人教版(2019)数学必修第二册7.2.1复数的加、减运算及其几何意义课件(共37张PPT)

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名称 人教版(2019)数学必修第二册7.2.1复数的加、减运算及其几何意义课件(共37张PPT)
格式 pptx
文件大小 1.0MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-11-10 20:33:59

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文档简介

(共37张PPT)
复数的加、减运算及其几何意义
高一
必修二
本节目标
1.掌握复数代数表示式的加、减运算.
2.了解复数加、减运算的几何意义.
课前预习
预习课本P75~77,思考并完成以下问题
(1)复数的加法、减法如何进行?复数加法、减法的几何意义如何?
(2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同?
课前小测
1.已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2等于(  )
A.8i B.6
C.6+8i D.6-8i
z1+z2=3+4i+3-4i=6
B
2.计算(3+i)-(2+i)的结果为(  )
A.1 B.-i
C.5+2i D.1-i
(3+i)-(2+i) = (3-2) +(i- i)
= 1 +0
= 1
A
3.已知复数z+3i-3=3-3i,则z=(  )
A.0 B.6i
C.6 D.6-6i
∵z+3i-3=3-3i,
∴z=(3-3i)-(3i-3)
=(3+3)-(3i+3i)
=6-6i.
D
4.在复平面内,向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是(  )
A.-10+8i B.10-8i
C.0 D.10+8i
+ (5-4i )+ (-5+4i)
(5-5)+ (-4i +4i)
0
C
5.已知向量对应的复数为2-3i,向量对应的复数为3-4i,则向量对应的复数为________.
=(3-4i)-(2-3i)
=1-i
=(3-2) +(3i-4i)
1-i
新知探究
1.复数的加、减法法则及几何意义与运算律
z1,z2,z3∈C,设,分别与复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)相对应,且,不共线 加法 减法
运算法则 z1+z2=______________ z1-z2=______________
几何意义 复数的和z1+z2与向量+=的坐标对应
复数的差z1-z2与向量-=的坐标对应
运算律 交换律 z1+z2=________
结合律 (z1+z2)+z3=____________ (a+c)+(b+d)i
(a-c)+(b-d)i
z2+z1
z1+(z2+z3)
2.复数的加、减法应注意以下几点
(1)一种规定:复数代数形式的加法法则是一种规定,减法是加法的逆运算;
特殊情形:当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致.
(2)运算律:实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的移项法则在复数中仍然成立.
(3)运算结果:两个复数的和(差)是唯一确定的复数.
(4)复数加法、减法的几何意义
复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则,
复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一 复数代数表示式的加、减法运算
[例1] (1)计算:(2-3i)+(-4+2i)=________.
(2)已知zi=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,则|z1+z2|=________.
[例1] (1)计算:(2-3i)+(-4+2i)=________.
(2-3i)+(-4+2i)= (2-4)+(2i-3i)
= -2+(-i)
= -2-i
-2-i
(2)已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,则|z1+z2|=________.
所以z1=3-2i,z2=-2+i,则z1+z2=1-i,
z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]
=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)] i
=(5x-5y)+(-3x+4y) i
=5-3i
解得x=1,y=0,
所以
5x-5y =5
-3x+4y=-3
所以|z1+z2|=.
反思感悟
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部.
复数加、减运算的法则
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项):
若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算.
跟踪训练
1.-i-(-1+5i)+(-2-3i)-(i-1)=________.
=-10i
-i-(-1+5i)+(-2-3i)-(i-1)
=-i+1-5i-2-3i-i+1
=(1-2+1) +(-i-5i-3i-i)
-10i
2.已知复数z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是纯虚数,则实数a=________.
z1+z2 =(a2-3-i) + (-2a+a2i )
=a2-2a-3+(a2-1)i
a2-2a-3 =0
a2-1≠0
解得a=3
3
题型二 复数加、减运算的几何意义
[例2] 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形,顶点A,B,C分别对应于复数-5-2i,-4+5i,2,求点D对应的复数及对角线AC,BD的长.
[例2] 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形,顶点A,B,C分别对应于复数-5-2i,-4+5i,2,求点D对应的复数及对角线AC,BD的长.
如图,因为AC与BD的交点M是各自的中点,
所以有zM= = ,所以zD=zA+zC-zB=1-7i,
因为:zC-zA=2-(-5-2i)=7+2i,
所以||=|7+2i|= = ,
因为:zD-zB=(1-7i)-(-4+5i)=5-12i,
所以||=|5-12i|= =13.
故点D对应的复数是1-7i,AC与BD的长分别是和13.
反思感悟
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减去起点对应的复数).
运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题
跟踪训练
3.已知平行四边形ABCD中, 与对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于O点.
(1)求对应的复数;
(2)求对应的复数.
3.已知平行四边形ABCD中, 与对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于O点.
(1)求对应的复数;
由于四边形ABCD是平行四边形,
所以= + ,
于是= - ,
而- =(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,
即对应的复数是-2+2i.
3.已知平行四边形ABCD中, 与对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于O点.
(2)求对应的复数.
对应的复数是5
= -
= 3+2i
= -2+2i
=(3+2i)-(-2+2i)=5
题型三 复数模的最值问题
[例3] (1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是(  )
A.1 B.
C.2 D.
(2)若复数z满足|z++i|≤1,求|z|的最大值和最小值.
[例3] (1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是(  )
A.1 B.
C.2 D.
设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,
因为|z+i|+|z-i|=2,
|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,
因为|Z1Z3|=1.
所以|z+i+1|min=1.
A
(2)若复数z满足|z++i|≤1,求|z|的最大值和最小值.
如图所示,| |= =2.
所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.
反思感悟
(1) |z-z0|表示复数z,z0的对应点之间的距离,在应用时,要把绝对值号内变为两复数差的形式.
(2) |z-z0|=r表示以z0对应的点为圆心,r为半径的圆.
(3) 涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解.
两个复数差的模的几何意义
多维探究
变式1 [变条件,变设问]若本例(2)条件改为已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值.
所以|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离,
因为|z|=1且z∈C,作图如图:
所以|z-2-2i|的最小值为|OP|-1=2-1.
变式2 [变条件]若本例(2)中条件不变,即复数z满足|z++i|≤1,求|z-|2+|z-2i|2的最大值和最小值.
解:如图所示,在圆面上任取一点P,与复数zA=,zB=2i对应点A,B相连,
得向量,,再以,为邻边作平行四边形.
P为圆面上任一点,zP=z,
则2||2+2||2=||2+(2||)2=7+4||2,
(平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和),
所以|z-|2+|z-2i|2= .
而max=|O′M|+1=1+ ,
min=|O′M|-1= -1.
所以|z-|2+|z-2i|2的最大值为27+2,最小值为27-2.
随堂检测
1.判断正误
(1) 复数加法的运算法则类同于实数的加法法则.(  )
(2)复数与复数相加减后结果为复数.(  )
(3)复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义.(  )



2.计算|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=________.
|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|
=|(2+i)-(-1-3i)|
=|3+4i|

=5
5
3.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=_______.
解得a=-1.
z1-z2 =[(a2-2)+(a-4)i] -[a-(a2-2)i]
=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i
=(a2-a-2)+(a2+a-6)i (a∈R)为纯虚数,

a2-a-2 =0
a2+a-6 ≠ 0
-1
4.在复平面内,复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,求向量+, 对应的复数及A,B两点间的距离.
向量+对应的复数为(-3-i)+(5+i)=2.
∵ = - ,
∴向量对应的复数为(-3-i)-(5+i)=-8-2i.
∴A,B两点间的距离为|-8-2i|= =2.
本课小结
1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律,复数的减法是加法的逆运算.
2.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则,复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
3.|z-z0|表示复数z和z0所对应的点的距离,当|z-z0|=r(r>0)时,复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心,半径为r的圆.
通过本节课,你学会了什么?