人教版（2019）数学必修第二册7.2.2复数的乘、除运算课件(共44张PPT)

(共44张PPT)
7.2.2 复数的乘、除运算
高一
必修二
本节目标
1.理解并掌握复数代数表示式的乘、除运算法则．
2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化问题.
课前预习
预习课本P77～80，思考并完成以下问题
(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数的定义是什么？
(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？
课前小测
1．复数(3＋2i)i等于(　　)
A．－2－3i B．－2＋3i
C．2－3i D．2＋3i
(3＋2i)i = 3i＋2i·i
= 3i＋2i2
= 3i－2
= －2＋ 3i
B
2．已知复数z＝2－i，则z·的值为(　　)
A．5 B.
C．3 D.
z＝2－i
＝2＋i
z·＝(2－i)·(2＋i)
＝ 22－i2
＝ 4＋1
＝ 5
A
3. ＝(　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
＝
＝
＝2－i
D
4．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为(　　)
A．6－4i B．－6－4i
C．6＋4i D．－6＋4i
(1＋i)2 (2＋3i) = (1＋2i＋i2) (2＋3i)
= (1＋2i－1) (2＋3i)
= 2i (2＋3i)
= 2i×2＋ 2i×3i
= －6＋4i
D
新知探究
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)
＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
＝ac＋bci＋adi＋bd i2
两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别合并即可.
知识点睛
思考
复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1·z2＝___________
结合律 (z1·z2)·z3＝_____________
分配律 z1(z2＋z3)＝_____________
z2·z1
z1·(z2·z3)
z1z2＋z1z3
3.共轭复数
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则
(1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是_________________.
(2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是_________________.
a＝c且b＝－d
a＝c且b＝－d≠0
复数z的共轭复数用表示，
即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi
注意
思考
若z1，z2是共轭复数，则z1·z2是一个怎样的数？
探究
类比实数的除法是乘法的逆运算，规定复数的除法是乘法的逆运算，试探究复数除法的法则.
4．复数的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝
＝
＝
＝ ＋
(a,b,c,d∈R, c＋di≠0)
5．对复数乘法的三点说明
(3)常用结论
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2 (a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
6．对复数除法的两点说明
(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．
特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化．
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
[例1]　(1)(全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝(　　)
A．3－2i B．3＋2i
C．－3－2i D．－3＋2i
题型一　复数代数表示式的乘法运算
i(2＋3i)＝2i＋3i2
＝－3＋2i
＝2i＋3×(－1)
D
(2) (全国卷Ⅱ)设z＝i(2＋i)，则＝(　　)
A．1＋2i B．－1＋2i
C．1－2i D．－1－2i
z＝i(2＋i)
＝2i ＋i2
＝－1＋2i
＝－1－2i
D
(3)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i
因为对应的点在第二象限
所以
a＋1<0
1－a>0
解得a<－1
B
方法总结
两个复数代数形式乘法的一般方法
(1)首先按多项式的乘法展开；
(2)再将i2换成－1；
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
跟踪训练
1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　　)
A．2－13i B．13＋2i
C．13－13i D．－13－2i
＝1－2i＋i2－(4－9i2)
(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)
＝－13－2i.
＝1－2i－1－4－9
D
2．(全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
i(1＋i)2＝i·2i＝－2
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
×
i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i
×
(1＋i)2＝2i
√
i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i
×
C
题型二　复数代数表示式的除法运算
[例2]　(1) (全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
z(1＋i)＝2i
z＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1＋i
D
(2) (全国卷Ⅰ)设z＝ ，则|z|＝(　　)
A．2 B.
C. D．1
z＝
＝
＝
＝
|z|＝
＝
＝
C
(3)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
所以＝ ＝－1＋2i，
由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，
对应的点(－1,2)在第二象限．
B
方法总结
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
两个复数代数形式的除法运算步骤
复数除法的常用公式
反思感悟
(1) －i ;
(2) i ;
(3) －i.　　　　
跟踪训练
3．计算： ＝________.
法一
＝
＝
＝
＝
＝
跟踪训练
3．计算： ＝________.
法二
＝ ·
＝
＝
＝ ·
＝
＝
4．计算： ＋ － .
解：原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－
＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－
＝8＋8－16－16i
＝－16i
题型三　复数范围内方程根的问题
[例3]　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是否是方程的根．
[例3]　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．
(1)求b，c的值；
(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0
(b＋c)＋(2＋b)i＝0
b＋c ＝0
2＋b ＝0
b＝－2，c＝2
[例3]　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．
(2)试判断1－i是否是方程的根．
∴1－i也是方程的一个根．
由(1)知方程可化为x2－2x＋2＝0
把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0
显然方程成立，
知识拓展
复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为
(1)当Δ≥0时，x＝ ；
(2)当Δ<0时，x＝ .
跟踪训练
5．在复数范围内解一元二次方程x2－2x＋5＝0.
即方程的两根分别为1＋2i和1－2i.
解：Δ＝(－2)2－4×1×5＝－16<0，
所以方程的根为x＝ ＝1±2i.
随堂检测
1．判断正误
(1)实数不存在共轭复数．(　　)
(2)两个共轭复数的差为纯虚数．(　　)
(3)若z1，z2∈C，且＋ ＝0，则z1＝z2＝0.(　　)
×
√
×
2．已知复数z＝2－i，则z·的值为(　　)
A．5 B. C．3 D.
z·＝(2－i)(2＋i)
＝ 22－i2
＝ 4＋1
＝ 5
A
3．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)
A．1 B．2 C. D.
z(1＋i)＝2i
z＝ ＝ ＝1＋i
|z|＝ ＝
C
4．已知复数z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝ ，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值．
z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i,
z2＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i.
由于z1和z2互为共轭复数
所以
－b－1
解得
－2
1
本课小结
1．复数代数形式的乘法运算类似于多项式的乘法，同时注意i2＝－1的应用.
2．复数代数形式的除法运算采用了分母实数化的思想，即应用z·＝|z|2解题．
3．记住几个常用结论：
(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
(2)(1±i)2＝±2i.
(3)若z＝ z是实数；
若z＋＝0，则z是纯虚数；
z·＝||2＝|z|2.
通过本节课，你学会了什么？