x2+1=0的解，即使得i2= － 1.
i是数学家欧拉最早引入的.
莱昂哈德·欧拉
莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
课外拓展
知识点一 虚数单位 i
在实数集R中添加新数i，规定：
①i2＝ ________，其中i叫做虚数单位；
②i可与实数进行___________，且原有的加法、乘法运算律仍然成立．
－1
四则运算
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做________，其中i叫做__________．
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a∈R，b∈R}叫做_________．
知识点二 复数的相关概念
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的________与________．
复数
虚数单位
复数集
实部
虚部
知识点三 复数的分类
对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
当且仅当________时，它是实数；
当且仅当________时，它是实数0；
当且仅当________时，叫做虚数；
当______________时，叫做纯虚数．
b＝0
a＝b＝0
b≠0
a＝0且b≠0
？
思考
复数集C与实数集R之间有什么关系？
实数集R是复数集C的真子集，即R C.
复数
实数(b=0)
虚数(b≠0)
复数的分类可以通过下图表示
复数a＋bi(a，b∈R)
(1)
实数(b=0)
虚数(b≠0)
纯虚数(a=0)
非纯虚数(a≠0)
(2)集合表示
复数集(C)
虚数集
实数集(R)
纯虚数集
知识点四 复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，
规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当______________.
a＝c且b＝d
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　复数的有关概念
①两个复数不能比较大小；
②若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．
其中真命题的个数是________．
所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．
当这两个复数都是实数时，可以比较大小.
x，y都是复数，故x＋yi不一定是复数的代数形式
若a＝0，则ai不是纯虚数
[例1]　给出下列四个命题：
×
×
×
×
0
反思感悟
数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i与实数的运算及运算律仍成立．
跟踪训练
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；
④两个虚数不能比较大小．
若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数
两个虚数不能比较大小
若x＝－1，x2＋3x＋2≠0不成立
1. 下列命题中：
其中，正确命题的序号是(　　)
A．① B．② C．③ D．④
×
×
×
√
D
题型二　复数的分类
[例2] 当实数m为何值时，复数z＝ ＋(m2－2m)i为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
(3)当 即m＝－3时，复数z是纯虚数．
(1)当 即m＝2时，复数z是实数．
(2)当m2－2m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
多维探究
变式 是否存在实数m，使z＝(m2－2m)＋ i是纯虚数？
即不存在实数m，使z＝(m2－2m)＋ i是纯虚数．
由z＝(m2－2m)＋ i是纯虚数，
得 解得m∈ .
方法总结
(1)判定复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，实部与虚部分别为哪些；
(2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题；
(3)解相应的方程(组)或不等式(组)；
(4)求出参数的值或取值范围．
利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤
跟踪训练
2. 已知m∈R，复数z＝ ＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，
(1) z为实数？ (2) z为虚数？ (3) z为纯虚数？
(3)要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
(1)要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
题型三　复数相等
[例3] 已知M＝{1, (m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1, 1, 4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得解得m＝1.
∵M∪P＝P，∴M P，
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得解得m＝2.
∴实数m的值为1或2.
方法总结
复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．
复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组．
跟踪训练
3．已知A＝{1, 2, a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1, 3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，
∴ , 解得
∴a＝－1.
故实数a的值为－1.
随堂检测
1．“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A
因为复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数 a＝0且b≠0，
所以“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件．
2．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是(　　)
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D．＋i
3i－的虚部是3
3i2＋i的实部是－3
所求复数为3－3i
A
3．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________、_______．
z＝ a2 － (2－b) i
实部2
虚部3
a2 ＝2
－(2－b) ＝3
a ＝±
b ＝5
±
5
4．设复数z＝ ＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是________．
m2＋2m－15 ＝0
m ＋ 5≠ 0
m ＝3或m ＝ －5
m ≠ －5
m ＝3
3
5．如果－(m2－3m)i ≥－1，求自然数m，n的值．
m＝0，n＝1或n＝2
(m＋n)－(m2－3m)i ≥－1，
(m＋n) ≥－1
－(m2－3m) ＝0
0＜m＋n ≤ 2
m ＝0或m ＝3
m，n∈N
本课小结
1．复数相等的充要条件
(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．
(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．
2．一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．当两个复数都是实数时，就可以比较大小．当两个复数不都是实数时，不能比较大小．
通过本节课，你学会了什么？