人教版（2019）数学必修第二册7.1.2复数的几何意义课件(共39张PPT)

(共39张PPT)
7.1.2 复数的几何意义
高一
必修二
本节目标
1.理解复平面的实轴、虚轴、复数的模、共轭复数的概念．
2.理解复数的代数表示及其几何意义.
课前预习
预习课本P70～72，思考并完成以下问题
(1)复平面是如何定义的，复数的模如何求出？
(2)复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？
课前小测
1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为(　　)
A．(0, －1) B．(－1, 0)
C．(0, 0) D．(－1, －1)
复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，
故复平面内对应点Z的坐标为(0, －1)．
A
2．若＝(0, －3)，则对应的复数为(　　)
A．0 B．－3
C．－3i D．3
＝(0, －3)
对应的复数实部为0，虚部为－3
对应的复数为－3i
C
3．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则(　　)
A．a≠2或a≠1 B．a≠2或a≠－1
C．a＝2或a＝0 D．a＝0
复数z对应的点在虚轴上
复数z的实部为0
a2－2a=0
a＝0或2
D
a2－a－2 ≠ 0
a＝0
4．若复数a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
z＝a＋1＋(1－a)i
此点在第二象限
z在复平面内对应的点为(a＋1, 1－a)
a<－1
a＋1<0
1－a>0
B
5．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.
z＝1＋2i
|z| ＝ ＝
新知探究
情境导入
在几何上，我们用什么来表示实数？
实数可以用数轴上的点来表示
实数
数轴上的点
一一对应
(数)
(形)
想一想：类比实数的表示，可以用什么来表示复数呢？
复数的一般形式 z＝a＋bi(a，b∈R)
实部
虚部
思考：一个复数由什么唯一确定？
一个复数由它的实部和虚部唯一确定
复数z＝a＋bi
一一对应
有序实数对(a, b)
(数)
(形)
复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.
x
y
O
a
b
Z(a, b)
复平面
x轴---------实轴
y轴---------虚轴
z=a＋bi
复数的几何意义
一一对应
一一对应
一一对应
复数z＝a＋bi
直角坐标系中的点Z(a, b)
平面向量
x
y
O
a
b
Z(a, b)
z=a＋bi
复数的模
x
y
O
a
b
Z(a, b)
z=a＋bi
|z|=| a＋bi |=| |=
① |z|≥0
② 两个复数的模可以比较大小
③ 复数的模的几何意义：复数z的模即为z对应的平面向量的模| |，也就是复数z=a＋bi在复平面上对应的点Z(a, b)到原点的距离.
注意
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　复数与复平面内点的关系
[例1] 求实数a分别取何值时，复数z＝ ＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：
(1)在复平面的第二象限内；
(2)在复平面内的x轴上方．
[例1] 求实数a分别取何值时，复数z＝ ＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：
(1)在复平面的第二象限内；
(2)在复平面内的x轴上方．
<0
a2－2a－15>0
a< －3
a2－2a－15>0
a＋3 ≠ 0
a＞5或a＜－3
(a＋3)(a－5)＞0
方法总结
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
特别提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示．
(2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
多维探究
变式1 复数z＝ ＋(a2－2a－15)i(a∈R)表示的点在x轴上时，求实数a的值．
点Z在x轴上，
所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，
所以a＝5.
故a＝5时，点Z在x轴上．
变式2 复数z＝ ＋(a2－2a－15)i(a∈R)表示的点Z在直线x+y+7=0上，求实数a的值．
因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，
所以＋a2－2a－15＋7＝0，
即a3＋2a2－15a－30＝0，
所以(a＋2)(a2－15)＝0，
故a＝－2或a＝±.
所以a＝－2或a＝±时，点Z在直线x＋y＋7＝0上.
题型二　复数的模
[例2] 已知复数z1＝ ＋i，z2＝－＋ i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z|＝|z1|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形？
[例2] 已知复数z1＝ ＋i，z2＝－＋ i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小；
|z2|＝ ＝1，
|z1|＝|＋i|＝＝2，
所以|z1|>|z2|.
[例2] 已知复数z1＝ ＋i，z2＝－＋ i.
(2)设z∈C，满足条件|z|＝|z1|的复数z对应的点Z的轨迹方程.
设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则点Z的坐标为(x，y)．
由|z|＝|z1|＝2得 ＝2，即x2＋y2＝4.
所以点Z的轨迹方程是x2＋y2＝4 ．
方法总结
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
复数模的计算
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．
跟踪训练
1．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是__________．
|z|≤2
2．求复数z1＝6＋8i与z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小．
∵z1＝6＋8i，z2 ＝－－i ，
∴|z1|＝ ＝10，
|z2|＝.
∵10> ，
∴|z1|>|z2|.
题型三　复数与复平面内向量的关系
[例3] (1)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．4＋80i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1, 2＋i, －1＋2i.
①求向量，，对应的复数；
②判定△ABC的形状．
[例3] (1)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．4＋80i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
两个复数对应的点分别为A(6, 5)，B(－2, 3)，
则C(2,4)．
故其对应的复数为2＋4i.
C
[例3] (2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1, 2＋i, －1＋2i.
①求向量，，对应的复数；
②判定△ABC的形状．
①由复数的几何意义知：
＝(1,0)， ＝(2,1)， ＝(－1,2)，
所以＝ －＝(1, 1)， ＝ －＝(－2, 2)， ＝ －＝(－3, 1)，所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
②因为||＝，||＝2，||＝，
所以||2＋||2＝||2，
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
反思感悟
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
复数与平面向量的对应关系
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
跟踪训练
3．在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是(　　)
A．2 B．－2i
C. －3i D．3＋i
复数对应的点为(3, －)，对应的向量按顺时针方向旋转，
则对应的点为(0, －2)，
所得向量对应的复数为－2i.
B
4．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x ＋y (x，y∈R)，则x＋y 的值是________．
由复数的几何意义可知，＝x＋y ，
即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i，
由复数相等可得, 解得
∴x＋y＝5.
5
随堂检测
1．判断正误
(1)复平面内的点与复数是一一对应的．(　　)
(2)复数即为向量，反之，向量即为复数．(　　)
(3)复数的模一定是正实数．(　　)
(4)复数与向量一一对应．(　　)
√
×
×
×
2．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为(　　)
A．－1＋i B．1－i
C．－5－5i D．5＋5i
由题意知， ＝(2, 3)， ＝(－3, －2)，
∴ ＝ － ＝(5, 5)，
∴对应的复数为5＋5i.
D
3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(　　)
A．1或3 B．1 C．3 D．2
＝2
m＝1或3
A
4．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
即实数m的取值范围是m＜ 或m＞.
因为z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i对应的点在第一象限，
所以
m2＋m－1>0
4m2－8m＋3>0
解得m＜ 或m＞，
本课小结
1．从数与形两方面理解复数意义，掌握复数与点和向量的一一对应关系，即：
特别提醒：相等向量对应同一个复数．
2．|z|＝1表示复平面上的单位圆.
通过本节课，你学会了什么？