人教版（2019）数学必修第二册7.3.1复数的三角表示式课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
7.3.1 复数的三角表示式
高一
必修二
本节目标
1. 通过复数的几何意义,了解复数的三角表示,了解复数的代数表示与三角表示之间的关系；
2. 掌握复数的三角形式及复数代数形式与三角形式的互化；
3. 理解复数的模与辐角的主值的含义.
课前预习
预习课本P83～85，思考并完成以下问题
什么是复数的三角形式？复数的三角形式与代数形式有什么联系？
(2) 什么是辐角的主值？怎样表示？
课前小测
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)－1＝cosπ＋isinπ.(　　)
(2)2i＝2 .(　　)
(3)－3(cos200°＋isin200°)是复数的三角形式．(　　)
√
√
×
2．做一做
(1)将复数z1＝－1＋i表示成三角形式为___________________．
(2)已知|z|＝2，argz＝ ，求复数z＝________________.
(3)若a<0，则a的三角形式是_________________．
新知探究
复数可以用a+bi(a,b∈R)的形式来表示，借助复数的几何意义，复数能不能用其他形式来表示呢？
知识点一 复数的三角形式
新知探究
x
y
O
a
b
r
Z:a+bi
如图，复数z=a+bi与向量(a,b)一一对应，复数z由向量的坐标(a,b)唯一确定.我们知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？
知识点一 复数的三角形式
思考
？
你能用向量的模和角来表示复数z吗？
知识点一 复数的三角形式
x
y
O
a
b
r
Z:a+bi
记向量的模r,由下图可知
rcos
rs
= rcos+rs
= r(cos+s)
其中
r =
cos=
sin=
知识点一 复数的三角形式
_____________叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．
即z＝r(cosθ＋isinθ)，其中|z|＝r，θ为复数z的________．
定义
r(cosθ＋isinθ)
辐角
以x轴的非负半轴为______，向量所在的射线(射线OZ)为_____的角θ叫复数z＝a＋bi的_________．
非零复数z辐角θ的多值性
因此复数z的辐角是____________．
始边
终边
辐角
θ＋2kπ(k∈Z)
知识点二 辐角的主值
复数z的辐角的主值是唯一确定的．
在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，即0≤argz<2π.
定义及表示
唯一性
特别注意：z＝0时，其辐角是任意的．
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　复数三角形式的定义
[例1]　下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：
(1)z1＝－2(cosθ＋isinθ)；
(2)z2＝cosθ－isinθ.
[例1]　下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：
(1) z1＝－2(cosθ＋isinθ)；
由“模非负”知，不是三角形式，需做变换
z1＝2(－cosθ－isinθ)，
复平面上点Z1(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，
余弦“－cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，
因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．
∴z1＝2(－cosθ－isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．
[例1]　下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：
(2) z2＝cosθ－isinθ.
由“加号连”知，不是三角形式
复平面上点Z2(cosθ，－sinθ)在第四象限(假定θ为锐角)，
不需改变三角函数名称，
可用诱导公式“2π－θ”或“－θ”将θ变换到第四象限．
∴z2＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)或z2＝cosθ－isinθ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，
考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一．
反思感悟
由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向．
变形时，可按照如下步骤进行：
首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，
其次判断是否要变换三角函数名称，
最后确定辐角．
此步骤可简称为“定点→定名→定角”．这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率．
跟踪训练
1. 下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式.
(1) z3＝－sinθ＋icosθ；
(2) z4＝－sinθ－icosθ；
(3) z5＝cos60°＋isin30°.
1. 下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式.
(1) z3＝－sinθ＋icosθ；
复平面上点Z3(－sinθ，cosθ)在第二象限(假定θ为锐角)，需改变三角函数名称，
可用诱导公式“＋θ”将θ变换到第二象限．
∴z3＝－sinθ＋icosθ＝cos(＋θ)＋isin(＋θ)．
由“余弦前”知，不是三角形式
1. 下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式.
(2) z4＝－sinθ－icosθ；
同理(1)可得
z4＝－sinθ－icosθ＝cos(π－θ)＋isin(π－θ)．
不是三角形式
1. 下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式.
(3) z5＝cos60°＋isin30°.
z5＝cos60°＋isin30°
＝ ＋ i＝ (1＋i)
＝ × (cos ＋isin )
＝ (cos ＋isin )．
由“角相同”知，不是三角形式
题型二 将复数的三角形式化为代数形式
[例2]　将复数3 (cos ＋isin)化为代数形式为____________．
3 (cos ＋isin)
= ＋i
= 3 (＋ i)
＋i
反思感悟
将复数的三角形式r(cosθ＋isinθ)化为代数形式a＋bi(a，b∈R)时，其中a＝rcosθ，b＝rsinθ.
跟踪训练
2. 复数6 (cos isin)的代数形式是__________.
6 (cos isin)
6 (i)
i
i
题型三 复数的模与辐角主值
[例3]　求复数z＝1＋cosθ＋isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值．
z＝1＋cosθ＋isinθ＝1＋(2cos2－1)＋2i·sincos＝2cos(cos＋isin)，①
∵π<θ<2π，∴ < <π，∴cos <0，
∴①式右端＝－2cos(－cos－isin)＝－2cos[cos(π＋)＋isin(π＋)]，
∴r＝－2cos，z的辐角为π＋＋2kπ(k∈Z)．
∵ < <π，∴π<π＋<2π，
∴argz＝π＋.
反思感悟
复数的三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)中，模r≥0，θ为任意角，若θ为辐角主值，则θ∈[0，2π].
跟踪训练
3.将z＝ (π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值．
z＝
＝
＝
＝
＝
∵ π<θ<3π，
∴ π<2θ<6π，
∴ π<2θ－4π<2π，
∴argz＝2θ－4π.
随堂检测
1．－6的辐角主值为(　　)
A．0 B. C．π D．－
C
－6＝6(－1＋0·i)＝6(cosπ＋isinπ)，
辐角主值θ＝π.
2．下列说法正确的是(　　)
A．已知复数z＝cos ＋isin ，则z的辐角主值为
B．复数z＝2i＋3的虚部为2i
C．(＋i)6＝－64
D．复数z＝2i的三角形式为z＝2 (cosisin)
C
z的辐角主值argz＝
虚部为实数2
(＋i)6＝[(＋i)2]3＝(2＋2i)3
＝8＋3×2×(2i)2＋3×22×(2i)＋(2i)3＝－64
z＝2(0＋i)＝2 (cosisin)
×
×
√
×
3．复数－ i的三角形式是_____________．
－ i = cosisin
cosisin
4．设复数z，z＋2的辐角主值为，z－2的辐角主值为，则z＝________.
设z＋2＝r1 (cosisin)＝ ＋ i，
z－2＝r2 (cosisin) ＝－＋ i.
∴ －2＋ i＝2－ ＋ i，
易得
∴r2＝r1，代入①得r1＝2，∴z＝1＋i－2＝－1＋i.
①
②
－1＋i
本课小结
1．在复数的三角形式中，辐角θ的值可以用弧度表示，也可以用角度表示，可以是主值，也可以是主值加2kπ或k·360°(k∈Z)．但为了简便起见，复数的代数形式化为三角形式时，一般将θ写成主值．
2．两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
通过本节课，你学会了什么？